《球与多面体的接切问题》球与多面体的接切问题

1填空题

已知正三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两垂直，AB=2，其外接球的表面积为.

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

放在正方体中计算

解答：

点评：

[br]

2填空题

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为$\sqrt {3}$，底面周长为3，那么这个球的体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {4π}{3}$

答案解析

分析：

先求正六棱柱的体对角线，就是外接球的直径，然后求出球的体积．

解答：

解：∵正六边形周长为3，得边长为$\frac {1}{2}$，故其主对角线为1，从而球的直径2R=$\sqrt {}$=2，

∴R=1，

∴球的体积V=$\frac {4}{3}$π

故答案为：$\frac {4π}{3}$．

点评：

正六棱柱及球的相关知识，易错点：空间想象能力不强，找不出球的直径．空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一，平时要加强培养．

3单选题

已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=$\sqrt {2}$r，则球的体积与三棱锥体积之比是（　　）

2π

3π

4π

题目答案

答案解析

分析：

求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可．

解答：

解：如图，⇒AB=2r，∠ACB=90°，BC=$\sqrt {2}$r，

∴V_三棱锥=$\frac {1}{3}$×SO×S_△ABC=$\frac {1}{3}$•r•$\frac {1}{2}$•$\sqrt {2}$r•$\sqrt {2}$r=$\frac {1}{3}$r_，V_球=$\frac {4}{3}$πr_，

∴V_球：V_三棱锥=$\frac {4}{3}$πr_：$\frac {1}{3}$r_=4π．

点评：

本题考查球的内接体的体积和球的体积的计算问题，是基础题．

4填空题

正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为$\sqrt {2}$，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {4π}{3}$

答案解析

分析：

先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．

解答：

解：正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为$\sqrt {2}$，

点S、A、B、C、D都在同一个球面上，

则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为$\frac {4π}{3}$．

故答案为：$\frac {4π}{3}$

点评：

本题考查球的内接体和球的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．

5单选题

如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V$_{P-ABCD}$=$\frac {16}{3}$，则球O的表面积为(　　)

4π

8π

12π

16π

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．

解答：

解：如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S$_{ABCD}$=2R²，V$_{P-ABCD}$=$\frac {16}{3}$，所以$\frac {1}{3}$•2R²•R=$\frac {16}{3}$，R=2，球O的表面积是16π，故选D．

点评：

本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．

6填空题

棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

27π

答案解析

分析：

正方体的对角线就是球的直径，求出后，即可求出球的表面积．

解答：

解：正方体的对角线就是球的直径，d=3$\sqrt {3}$⇒R=$\frac {3$\sqrt {3}$}{2}$⇒S=4πR_=27π

故答案为：27π．

点评：

本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．

7单选题

已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（　　）

16π

20π

24π

32π

题目答案

答案解析

分析：

先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．

解答：

解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，

正四棱柱的对角线长即球的直径为2$\sqrt {6}$，

∴球的半径为$\sqrt {6}$，球的表面积是24π，

故选C．

点评：

本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，导致出错．

8单选题

如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是( )

6$\sqrt {3}$

6$\sqrt {7}$

8$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，求出正六边形的边长，求出侧面斜高，即可求出侧面积．

解答：

解：显然正六棱锥P-ABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，

又正六棱锥P-ABCDEF的高依题意可得为2，OM=$\sqrt {3}$，斜高为：PM=$\sqrt {7}$．

依此可求得正六棱锥的侧面积：S=6×$\frac {1}{2}$×2×$\sqrt {7}$=6$\sqrt {7}$

故答案为6$\sqrt {7}$，选C．

点评：

本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，能够得到底面的外接圆是球的大圆，求出斜高，本题即可解决，强化几何体的研究，是解好立体几何问题的关键．

9单选题

球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（　　）

$\frac {π}{3}$

$\frac {π}{4}$

$\frac {π}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，设出正方体的棱长，求出球的半径，求出两个表面积即可确定比值．

