《由函数奇偶性求函数值》由函数奇偶性求函数值

1单选题

已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)=x+$\frac {1}{x}$，则f(-1)=（　　）

-2

题目答案

答案解析

分析：

利用奇函数的性质，f(-1)=-f(1)，即可求得答案．

解答：

解：∵函数f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)=x+$\frac {1}{x}$，

∴f(-1)=-f(1)=-2，

故选A．

点评：

本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．

2填空题

已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9，g(-2)=3，则f(2)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g(-2)=3，求出f(2)的值．

解答：

解：∵g(-2)=f(-2)+9

∵f(x)为奇函数

∴f(-2)=-f(2)

∴g(-2)=-f(2)+9

∵g(-2)=3

所以f(2)=6

故答案为6

点评：

本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x)

3单选题

已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为（　　）

-1

题目答案

答案解析

分析：

利用奇函数的性质f(0)=0及条件f(x+2)=-f(x)即可求出f(6)．

解答：

解：因为f(x+2)=-f(x)，

所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0)，

又f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=0，

所以f(6)=0，

故选B．

点评：

本题考查奇函数的性质．

4单选题

定义在R上的奇函数f(x)满足：x≤0时f(x)=a_+b(a＞0且a≠1)，f(1)=$\frac {1}{2}$，则f(2)=（　　）

$\frac {3}{4}$

-$\frac {3}{4}$

-3

题目答案

答案解析

分析：

根据奇函数f(x)得f(0)=0，f(-1)=-$\frac {1}{2}$建立方程组，解之可求出a与b的值，从而求出x≤0时f(x)的解析式，再根据奇函数性质可求出所求．

解答：

解：∵定义在R上的奇函数f(x)

∴f(0)=f(-0)=-f(0)即f(0)=0

∵f(1)=$\frac {1}{2}$，∴f(-1)=-$\frac {1}{2}$

∵x≤0时f(x)=a_+b

∴$\left\{\begin{matrix}a_+b=0 \ a_+b=-$\frac {1}{2}$ \ \end{matrix}\right.$即$\left\{\begin{matrix}a=2 \ b=-1 \ \end{matrix}\right.$

即f(x)=2_-1 (x≤0)

∴f(2)=-f(-2)=-(2_-1)=$\frac {3}{4}$

故选A．

点评：

本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．

5填空题

设函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2x-3，则f(-2)+f(0)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-1

答案解析

分析：

先根据函数f(x)是R上的奇函数求出f(0)，然后将f(-2)转化成求f(2)的值即可求出所求．

解答：

解：∵函数f(x)是R上的奇函数

∴f(0)=0，f(-x)=-f(x)

f(-2)=-f(2)

∵当x＞0时，f(x)=2x-3，

∴f(2)=1则f(-2)=-f(2)=-1

故答案为：-1

点评：

本题主要考查了函数奇偶性的性质，通常将某些值根据奇偶性转化到已知的区间上进行求解，属于基础题．

6填空题

已知函数f(x)=ax+bx+1，且f(-a)=6，则f(a)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-4

答案解析

分析：

本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f(-x)与f(x)的关系，从面通过f(-a)的值求出f(a)的值，得到本题结论．

