《函数的极值》函数的极值

1填空题

已知函数f(x)=4x+$\frac {a}{x}$(x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题设函数f(x)=4x+$\frac {a}{x}$(x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，可得 f′(3)=0，解此方程即可得出a的值．

解答：

解：由题设函数f(x)=4x+$\frac {a}{x}$(x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，

∵x∈(0，+∞)，

∴得x=3必定是函数f(x)=4x+$\frac {a}{x}$(x＞0，a＞0)的极值点，

∴f′(3)=0，

即4-$\frac {a}{3}$=0，

解得a=36．

故答案为：36．

点评：

本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．

2填空题

若函数f(x)=(1-x)(x+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意得f(-1)=f(-3)=0且f(1)=f(-5)=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f(x)=-x-8x-14x+8x+15．利用导数研究f(x)的单调性，可得f(x)在区间(-∞，-2-$\sqrt {5}$)、(-2，-2+$\sqrt {5}$)上是增函数，在区间(-2-$\sqrt {5}$，-2)、(-2+$\sqrt {5}$，+∞)上是减函数，结合f(-2-$\sqrt {5}$)=f(-2+$\sqrt {5}$)=16，即可得到f(x)的最大值．

解答：

解：∵函数f(x)=(1-x)(x+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，

∴f(-1)=f(-3)=0且f(1)=f(-5)=0，

即[1-(-3)_][(-3)_+a•(-3)+b]=0且[1-(-5)_][(-5)_+a•(-5)+b]=0，

解之得$\left\{\begin{matrix}a=8 \ b=15 \ \end{matrix}\right.$

因此，f(x)=(1-x)(x+8x+15)=-x-8x-14x+8x+15

求导数，得f'(x)=-4x-24x-28x+8

令f'(x)=0，得x$_1$=-2-$\sqrt {5}$，x$_2$=-2，x$_3$=-2+$\sqrt {5}$

当x∈(-∞，-2-$\sqrt {5}$)时，f'(x)＞0；当x∈(-2-$\sqrt {5}$，-2)时，f'(x)＜0；

当x∈(-2，-2+$\sqrt {5}$)时，f'(x)＞0；当x∈(-2+$\sqrt {5}$，+∞)时，f'(x)＜0

∴f(x)在区间(-∞，-2-$\sqrt {5}$)、(-2，-2+$\sqrt {5}$)上是增函数，在区间(-2-$\sqrt {5}$，-2)、(-2+$\sqrt {5}$，+∞)上是减函数

又∵f(-2-$\sqrt {5}$)=f(-2+$\sqrt {5}$)=16

∴f(x)的最大值为16

故答案为：16

点评：

本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．

3单选题

设函数f(x)=xe_，则（　　）

x=1为f(x)的极大值点

x=1为f(x)的极小值点

x=-1为f(x)的极大值点

x=-1为f(x)的极小值点

题目答案

答案解析

分析：

由题意，可先求出f′(x)=(x+1)e_，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=-1为f(x)的极小值点

解答：

解：由于f(x)=xe_，可得f′(x)=(x+1)e_，

令f′(x)=(x+1)e_=0可得x=-1

令f′(x)=(x+1)e_＞0可得x＞-1，即函数在(-1，+∞)上是增函数

令f′(x)=(x+1)e_＜0可得x＜-1，即函数在(-∞，-1)上是减函数

所以x=-1为f(x)的极小值点

故选D

点评：

本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，

4填空题

函数f(x)=x-3x+1在x=处取得极小值．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

首先求导可得f′(x)=3x-6x，解3x-6x=0可得其根，再判断导函数的符号即可．

解答：

解：f′(x)=3x-6x

令f′(x)=3x-6x=0得x$_1$=0，x$_2$=2

且x∈(-∞，0)时，f′(x)＞0；x∈(0，2)时，f′(x)＜0；x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0

故f(x)在x=2处取得极小值．

故答案为2．

点评：

本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．

5单选题

若a＞0，b＞0且函数f(x)=4x-ax-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（　　）

题目答案

答案解析

分析：

求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

解答：

解：∵f′(x)=12x-2ax-2b

又因为在x=1处有极值

∴a+b=6

∵a＞0，b＞0

∴ab≤($\frac {a+b}{2}$)_=9

当且仅当a=b=3时取等号

所以ab的最大值等于9

故选D

点评：

本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．

6单选题

设直线x=t与函数f(x)=x_，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

将两个函数作差，得到函数y=f(x)-g(x)，再求此函数的最小值对应的自变量x的值．

解答：

解：设函数y=f(x)-g(x)=x-lnx，求导数得

y'=2x-$\frac {1}{x}$=$\frac {2x-1}{x}$

当0＜x＜$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$时，y′＜0，函数在(0，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)上为单调减函数，