解答：

解：设：正方体边长设为：a

则：球的半径为$\frac {$\sqrt {3}$a}{2}$

所以球的表面积S$_1$=4•π•R_=4π$\frac {3}{4}$a_=3πa_

而正方体表面积为：S$_2$=6a_

所以比值为：$\frac {S$_1$}{S$_2$}$=$\frac {π}{2}$

故选C

点评：

本题考查球的体积和表面积，棱柱、棱锥、棱台的体积，球的内接体的知识，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．

10填空题

一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

4π

答案解析

分析：

由题意可得该球是正方体的内切球，球直径等于正方体的棱长，由此算出球半径R=1，利用球的表面积公式即可算出该球的表面积．

解答：

解：∵球与棱长为2的正方体的各个面相切，

∴球是正方体的内切球，可得球直径等于正方体的棱长，

设球的半径为R，得2R=2，解得R=1，

因此，该球的表面积S=4πR_=4π．

故答案为：4π

点评：

本题给出正方体的棱长，求它的内切球的表面积．考查了正方体的性质、球的表面积公式等知识，属于基础题．

11填空题

将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {125π}{6}$

答案解析

分析：

折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的体积．

解答：

解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，

∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A-BCD，

则四面体A-BCD的外接球的半径是：$\frac {1}{2}$AC=$\frac {5}{2}$

所求球的体积为：$\frac {4}{3}$×π($\frac {5}{2}$)_=$\frac {125}{6}$π．

故答案为：$\frac {125}{6}$π．

点评：

本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

12单选题

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积．

解答：

解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，

该球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，

$\frac {2}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a=1，a=$\sqrt {3}$

该正三棱锥的体积：$\frac {1}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$×($\sqrt {3}$)_×1=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

故答案为：$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$，选B．

点评：

本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题．

13单选题

三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A-BCD的体积是（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{8}$

$\frac {1}{6}$

$\frac {1}{8}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{12}$

题目答案

答案解析

分析：

利用等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答：

解：如图所示，连接OB，OC．

∵△ABC、△BCD都是边长为1的等边三角形，

∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=$\frac {AC×CD}{AD}$=$\frac {1×1}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$．

∴OB_+OC_=BC_，∴∠BOC=90°．

∴三棱锥A-BCD的体积V=$\frac {1}{3}$S△BOC×AD=$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$×($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)_×$\sqrt {2}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{12}$．

故选D．

点评：

熟练掌握等边、等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理、三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．

14单选题

将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（　　）

2π

4π

8π

16π

题目答案

答案解析

分析：

由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此求的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，再用表面积公式求出表面积即可．

解答：

解：由已知球的直径为2，故半径为1，

其表面积是4×π×1_=4π，

应选B

点评：

本题考查正方体内切球的几何特征，以及球的表面积公式，是立体几何中的基本题型．

15单选题

已知长方体的长、宽、高分别为2，3，6，则其外接球的表面积为（　　）

196π

49π

44π

36π

题目答案

答案解析

分析：

长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，再求球的表面积．

解答：

解：由题意长方体的对角线就是球的直径，

所求长方体的对角线长为：$\sqrt {}$=7，

所以球的直径为：7，半径为：$\frac {7}{2}$，

球的表面积是：4πr_=49π．

故选B．

点评：

本题是基础题，考查长方体的外接球的半径的求法、球内接多面体、球的体积和表面积，考查计算能力和空间想象能力．

16填空题

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若正方体的棱长为$\sqrt {3}$，则球的体积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {9π}{2}$

答案解析

分析：

根据正方体对角线长公式，算出该正方体的对角线长为3，从而算出正方体的外接球直径2R=3，可得R=$\frac {3}{2}$．再根据球的体积公式加以计算，可得答案．

解答：

解：∵正方体的棱长为$\sqrt {3}$，

∴正方体的对角线长为$\sqrt {3+3+3}$=3，

由此可得正方体的外接球直径2R=3，得R=$\frac {3}{2}$．

∴正方体的外接球体积为V=$\frac {4π}{3}$•R_=$\frac {4π}{3}$•($\frac {3}{2}$)_=$\frac {9π}{2}$．