解答：

解：∵函数f(x)=ax+bx+1，

∴f(-x)=a(-x)_+b(-x)+1

=-ax-bx+1，

∴f(-x)+f(x)=2，

∴f(-a)+f(a)=2．

∵f(-a)=6，

∴f(a)=-4．

故答案为：-4．

点评：

本题考查了函数的奇偶性，本题难度不大，属于基础题．

7单选题

函数f(x)=ax+bx+1(x∈R)，若f(m)=2．则f(-m)的值为（　　）

-1

-2

题目答案

答案解析

分析：

把函数f(x)看成是一个奇函数g(x)=ax+bx和常数函数y=1的和，由f(m)=2求出g(m)，则f(-m)可求．

解答：

解：令g(x)=ax+bx，则函数g(x)为奇函数，

由f(m)=2，得：g(m)+1=2，所以g(m)=1，

所以f(-m)=g(-m)+1=-g(m)+1=-1+1=0．

故选B．

点评：

本题考查了函数奇偶性的性质，考查了学生灵活处理问题的能力，此题是基础题．

8单选题

已知f(x)=x+ax+bx+2，且f(-2)=-3，则f(2)=（　　）

-1

题目答案

答案解析

分析：

将f(x)=x+ax+bx+2，转化为f(x)-2=x+ax+bx，则F(x)=f(x)-2为奇函数，利用奇函数的性质求f(2)即可．

解答：

解：由f(x)=x+ax+bx+2，得f(x)-2=x+ax+bx，

设F(x)=f(x)-2，

则F(x)为奇函数，

∴F(-2)=-F(2)，

即f(-2)-2=-f(2)+2，

∴f(2)=-f(-2)+4=3+4=7，

故选：C．

点评：

本题主要考查函数奇偶性的应用和求解，利用函数特点构造奇函数是解决本题的关键，本题也可以直接建立方程组进行求解．

9填空题

已知y=f(x)+x是偶函数，且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由y=f(x)+x是偶函数，且f(1)=1，先求出f(-1)的值，再由g(x)=f(x)+2求出g(-1)的值．

解答：

解：∵y=f(x)+x是偶函数，

∴f(-x)-x=f(x)+x，

即f(-x)=f(x)+2x；

又∵f(1)=1，

∴f(-1)=f(1)+2×1=1+2=3；

又∵g(x)=f(x)+2，

∴g(-1)=f(-1)+2=3+2=5；

故答案为：5．

点评：

本题考查了利用函数的奇偶性求函数值的问题，是基础题．

10填空题

若 f(x)=ax^{7}+bx^{5}+cx^{3}+dx+8，f(-5)=-15则 f(5)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

解答：

点评：

本题考查函数的奇偶性，构造函数g(x)，利用其奇偶性是解决问题的关键，属基础题．

11填空题

奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-15

答案解析

分析：

先利用条件找到f(3)=-1，f(6)=8，再利用f(x)是奇函数求出f(-6)，f(-3)代入即可．

解答：

解：f(x)在区间[3，6]上也为递增函数，即f(6)=8，f(3)=-1

∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-15

故答案为：-15

点评：

本题考查了函数奇偶性和单调性的应用．若已知一个函数为奇函数，则应有其定义域关于原点对称，且对定义域内的一切x都有f(-x)=-f(x)成立．

12单选题

对于函数f(x)=ax+bx+c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是（　　）

4和6

3和1

2和4

1和2

题目答案

答案解析

分析：

构造函数g(x)=ax+bx，可判断g(x)为奇函数，进而可得f(1)与f(-1)的和为偶数，综合选项可得答案．

解答：

解：构造函数g(x)=ax+bx，可得g(-x)=-g(x)，

故函数g(x)为奇函数，故有g(-1)=-g(1)，

故f(1)=g(1)+c，f(-1)=g(-1)+c，

两式相加可得f(1)+f(-1)=g(1)+g(-1)+2c=2c

故c=$\frac {f(1)+f(-1)}{2}$，又因为c∈Z，

故f(1)与f(-1)的和除以2为整数，

综合选项可知不可能为D

故选D

点评：

本题考查函数的奇偶性，涉及构造函数的方法，属基础题．

13单选题

如果偶函数f(x)在区间[5，7]上是增函数且最小值是6，则f(x)在[-7，-5]上是（　　）

增函数，最大值为6

增函数，最小值是6

减函数，最大值为6

减函数，最小值是6

题目答案

答案解析

分析：

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用函数f(x)在区间[5，7]上是增函数且最小值是6，即可得到结论．

解答：

解：∵函数f(x)是偶函数

∴函数的图象关于y轴对称

∵函数f(x)在区间[5，7]上是增函数且最小值是6

∴f(x)在[-7，-5]上是减函数，最小值是6

故选D．

点评：

本题重点考查偶函数的性质，考查函数的单调性与最值，解本题的关键是利用偶函数的图象关于y轴对称．

14单选题

已知f(x)是定义在[-2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x＞0，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是( )．