当x＞$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$时，y′＞0，函数在($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，+∞)上为单调增函数

所以当x=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$时，所设函数的最小值为$\frac {1}{2}$+$\frac {1}{2}$ln2

所求t的值为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

故选D

点评：

可以结合两个函数的草图，发现在(0，+∞)上x_＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．

7单选题

设a∈R，若函数y=e_+3x，x∈R有大于零的极值点，则（　　）

a＞-3

a＜-3

a＞-$\frac {1}{3}$

a＜-$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

题目中：“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f′(x)=3+ae_=0有正根，通过讨论此方程根为正根，

求得参数的取值范围．

解答：

解：设f(x)=e_+3x，则f′(x)=3+ae_．

若函数在x∈R上有大于零的极值点．

即f′(x)=3+ae_=0有正根．

当有f′(x)=3+ae_=0成立时，显然有a＜0，

此时x=$\frac {1}{a}$ln(-$\frac {3}{a}$)．

由x＞0，得参数a的范围为a＜-3．

故选B．

点评：

本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．

8单选题

已知函数f(x)=x+ax+x+2(a＞0)的极大值点和极小值点都在区间(-1，1)内，则实数a的取值范围是（　　）

(0，2]

(0，2)

[$\sqrt {3}$，2)

($\sqrt {3}$ ， 2)

题目答案

答案解析

分析：

求导函数，则问题转化为方程3x+2ax+1=0的根都在区间(-1，1)内，构造函数g(x)=3x+2ax+1，即可求得实数a的取值范围．

解答：

解：求导函数，可得f′(x)=3x+2ax+1

则由题意，方程3x+2ax+1=0的两个不等根都在区间(-1，1)内，

构造函数g(x)=3x+2ax+1，则$\left\{\begin{matrix}△=4a_-12＞0 \ -1＜-$\frac {a}{3}$＜1 \ g(-1)＞0 \ g(1)＞0 \ \end{matrix}\right.$

∴$\sqrt {3}$＜a＜2

∴实数a的取值范围是($\sqrt {3}$， 2)

故选D．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查方程根的研究，解题的关键是问题转化为方程3x+2ax+1=0的根都在区间(-1，1)内．

9单选题

下列不等式对任意的x∈(0，+∞)恒成立的是（　　）

e_＞ex

x-x_＞0

sinx＞-x+1

x＞ln(1+x)

题目答案

答案解析

分析：

要判断一个不等式不是恒成立的，我们可举一个使不等式不成立的反例即可，如当x=1时，A中e_＞ex与中x-x_＞0均不成立，也可以利用函数的图象进行分析，如对C答案的判断，当要说明不等式恒成立时，我们要借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．

解答：

解：当x=1时，e_=ex，故A中e_＞ex对任意的x∈(0，+∞)不恒成立；

当x=1时，x-x_=0，故B中x-x_＞0对任意的x∈(0，+∞)不恒成立；

又∵y=sinx在(0，$\frac {π}{2}$)上函数值由0递增到1，

y=-x+1在(0，$\frac {π}{2}$)上函数值由1递减到1-$\frac {π}{2}$，

故在区间(0，$\frac {π}{2}$)上存在实数x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1对任意的x∈(0，+∞)不恒成立；

而∵函数y=x-ln(1+x)的导函数y'=1-$\frac {1}{x}$在x∈(0，+∞)有，y'＞0恒成立

故y=x-ln(1+x)在区间(0，+∞)上为增函数，y＞y|_x=0=0，

故x＞ln(1+x)对任意的x∈(0，+∞)恒成立

故选D

点评：

解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解．

10单选题

已知函数f(x)=x(x-m)_在x=2处取得极小值，则常数m的值为（　　）

2或8

以上答案都不对

题目答案

答案解析

分析：

通过对函数f(x)求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'(2)=0，解得m的值，再验证可得结论．

