设a，b是关于t的方程t_cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A(a，a_)，B(b，b_)两点的直线与双曲线$\frac {x}{cos_θ}$-$\frac {y}{sin_θ}$=1的公共点的个数为（ ）
分析：
求出过A(a，a_)，B(b，b_)两点的直线为y=-$\frac {sinθ}{cosθ}$x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论．
解答：
解：∵a，b是关于t的方程t_cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，
∴a+b=-$\frac {sinθ}{cosθ}$，ab=0，
过A(a，a_)，B(b，b_)两点的直线为y-a_=$\frac {b_-a}{b-a}$(x-a)，即y=(b+a)x-ab，
即y=-$\frac {sinθ}{cosθ}$x，
∵双曲线$\frac {x}{cos_θ}$-$\frac {y}{sin_θ}$=1的一条渐近线方程为y=-$\frac {sinθ}{cosθ}$x，
∴过A(a，a_)，B(b，b_)两点的直线与双曲线$\frac {x}{cos_θ}$-$\frac {y}{sin_θ}$=1的公共点的个数为0．
故选：A．
点评：
本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，使|A$_1$B$_1$|=|A$_2$B$_2$|，其中A$_1$、B$_1$和A$_2$、B$_2$分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
分析：
由双曲线的基本性质可知，直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，关于x轴对称，并且直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°，否则不满足题意．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
解答：
解：由双曲线的基本性质对称轴是坐标轴，这时只须考虑双曲线的焦点在x轴的情形．
因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，
所以直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，关于x轴对称，并且直线A$_1$B$_1$和A$_2$B$_2$，与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意．
可得$\frac {b}{a}$＞tan30°，即$\frac {b}{a}$＞$\frac {1}{3}$，$\frac {c_-a}{a}$＞$\frac {1}{3}$，所以e＞$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$．
同样地，当$\frac {b}{a}$≤tan60°，即$\frac {b}{a}$≤3，所以e≤2．
所以双曲线的离心率的范围是($\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，2]．
故选A．
点评：
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
设离心率为e的双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1，(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k．若直线l与双曲线左、右支都有交点，则（ ）
分析：
设直线方程为：y=k(x-c)代入双曲线方程得：(b_-a_k_)x+2a_k_cx-a_k_c_-a_b_=0，方程有两根，x$_1$•x$_2$＜0，因-a_k_c_-a_b_必定小于0，故只需：b_-a_k_＞0即可，运用离心率公式由此能求出结果．
解答：
解：由题意可设直线方程为：y=k(x-c)代入双曲线方程得：
(b_-a_k_)x+2a_k_cx-a_k_c_-a_b_=0，方程有两根，可设为x$_1$＞0，x$_2$＜0：
x$_1$•x$_2$=$\frac {-a_k_c_-a_b}{b_-a_k}$＜0，
因-a_k_c_-a_b_必定小于0，故只需：b_-a_k_＞0即可，
b_-a_k_=c_-a_-a_k_=a_e_-a_-a_k_=a_(e_-1-k_)＞0
即有e_-1-k_＞0，即e_-k_＞1．
故选A．
点评：
本题考查双曲线的方程和性质，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
过点(0，4)可作条直线与双曲线y-4x_=16有且只有一个公共点．
分析：
设直线方程联立消元后，根据k_-4=0，或k_-4≠0且△=0求得k；直线的斜率不存在时，不合题意，综合可得直线条数．
解答：
解：当直线无斜率时，方程为x=0，代入y-4x_=16，可解得y=±4，故直线与曲线有2个公共点，不合题意；
当直线斜率存在时，设方程为y=kx+4，代入双曲线方程化简得(k_-4)x+8kx=0