(2，3]∪[-3，-2]

(2，3]∪[-3，-2)

(2，3)∪[-3，-2)

(2，3]∪(-3，-2)

题目答案

答案解析

分析：

先根据函数的奇偶性作出函数在y轴左侧的图象，欲求f(x)的值域，分两类讨论：①x＞0；②x＜0．结合图象即可解决问题．

解答：

解：∵f(x)是定义在[-2，0)∪(0，2]上的奇函数，

∴作出图象关于原点对称作出其在y轴左侧的图象，如图．

由图可知：f(x)的值域是 (2，3]∪[-3，-2)．

故答案为：(2，3]∪[-3，-2)，选B．

点评：

本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．

15单选题

已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，若g(1)=2，则f(2012)=（　　）

-2

±2

题目答案

答案解析

分析：

根据函数奇偶性之间的关系求出函数f(x)是周期函数，即可得到结论．

解答：

解：∵g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，

∴g(-x)=f(-x-1)=-f(x-1)，

∵函数f(x)是R上的偶函数，

∴f(-x-1)=-f(x-1)=f(x+1)，

则f(x+2)=-f(x)，

即f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

则f(x)是周期为4的周期函数，

则f(2012)=f(0)=f(1-1)=g(1)=2，

故选：A

点评：

本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的定义和性质进行转化，求出函数f(x)是周期函数是解决本题的关键．

16单选题

若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0，+∞)上存在最大值5，则f(x)在(-∞，0)上存在（　　）

最小值-5

最大值-5

最小值-1

最大值-3

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，分析可得即当x＞0时，有aφ(x)+bg(x)+2≤5，即aφ(x)+bg(x)≤3，由奇函数的性质，可得aφ(x)+bg(x)也为奇函数，利用奇函数的定义，可得当x＜0时，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1，即可得答案．

解答：

解：根据题意，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2在(0，+∞)上存在最大值5，

即当x＞0时，有aφ(x)+bg(x)+2≤5，即aφ(x)+bg(x)≤3，

又由φ(x)，g(x)都是奇函数，则aφ(x)+bg(x)也为奇函数，

故当x＜0时，aφ(x)+bg(x)=-[aφ(-x)+bg(-x)]≥-3，

则当x＜0时，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1，

即f(x)在(-∞，0)上存在最小值-1，

故选C．

点评：

本题考查函数奇偶性的应用，关键是由φ(x)，g(x)都是奇函数得到aφ(x)+bg(x)也为奇函数．

17填空题

已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)，则f(f($\frac {5}{2}$))的值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据条件“对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x)”利用赋值法求出f($\frac {1}{2}$)=0，f($\frac {3}{2}$)=0，f($\frac {5}{2}$)=0，f(0)=0，从而求出所求．

解答：

解：由xf(x+1)=(1+x)f(x)可得

$\frac {3}{2}$f($\frac {5}{2}$)=$\frac {5}{2}$f($\frac {3}{2}$)，$\frac {1}{2}$f($\frac {3}{2}$)=$\frac {3}{2}$f($\frac {1}{2}$)

-$\frac {1}{2}$f($\frac {1}{2}$)=$\frac {1}{2}$f(-$\frac {1}{2}$)又∵f($\frac {1}{2}$)=f(-$\frac {1}{2}$)

∴f($\frac {1}{2}$)=0，f($\frac {3}{2}$)=0，f($\frac {5}{2}$)=0

又∵-1×f(-1+1)=(1-1)f(-1)

∴-f(0)=0×f(-1)=0

即f(0)=0

∴f(f($\frac {5}{2}$))=f(0)=0

故答案为：0

点评：

本题主要考查了抽象函数求值问题，以及函数奇偶性的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．

18单选题

已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)=-x+1，则f(-4)等于（　　）

-3

-5

题目答案

答案解析

分析：

由已知中当x＞0时，f(x)=-x+1，可以求出f(4)的值，再由函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，可得f(-x)=-f(x)进而得到答案．

解答：

解：∵当x＞0时，f(x)=-x+1，

∴f(4)=-4+1=-3

又∵函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，

∴f(-x)=-f(x)