解答：

解：求导函数，可得f′(x)=(4x-m)(x-m)_，

∵在x=2处取得的极小值，

∴f′(2)=(8-m)(2-m)_=0，

∴m=2或8，

m=2时，f′(x)≥0，在x=2处不取极值，舍去，

m=8时，函数f(x)=x(x-m)_在x=2处取得极小值．

故选：B．

点评：

本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．

11单选题

已知三次函数f(x)=ax-x+x在(0，+∞)上存在极大值点，则a的范围是（　　）

(0，$\frac {1}{3}$)

(0，$\frac {1}{3}$]

(-∞，$\frac {1}{3}$)

(-∞，0)∪(0，$\frac {1}{3}$)

题目答案

答案解析

分析：

先求出f′(x)=3ax-2x+1，由题意得到f′(x)=0有两个不同的正实数根或一正一负根，列出等价条件△＞0且a≠0，再进行求解．

解答：

解：由题意知，f′(x)=3ax-2x+1，

∵三次函数f(x)=ax-x+x在(0，+∞)上存在极大值点，

∴f′(x)=3ax-2x+1=0有两个不同的正实数根或一正一负根，

①当a＞0时，此时3ax-2x+1=0有两个不同的正实数根，

∴$\left\{\begin{matrix}△=4-4×3a×1＞0 \ $\frac {2}{3a}$＞0 \ $\frac {1}{3a}$＞0 \ \end{matrix}\right.$，即0＜a＜$\frac {1}{3}$，

②当a＜0时，此时3ax-2x+1=0有一正一负根，

只须△＞0，即4-12a＞0，⇒a＜$\frac {1}{3}$，

∴a＜0

综上所述，a的范围是(-∞，0)∪(0，$\frac {1}{3}$)

故选D．

点评：

本题考查了导数与函数的单调性的关系，本题的易错点是容易忽略二次项的系数不为零．

12单选题

已知函数f(x)=e^x，g(x)=ln$\frac {x}{2}$+$\frac {1}{2}$的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）

2+ln2

e+$\frac {1}{2}$

2e-ln$\frac {3}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意，A(lnm，m)，B(2$e^{m-\frac{1}{2}}$，m)，其中2$e^{m-\frac{1}{2}}$＞lnm，且m＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．

解答：

解：由题意，A(lnm，m)，B(2e_，m)，其中2e_＞lnm，且m＞0，∴|AB|=2$e^{m-\frac{1}{2}}$-lnm，令y=2$e^{x-\frac{1}{2}}$-lnx(x＞0)，则y′=2$e^{x-\frac{1}{2}}$-$\frac {1}{x}$，∴x=$\frac {1}{2}$，∴0＜x＜$\frac {1}{2}$时，y′＜0；x＞$\frac {1}{2}$时，y′＞0，∴y=2e_-lnx(x＞0)在(0，$\frac {1}{2}$)上单调递减，在($\frac {1}{2}$，+∞)上单调递增，∴x=$\frac {1}{2}$时，|AB|_max=2+ln2．故选：B．

点评：

本题考查最值问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

13单选题

若f(x)=x^{3}+3ax^{2}+3(a+2)x+1有极值，则a的取值范围是（　　）

-1＜a＜2

a＞2或a＜-1

a≥2或a≤-1

a＞1或a＜-2

题目答案

答案解析

分析：

由f(x)有极值可知f′(x)=0有两个不等实根，可得△＞0，解出即可．

解答：

点评：

14单选题

关于函数f(x)=(2x-x)e_，则下列四个结论：

①f(x)＞0的解集为{x|0＜x＜2}

②f(x)的极小值为f(-$\sqrt {2}$)，极大值为f($\sqrt {2}$)

③f(x)没有最小值，也没有最大值

④f(x)没有最小值，有最大值，

其中正确结论为（　　）

①②④

①②③

①③

②④

题目答案

答案解析

分析：

令f(x)＞0可解x的范围；对函数f(x)进行求导，然后令f'(x)=0求出x，再根据f'(x)的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确，④正确．从而得到答案．

解答：

解：由f(x)＞0可得(2x-x)e_＞0

∵e_＞0，∴2x-x_＞0，∴0＜x＜2，故①正确；

f′(x)=e_(2-x)，由f′(x)=0得x=±$\sqrt {2}$，

由f′(x)＜0得x＞$\sqrt {2}$或x＜-$\sqrt {2}$，由f′(x)＞0得-$\sqrt {2}$＜x＜$\sqrt {2}$，

∴f(x)的单调减区间为(-∞，-$\sqrt {2}$)，($\sqrt {2}$，+∞)；单调增区间为(-$\sqrt {2}$，$\sqrt {2}$)．

∴f(x)的极大值为f($\sqrt {2}$)，极小值为f(-$\sqrt {2}$)，故②正确．

∵x＜-$\sqrt {2}$时，f(x)＜0恒成立．

∴f(x)无最小值，但有最大值f($\sqrt {2}$)