要使直线与双曲线只有一个公共点，需上述方程只有一根或两实根相等，
∴k_-4=0，或k_-4≠0且△=0，解得k=±2，或k=0
故有3条直线与双曲线y-4x_=16有且只有一个公共点．
故答案为：3
点评：
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论的应用，属中档题．
若直线y=kx+2与双曲线x-y_=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
分析：
根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和k＜-1联立求得k的范围．
解答：
解：渐近线方程为y=±x，由$\left\{\begin{matrix}y=kx+2 \ x-y_=6 \ \end{matrix}\right.$消去y，整理得(k_-1)x+4kx+10=0
∴设(k_-1)x+4kx+10=0的两个根为x$_1$，x$_2$，
∵直线y=kx+2与双曲线x-y_=6的右支交于不同的两点，
∴$\left\{\begin{matrix} \ \ \end{matrix}\right.$，
∴k ＜0，
∴$\left\{\begin{matrix}k＜-1 \ △=(4k)_-40(k_-1)＞0 \ \end{matrix}\right.$⇒-$\frac {$\sqrt {15}$}{3}$＜k＜-1
故选D
点评：
本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合．
过点C(4，0)的直线与双曲线$\frac {x^{2}}{4}$-$\frac {y^{2}}{12}$=1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（ ）
分析：
根据题意，设直线AB的方程为y=k(x-4)，与双曲线消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与根的判别式建立关于k的不等式组，解之即可得到k的取值范围．
解答：
解：设A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，直线AB的方程为y=k(x-4)，由$\left\{\begin{matrix}y=k(x-4) \\ \frac {x^{2}}{4}-\frac {y^{2}}{12}=1\end{matrix}\right.$消去y，得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0．∴x$_1$+x$_2$=$\frac {-8k^{2}}{3-k^{2}}$，x$_1$·x$_2$=$\frac {-16k^{2}-12}{3-k^{2}}$．∵直线AB与双曲线的右支有两个不同的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}\\x_{1}+x_{2}=\frac {-8k^{2}}{3-k^{2}}＞0 \\ x _{1}x_{2}=\frac {-16k^{2}-12}{3-k^{2}}＞0 \end{array}\right.$，化简此不等式组可得k2＞3，即|k|＞$\sqrt {3}$．故选：B
点评：
本题已知经过定点的直线与双曲线右支交于不同的两点，求直线斜率的取值范围．着重考查了双曲线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
已知直线y=k(x-3)与双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{27}$=1恒有公共点，则双曲线离心率的取值范围（ ）
分析：
直线y=k(x-3)恒过定点(3，0)，利用直线y=k(x-3)与双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{27}$=1恒有公共点，确定m的范围，即可求得结论．
解答：
解：直线y=k(x-3)恒过定点(3，0)
∵直线y=k(x-3)与双曲线$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{27}$=1恒有公共点，
∴$\sqrt {m}$≤3
∴m≤9
∴$\frac {c}{a}$=1+$\frac {27}{m}$≥4
∴e≥2
故选D．
点评：
本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
设离心率为e的双曲线C：$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是（ ）
分析：
设直线方程为：y=k(x-c)代入双曲线方程得：(b_-a_k_)x+2a_k_cx-a_k_c_-a_b_=0，方程有两根，x$_1$•x$_2$=(-a_k_c_-a_b_)÷(b_-a_k_)＜0，因-a_k_c_-a_b_必定小于0，故只需：b_-a_k_＞0即可，由此能求出结果．
解答：
解：由题意可设直线方程为：y=k(x-c)代入双曲线方程得：
(b_-a_k_)x+2a_k_cx-a_k_c_-a_b_=0，方程有两根，可设为x$_1$＞0，x$_2$＜0：
x$_1$•x$_2$=(-a_k_c_-a_b_)÷(b_-a_k_)＜0，