则f(-4)=-f(4)=3

故选B．

点评：

本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，其中根据已知中函数为奇函数，将求f(-4)的值转化为求f(4)的值是解答的关键．

19单选题

函数f(x)=ax+bx+$\frac {c}{x}$+5，满足f(-3)=2，则f(3)的值为（　　）

-2

题目答案

答案解析

分析：

由于函数f(x)=ax+bx+$\frac {c}{x}$+5，由f(-3)=2得到a•3_+b•3+$\frac {c}{3}$=3，运用整体代换法，即可得到f(3)．

解答：

解：由于函数f(x)=ax+bx+$\frac {c}{x}$+5，

则f(-3)=a•(-3)_+b•(-3)+$\frac {c}{-3}$+5=2，

即有a•3_+b•3+$\frac {c}{3}$=3，

则有f(3)=a•3_+b•3+$\frac {c}{3}$+5=3+5=8．

故选B．

点评：

本题考查函数的奇偶性及运用，运用整体代换法是解题的关键，同时考查运算能力，属于中档题．

20单选题

已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，则f(2011)+f(2013)的值为（　　）

-1

无法计算

题目答案

答案解析

分析：

先由f(x)是定义在R上的偶函数得f(-x)=f(x)，然后利用g(x)与f(x)的关系，以及g(x)的奇偶性，得f(x+1)+f(x-1)=0，从而得到要求的数值．

解答：

解：∵f(-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1)，又f(x)为偶函数

∴f(x+1)=f[-(x+1)]=f(-x-1)，于是f(x+1)=-f(x-1)

∴f(x+1)+f(x-1)=0．

∴f(2011)+f(2013)=f(2012-1)+f(2012+1)=0，

故选C．

点评：

本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，难度较大．

21单选题

已知奇函数f(x)，当x＞0时f(x)=x+$\frac {1}{x}$，则f(-1)=（　　）

-1

-2

题目答案

答案解析

分析：

根据函数的奇偶性将f(-1)化简成-f(1)根据，将x=1的值代入x＞0时的解析式，即可求出所求．

解答：

解：∵奇函数f(x)

∴f(-1)=-f(1)

而f(1)=1+1=2

∴f(-1)=-f(1)=-2

故选D

点评：

本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数的值的求解，属于基础题．

22填空题

已知f(x)在R上是奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)=2x_，f(5)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由f(x+2)=-f(x)，得出周期为4．f(x)在R上是奇函数所以满足f(-x)=-f(x)，再利用当x∈(0，2)时，f(x)=2x_，将f(5)进行转化求解．

解答：

解：∵f(x+2)=-f(x)∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，

∴函数f(x) 的周期为T=4，

∴f(5)=f(1)=2×1_=2

故答案为：2；

点评：

此题考查了函数周期的定义及利用定义求函数的周期，还考查了奇函数性质及已知函数解析式代入求函数值

23单选题

设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)=x+1，则f(-2)=（　　）

-5

-3

题目答案

答案解析

分析：

根据题意要求的是-2的函数值，先求出x=2的函数值，根据函数是一个奇函数，得到两个函数值之间的互为相反数的关系，得到结果．

解答：

解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，

当x＞0时，f(x)=x+1，

∴f(2)=2_+1=5

∴f(-2)=-f(2)=-5，

故选A．

点评：

本题考查函数的奇偶性的应用，解题的过程中，一定要抓住函数性质，注意应用函数的性质，本题的运算量很小，是一个送分题目．

24单选题

如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（　　）

增函数且最小值为-5

增函数且最大值为-5

减函数且最小值为-5

减函数且最大值为-5

题目答案

答案解析

分析：

由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．

解答：

解：因为奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，

所以f(x)在区间[-7，-3]上也是增函数，

且奇函数f(x)在区间[3，7]上有f(3)_min=5，

则f(x)在区间[-7，-3]上有f(-3)_max=-f(3)=-5，

故选B．

点评：

本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系．

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《由函数奇偶性求函数值》由函数奇偶性求函数值

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