∴③不正确，④正确．

故选A．

点评：

本题的考点是利用导数研究函数的极值，主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点．

15单选题

已知函数f(x)=e_-ax-b，若f(x)≥0恒成立，则ab的最大值为（　　）

$\sqrt {e}$

$\frac {e}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出函数的导数，再分别讨论a=0，a＜0，a＞0的情况，从而得出ab的最大值．

解答：

解：f′(x)=e_-a，

若a=0，则f(x)=e_-b＞-b，若f(x)≥0恒成立，则-b≥0，得b≤0，此时ab=0；

若a＜0，则f′(x)＞0，函数单调递增，当x→-∞时，f(x)→-∞，不可能恒有f(x)≥0．

若a＞0，由f′(x)＞0得x＞lna；由f′(x)＜0得x＜lna；则得极小值点x=lna，

即f(x)最小值为f(lna)=a-alna-b，若f(x)≥0恒成立，则a-alna-b≥0，得b≤a(1-lna)

∴ab≤a_(1-lna)

令a_(1-lna)=g(a)

现求g(a)的最大值：由g'(a)=2a(1-lna)-a=a(1-2lna)，令g'(a)=0，得a=$\sqrt {e}$根据极大值的定义可知，在a=$\sqrt {e}$时取极大值

∴g(a)≤g($\sqrt {e}$)=$\frac {e}{2}$

所以ab≤g(a)≤$\frac {e}{2}$，所以ab最大值为$\frac {e}{2}$，

故选：D．

点评：

本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．

16填空题

函数f(x)=x+ax+bx+a_在x=1时有极值为10，则a+b的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

-7

答案解析

分析：

首先对f(x)求导，然后由题设在x=1时有极值10可得 $\left\{\begin{matrix}f′(1)=0 \ f(1)=10 \ \end{matrix}\right.$，解方程得出a，b的值，最后求它们的和即可．

解答：

解：对函数f(x)求导得 f′(x)=3x+2ax+b，

又∵在x=1时f(x)有极值10，

∴$\left\{\begin{matrix}f′(1)=3+2a+b=0 \ f(1)=1+a+b+a_=10 \ \end{matrix}\right.$，

解得 $\left\{\begin{matrix}a=4 \ b=-11 \ \end{matrix}\right.$或 $\left\{\begin{matrix}a=-3 \ b=3 \ \end{matrix}\right.$，

验证知，当a=-3，b=3时，在x=1无极值，

故 a+b的值-7．

故答案为：-7

点评：

掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力．

17单选题

已知函数f(x)=$\frac {1}{3}$x+$\frac {1}{2}$ax+2bx+c(a，b，c∈R)且函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，在区间(1，2)内取得极小值，则z=(a+3)_+b_的取值范围（　　）

($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，2)

($\frac {1}{2}$，4)

(1，2)

(1，4)

题目答案

答案解析

分析：

据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：

解：∵f(x)=$\frac {1}{3}$x+$\frac {1}{2}$a x+2bx+c

∴f′(x)=x+ax+2b

∵函数f(x)在区间(0，1)内取得极大值，在区间(1，2)内取得极小值

∴f′(x)=x+ax+2b=0在(0，1)和(1，2)内各有一个根

f′(0)＞0，f′(1)＜0，f′(2)＞0

即$\left\{\begin{matrix}b＞0 \ a+2b+1＜ \ a+b+2＞0 \ \end{matrix}\right.$0

(a+3)_+b_表示点(a，b)到点(-3，0)的距离的平方，

由图知(-3，0)到直线a+b+2=0的距离$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，平方为$\frac {1}{2}$为最小值，

由$\left\{\begin{matrix}a+2b+1=0 \ a+b+2=0 \ \end{matrix}\right.$得(-3，1)

(-3，0)与(-3，1)的距离为1，

(-3，0)与(-1，0)的距离2，

所以z=(a+3)_+b_的取值范围为($\frac {1}{2}$，4)

故选项为B

点评：

本题考查函数极值存在条件及线性规划求最值．

18单选题

设函数f(x)=e_(sinx-cosx)，若0≤x≤2014π，则函数f(x)的各极大值之和为（　　）

$\frac {e_(1-e_)}{1-e}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f(2kπ+π)=e_，再利用数列的求和方法来求函数f(x)的各极大值之和即可．

