《解三角方程》解三角方程

1单选题

已知定义在(0，$\frac {π}{2}$)上的函数y=2(sinx+1)与y=$\frac {8}{3}$的图象相交于点P，过点P作PP$_1$⊥x轴于P$_1$，直线PP$_1$与y=tanx的图象交于点P$_2$，则线段P$_1$P$_2$的长度为( )

$\frac {1}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

首先根据已知条件求出sinx的值，进一步利用同角三角函数的恒等变换求出tanx的值，即所求结果．

解答：

解：已知定义在(0，$\frac {π}{2}$)上的函数y=2(sinx+1)与y=$\frac {8}{3}$的图象相交于点P，过点P作PP$_1$⊥x轴于P$_1$，令2(sinx+1)=$\frac {8}{3}$

解得：sinx=$\frac {1}{3}$

直线PP$_1$与y=tanx的图象交于点P．

cosx=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$

所以：tanx=$\frac {sinx}{cosx}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$

即线段P$_1$P$_2$的长度为：$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$，所以选C．

点评：

本题考查的知识点：解三角函数的方程，同角三角函数的恒等关系式及相关的运算问题．

2单选题

方程|sinx|=1的解集是( )

{x|x=kπ+π，k∈Z}

{x|x=kπ，k∈Z}

{x|x=kπ+$\frac {π}{2}$，k∈Z}

{x|x=$\frac {(k+1)π}{2}$，k∈Z}

题目答案

答案解析

分析：

根据绝对值的意义，去掉绝对值，得到角的正弦值等于正负1，当正弦值等于1时，写出角的结果，当正弦值等于-1时，写出角的结果，把两个结果整理成一个表达式，得到结果．

解答：

解：∵|sinx|=1，

∴sinx=±1

当sinx=1时，x=2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z

当sinx=-1时，x=2kπ-$\frac {π}{2}$，k∈z

∴x=kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z

故答案为：{x|x=kπ+$\frac {π}{2}$，k∈Z}，所以选C．

点评：

本题考查带有绝对值的函数及正弦函数的定义域和值域，本题解题的关键是去掉绝对值，得到正弦函数的等式，本题是一个基础题．

3填空题

定义在区间(0，$\frac {π}{2}$)上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP$_1$⊥x轴于点P$_1$，直线PP$_1$与y=sinx的图象交于点P$_2$，则线段PP$_2$的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2}{3}$

答案解析

分析：

先将求P$_1$P$_2$的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．

解答：

解：线段P$_1$P$_2$的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=$\frac {2}{3}$．线段P$_1$P$_2$的长为$\frac {2}{3}$，

故答案为：$\frac {2}{3}$．

点评：

本题主要考查考查三角函数的图象、体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．

4单选题

在区间[-2π，2π]范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

直接由tanx=sinx，解方程即可得到结论．

解答：

解：tanx=sinx得$\frac {sinx}{cosx}$=sinx，

即sinx($\frac {1}{cosx}$-1)=0，

即sinx=0或$\frac {1}{cosx}$=1，

∴sinx=0或cosx=1．

∴在区间[-2π，2π]内x=-2π，-π，0，π，2π共5个值．

故两个函数图象的交点个数为5个．

故选：B．

点评：

本题主要考查函数图象交点个数的判断，利用函数和方程之间的关系，直接解方程即可．

5填空题

定义在区间(0.$\frac {π}{2}$)上的函数y=3cosx的图象与y=8tanx的图象的交点为P，过点P作PP$_1$⊥x轴于点P$_1$，直线PP$_1$与y=sinx的图象交于点P$_2$，则线段P$_1$P$_2$的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{3}$

答案解析

分析：

方程组$\left\{\begin{matrix}y=3cosx \ y=8tanx \ \end{matrix}\right.$的解是P点的坐标，由已知条件知：P$_1$P$_2$的长，应等于P点横坐标的正弦值，而通过解方程组得到sinx=$\frac {1}{3}$，所以|P$_1$P$_2$|=$\frac {1}{3}$．

解答：

解：解$\left\{\begin{matrix}y=3cosx \ y=8tanx \ \end{matrix}\right.$，3cosx=$\frac {8sinx}{cosx}$，8sinx=3cos_x=3-3sin_x；

∴3sin_x+8sinx-3=0解得sinx=$\frac {1}{3}$，或sinx=-3(舍去)；

而sinx=$\frac {1}{3}$中的x便是交点P，P$_1$，P$_2$三点的横坐标；

∴|P$_1$P$_2$|=sinx=$\frac {1}{3}$；

故答案为：$\frac {1}{3}$．

点评：

通过已知条件要弄清三点P，P$_1$，P$_2$三点的横坐标相同，通过方程组$\left\{\begin{matrix}y=3cosx \ y=8tanx \ \end{matrix}\right.$解出的x就是这三点的横坐标，而sinx就是|P$_1$P$_2$|．

6填空题

方程2cos_x+3sinx=0在区间(-$\frac {π}{2}$，$\frac {π}{2}$)上的解集为x=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {π}{6}$

答案解析

分析：

利用同角三角函数的基本关系式，转化方程为正弦函数的形式，求出正弦函数值，然后求解即可．

解答：

解：方程2cos_x+3sinx=0可化为：2-2sin_x+3sinx=0，

解得sinx=-$\frac {1}{2}$，或sinx=2(舍去)．

∵x∈(-$\frac {π}{2}$，$\frac {π}{2}$)，sinx=-$\frac {1}{2}$，

∴x=-$\frac {π}{6}$，

故答案为：-$\frac {π}{6}$．

点评：

本题考查三角函数的化简求值，三角方程的解法，考查计算能力．

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