因-a_k_c_-a_b_必定小于0，故只需：b_-a_k_＞0即可，
b_-a_k_=c_-a_-a_k_=a_e_-a_-a_k_=a_(e_-1-k_)＞0
e_-1-k_＞0，
e_-k_＞1．
故选c．
点评：
本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．
若直线y=kx+2与双曲线x-y_=6只有一个交点，那么实数k的值是（ ）
分析：
当直线与两条渐近线平行时，满足条件，k=±1．当直线与两条渐近线不平行时，把直线方程代入双曲线x-y_=6，由判别式△=0可求得 k=±$\frac {$\sqrt {15}$}{3}$．
解答：
解：直线y=kx+2过定点(0，2)，当直线与两条渐近线平行时，满足条件，k=±1．
当直线与两条渐近线不平行时，把直线方程代入双曲线x-y_=6 可得 (1-k_)x-4kx-10=0，
由判别式△=16k_+40(1-k_)=0 得，k_=$\frac {5}{3}$，k=±$\frac {$\sqrt {15}$}{3}$．
综上满足条件的实数k的值是±1或±$\frac {$\sqrt {15}$}{3}$，
故选D．
点评：
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，双曲线的简单性质，体现了分类讨论的数学思想，注意直线与两条渐近线平行时的情况容易被忽视．
已知两定点M(-2，0)，N(2，0)，若直线上存在点P，使得|PM|-|PN|=2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：①y=x+1 ②y=$\sqrt {3}$x+2 ③y=-x+3 ④y=-2x
其中是“A型直线”的序号是（ ）
分析：
根据双曲线的定义，可求得点P的轨迹方程，从而可利用双曲线的性质结合新定义“A型直线”即可获得答案．
解答：
解：∵两定点M(-2，0)，N(2，0)，直线上存在点P(x，y)，使得|PM|-|PN|=2，
∴点P的轨迹是双曲线，其中2a=2，2c=4，
∴点P的轨迹方程方程为：x-$\frac {y}{3}$=1(x≥1)，
∴其渐近线方程为：y=±$\sqrt {3}$x，
∵①y=x+1经过(0，1)且斜率k=1＜$\sqrt {3}$，
∴该直线与双曲线x-$\frac {y}{3}$=1(x≥1)有交点，
∴该直线是“A型直线”；
对于②，∵y=$\sqrt {3}$x+2经过(0，2)且斜率k=$\sqrt {3}$，显然该直线与其渐近线y=$\sqrt {3}$x平行，该直线与双曲线无交点，
∴该直线不是“A型直线”，即②不符合；
对于③，∵y=-x+3 经过(0，3)且斜率k=-1＞-$\sqrt {3}$，
∴该直线与双曲线x-$\frac {y}{3}$=1(x≥1)有交点，故③符合；
同理可得，④y=-2x的斜率k=-2＜-$\sqrt {3}$，
∴该直线与双曲线x-$\frac {y}{3}$=1(x≥1)无交点，
综上所述，①③符合．
故选D．
点评：
本题考查双曲线的概念与性质，考查其渐近线方程的应用，突出转化思想与分析应用能力的考查，属于中档题．
直线y=kx+2与双曲线x-y_=2有且只有一个交点，那么实数k的值是（ ）
分析：
直接联立直线方程和双曲线方程，分二次项系数为0和不为0分析，二次项系数不为0时需要得到的二次方程的判别式等于0．
解答：
解：联立$\left\{\begin{matrix}y=kx+2 \ x-y_=2 \ \end{matrix}\right.$，得(1-k_)x-4kx-6=0 ①．
当1-k_=0，即k=±1时，方程①化为一次方程，直线y=kx+2与双曲线x-y_=2有且只有一个交点；
当1-k_≠0，即k≠±1时，要使直线y=kx+2与双曲线x-y_=2有且只有一个交点，则方程①有两个相等的实数根，即△=(-4k)_-4(1-k_)•(-6)=0，解得：k=±$\sqrt {3}$．
综上，使直线y=kx+2与双曲线x-y_=2有且只有一个交点的实数k的值是±1或±$\sqrt {3}$．
故选：C．
点评：
本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
过双曲线x-$\frac {y}{2}$=1的右焦点作直线l交双曲线与A，B两点，若|AB|=5则这样的直线共有( )条
分析：
先看当A、B都在右支上时，若AB垂直x轴，根据双曲线方程求得交点的坐标，把交点横坐标代入双曲线方程求得交点的纵坐标，进而求得AB的长，结果小于5，则根据双曲线的对称性判断出符合题意的直线有两条；再看若A、B分别在两支先看A，B为两顶点时，不符合题意进而可推断出符合题意的直线有两条，最后综合可得答案．
解答：
解：若A、B都在右支
若AB垂直x轴
a_=1，b_=2
c_=3
所以F($\sqrt {3}$，0)
则A、B的横坐标是x=$\sqrt {3}$
代入x-$\frac {y}{2}$=1，求得y=±2
所以|AB|=|y$_1$-y$_2$|=4＜5
所以|AB|=5的直线有两条，关于x=$\sqrt {3}$对称
若A、B分别在两支
a=1
所以顶点距离=1+1=2＜5
所以|AB|=5也有两条，关于x轴对称
所以一共4条
故选C
点评：
本题主要考查了双曲线的对称性和直线与双曲线的关系．考查了学生分析推理和分类讨论思想的运用．