解答：

解：∵函数f(x)=e_(sinx-cosx)，

∴f′(x)=(e_)′(sinx-cosx)+e_(sinx-cosx)′=2e_sinx，

∵x∈(2kπ，2kπ+π)时，f′(x)＞0，x∈(2kπ+π，2kπ+2π)时，f′(x)＜0，

∴x∈(2kπ，2kπ+π)时原函数递增，x∈(2kπ+π，2kπ+2π)时，函数f(x)=e_(sinx-cosx)递减，

故当x=2kπ+π时，f(x)取极大值，

其极大值为f(2kπ+π)=e_[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]

=e_×(0-(-1))

=e_，

又0≤x≤2014π，

∴函数f(x)的各极大值之和

S=e_+e_+e_+…+e_

=$\frac {e_(1-(e_)_)}{1-e}$_．

点评：

本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+π时，f(x)取极大值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．

19单选题

若函数f(x)=ax^{3}-(ax)^{2}-ax-a在x=1处取得极大值-2，则实数a的值为（　　）

0或1

不存在

题目答案

答案解析

分析：

解答：

点评：

本题考查函数的导数的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．易错点是容易产生增根．

20单选题

函数f(x)=xlnx的（　　）

极小值为$\frac {1}{e}$

极大值为$\frac {1}{e}$

极小值为-$\frac {1}{e}$

极大值为-$\frac {1}{e}$

题目答案

答案解析

分析：

取得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的最小值

解答：

解：函数的定义域为(0，+∞)

求导函数，可得f′(x)=1+lnx

令f′(x)=1+lnx=0，可得x=$\frac {1}{e}$，∴0＜x＜$\frac {1}{e}$时，f′(x)＜0，x＞$\frac {1}{e}$时，f′(x)＞0

∴x=$\frac {1}{e}$时，函数取得极小值，

∴f(x)_极小值=f($\frac {1}{e}$)=-$\frac {1}{e}$．

故选：C．

点评：

本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21单选题

函数f(x)=x-3x+2 在闭区间[0，3]上的最大值、最小值分别是（　　）

20和2

20和-1

20和0

19和-1

题目答案

答案解析

分析：

先求导函数，确定函数在闭区间[0，3]上的单调性，进而计算极值点及端点的函数值可确定函数的最值．

解答：

解：由题意，f′(x)=3x-3x=3(x-1)(x+1)

∴函数f(x)在[0，1]上，f′(x)＜0，函数为单调减函数，

在[1，3]上，f′(x)＞0，函数为单调增函数

∴x=1时，函数取得最小值为0

又f(0)=2，f(3)=20

∴x=3时，函数取得最大值为20

故选C．

点评：

本题以函数为载体，考查利用导数求闭区间上函数的最值，解题的关键是利用导数确定函数的单调性．

22填空题

已知函数f(x)=ax+bx+cx(a、b、c为常数)，f(x)在x=-1处有极值，曲线y=f(x)在点(3，-24)处的切线方程为8x+y=0，则a=，b=，c=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{3}$-2-5

答案解析

分析：

利用在x=-1处有极值，则f'(-1)=0，而f(3)=-24，f'(3)=-8建立关于实数a、b、c的方程组，解之即可求出所求．

解答：

解：由已知，f'(x)=3ax+2bx+c．(1分)

∵f(x)在x=-1处有极值，∴f'(-1)=0，即3a-2b+c=0．①

又∵f(3)=-24，f'(3)=-8，

∴27a+9b+3c=-24 ②，27a+6b+c=-8．③(4分)

由①，②，③解得a=$\frac {1}{3}$，b=-2，c=-5．(6分)

点评：

此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．

23单选题

设m∈R，若函数f(x)=e_+2mx(x∈R)有大于零的极值点，则m的取值范围是（　　）

m＜-$\frac {1}{2}$

m＜0

m＞-$\frac {1}{2}$

m＞$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

求出函数的导数，令它为0，分离参数，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到m的取值范围．

解答：

解：函数f(x)=e_+2mx的导数为f′(x)=e_+2m，

由于f(x)=e_+2mx(x∈R)有大于零的极值点，

令f′(x)=0，则有大于0的根，

则-2m=e_＞1，解得m＜-$\frac {1}{2}$．

故选A．

点评：

本题考查导数的应用：判断函数的极值，同时考查指数函数的单调性，属于基础题．

24填空题

已知点P(2，2)在曲线y=ax+bx上，如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么ab=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-3