故答案为：$\frac {9π}{2}$

点评：

本题给出正方体的棱长，求它的外接球体积．着重考查了正方体的对角线长公式、球内接多面体与球的体积公式等知识，属于基础题．

17单选题

已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．

解答：

解：如图，

在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．

则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，

即球的球心为AB的中点，

又∵P到△ABC的三个顶点的距离相等，

∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等，

∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC，

又∵P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=$\frac {5}{2}$．

∴V_P-ABC=$\frac {1}{3}$S_△ABC•OP=$\frac {1}{3}$×$\frac {1}{2}$×3×4×$\frac {5}{2}$=5．

故选：A．

点评：

本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．

18单选题

有三个球，一个球内切于正方体的各个面，另一个球切正方体的各条棱，第三个球过正方体的各个顶点(都是同一正方体)，则这三个球的体积之比为（　　）

1：$\sqrt {2}$：$\sqrt {3}$

1：2：3

1：2$\sqrt {2}$：3$\sqrt {3}$

1：4：3

题目答案

答案解析

分析：

设出正方体的棱长，求出内切球的半径，与棱相切的球的半径，外接球的半径，然后求出三个球的体积之比．

解答：

解：设正方体的棱长为：2，内切球的半径为：1，与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离，也就是面对角线的长：$\sqrt {2}$，外接球的半径为：$\sqrt {3}$；

所以这三个球的体积之比为：1：2$\sqrt {2}$：3$\sqrt {3}$，

故选：C．

点评：

本题是基础题，考查球与正方体的关系，内切球、外接球的关系，考查空间想象能力，求出三个球的半径是解题的关键．

19填空题

有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为：：．

填空题答案仅供参考

题目答案

123

答案解析

分析：

设出正方体的棱长，求出内切球的半径，与棱相切的球的半径，外接球的半径，然后求出三个球的表面积，即可得到结果．

解答：

解：设正方体的棱长为：2，内切球的半径为：1，与棱相切的球的半径就是正方体中相对棱的距离，也就是面对角线的长：$\sqrt {2}$，外接球的半径为：$\sqrt {3}$；

所以这三个球的表面积之比为：4π1_：4π($\sqrt {2}$)_：4π($\sqrt {3}$)_=1：2：3

故答案为：1：2：3

点评：

本题是基础题，考查球与正方体的关系，内切球、外接球的关系，考查空间想象能力，求出三个球的半径是解题的关键．

20填空题

若球的内接正方体的对角面面积为4$\sqrt {2}$，则该球的表面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

12π

答案解析

分析：

根据球与内接正方体的关系即可得到结论．

解答：

解：∵球与内接正方体体对角线等于直径，

设球半径为R，正方体的边长为a，

则满足2R=$\sqrt {3}$a，

则正方体的对角面面积为$\sqrt {2}$a•a=$\sqrt {2}$a_=4$\sqrt {2}$，

即a_=4，解得a=2，

则R=$\frac {$\sqrt {3}$a}{2}$=$\frac {$\sqrt {3}$×2}{2}$=$\sqrt {3}$，

在球的表面积为4πR_=12π，

故答案为：12π

点评：

本题主要考查球的表面积的计算，根据球球与内接正方体的关系，求出球半径是解决本题的关键．

21填空题

正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果V$_P$-ABCD=$\frac {16}{3}$，则球O的体积是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {32π}{3}$

答案解析

分析：

由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的体积．

解答：

点评：

本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．

22单选题

已知底面边长为2，侧棱长为2$\sqrt {2}$，则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

$\frac {32π}{3}$

4π

2π

$\frac {4π}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=2，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．

解答：

解：解：∵正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为2$\sqrt {2}$，

∴正四棱柱体对角线的长为$\sqrt {}$=4

又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，

∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=2，

根据球的体积公式，得此球的体积为V=$\frac {4}{3}$πR_=$\frac {4}{3}$π×2_=$\frac {32π}{4}$．

故选：A．

点评：

本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．

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