答案解析

分析：

对函数进行求导，根据在点P(2，2)的导数值等于9，且该点在曲线上可得到两个方程，联立的求得a，b的值，确定答案．

解答：

解：点P(2，2)在曲线y=ax+bx

则：8a+2b=2

∵y'=3ax+b

∴当x=2 时，12a+b=9

联立得：a=1，b=-3∴ab=-3．

点评：

本题主要考查导数的几何意义、函数在闭区间上的值域．属基础题．

25单选题

若函数y$_1$=sin(2x$_1$)+$\frac {1}{2}$(x$_1$∈[0，π])，函数y$_2$=x$_2$+3，则(x$_1$-x$_2$)_+(y$_1$-y$_2$)_的最小值为（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{12}$π+$\frac {5$\sqrt {2}$-$\sqrt {6}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{12}$π

($\frac {5$\sqrt {2}$-$\sqrt {6}$}{4}$)_

$\frac {(π-3$\sqrt {3}$+15)}{72}$

题目答案

答案解析

分析：

通过所求表达式的最值，转化为直线与曲线上的两点的距离的平方，通过导数利用切线斜率求出切点坐标，然后求出最值．

解答：

解：由题意(x$_1$-x$_2$)_+(y$_1$-y$_2$)_的最小值，可知直线与曲线上的两点的距离的平方，

函数y$_1$=sin(2x$_1$)+$\frac {1}{2}$(x$_1$∈[0，π])，

y$_1$′=2cos(2x$_1$)，x$_1$∈[0，π]，

2cos(2x$_1$)=1，解得x$_1$=$\frac {π}{6}$．此时y$_1$=$\frac {$\sqrt {3}$+1}{2}$．

点($\frac {π}{6}$，$\frac {$\sqrt {3}$+1}{2}$)到直线y$_2$=x$_2$+3的距离的平方为：($\frac {|$\frac {π}{6}$-$\frac {$\sqrt {3}$+1}{2}$+3|}{$\sqrt {2}$}$)_=$\frac {(π-3$\sqrt {3}$+15)}{72}$．

故选：D．

点评：

本题考查函数的导数的应用，两点间距离公式的应用．考查计算能力以及转化思想．

26单选题

已知函数f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1在其定义域上没有极值，则a的取值范围是（　　）

(-1，2)

[-1，2]

(-∞，-1)∪(2，+∞)

(-∞，-1]∪[2，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

由于函数f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1在其定义域上没有极值，可得f′(x)≥0恒成立．解出一元二次不等式即可．

解答：

解：f′(x)=3x+6ax+3(a+2)．

∵函数f(x)=x+3ax+3(a+2)x+1在其定义域上没有极值，∴f′(x)≥0恒成立．

∴△=36a_-36(a+2)≤0恒成立，解得-1≤a≤2．

故选B．

点评：

熟练掌握函数在其定义域上不单调的等价转化、一元二次不等式的解法等是解题的关键．

27单选题

定义在R上的可导函数f(x)=x+2xf′(2)+15，在闭区间[0，m]上有最大值15，最小值-1，则m的取值范围是（　　）

m≥2

2≤m≤4

m≥4

4≤m≤8

题目答案

答案解析

分析：

先求f'(2)，从而确定f(x)的解析式，再根据最值和区间端点处的函数值确定m的范围

解答：

解：函数f(x)=x+2xf′(2)+15的导函数为f'(x)=2x+2f'(2)

∴f'(2)=4+2f'(2)

∴f'(2)=-4

∴f(x)=x-8x+15，且对称轴为x=4

又在闭区间[0，m]上的最大值15，最小值-1，且f(0)=15，f(4)=-1

∴[0，4]⊆[0，m]，且f(m)≤f(0)=15

∴4≤m≤8

故选D

点评：

本题考查二次函数的最值问题，要注意区间与对称轴的位置关系．属简单题

28单选题

函数f(x)=x^{3}-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x$_1$，x$_2$都有|f(x$_1$)-f(x$_2$)|≤t，则实数t的最小值是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

解答：

点评：

本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．

读趣百科

《函数的极值》函数的极值

1填空题

题目答案

您的答案

答案解析

2填空题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4填空题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析

16填空题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析

18单选题

题目答案

您的答案

答案解析

19单选题

题目答案

您的答案

答案解析

20单选题

题目答案