《求双曲线离心率的取值范围》求双曲线离心率的取值范围

1单选题

设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（　　）

(0，$\sqrt {2}$)

(1，$\sqrt {2}$)

($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，1)

($\sqrt {2}$，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围．

解答：

解：渐近线y=±$\frac {b}{a}$x．

准线x=±$\frac {a}{c}$，

求得A(-$\frac {a}{c}$，$\frac {ab}{c}$)．B(-$\frac {a}{c}$，-$\frac {ab}{c}$)，

左焦点在以AB为直径的圆内，

得出 -$\frac {a}{c}$+c＜$\frac {ab}{c}$，

$\frac {b}{c}$＜$\frac {ab}{c}$，

b＜a，

c_＜2a_

∴1＜e＜$\sqrt {2}$，

故选B．

点评：

本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查圆内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．

2单选题

双曲线$\frac {x}{a}^{2}$-$\frac {y}{b}^{2}$=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F$_1$、F$_2$，若P为其上一点，且|PF$_1$|=2|PF$_2$|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

(1，3)

(1，3]

(3，+∞)

[3，+∞]

题目答案

答案解析

分析：

可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．

解答：

解：设|PF$_1$|=x，|PF$_2$|=y，则有x=2y ； x-y=2a，解得x=4a，y=2a，∵在△PF$_1$F$_2$中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，∴1＜$\frac {c}{a}$＜3，又因为当三点一线时，4a+2a=2c，综合得离心的范围是(1，3]，故选B．

点评：

本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．

3单选题

设a＞1，则双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{(a+1)}$=1的离心率e的取值范围是（　　）

($\sqrt {2}$，2)

($\sqrt {2}$，$\sqrt {5}$)

(2，5)

(2，$\sqrt {5}$)

题目答案

答案解析

分析：

根据题设条件可知：e_=($\frac {c}{a}$)_=$\frac {a_+(a+1)}{a}$=1+(1+$\frac {1}{a}$)_，然后由实数a的取值范围可以求出离心率e的取值范围．

解答：

解：e_=($\frac {c}{a}$)_=$\frac {a_+(a+1)}{a}$=1+(1+$\frac {1}{a}$)_，

因为$\frac {1}{a}$是减函数，所以当a＞1时0＜$\frac {1}{a}$＜1，

所以2＜e_＜5，即$\sqrt {2}$＜e＜$\sqrt {5}$，

故选B．

点评：

本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用．

4单选题

已知点F$_1$、F$_2$分别是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左、右焦点，过F$_1$且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF$_2$为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

(1，+∞)

(1，$\sqrt {3}$)

(1，2)

(1，1+$\sqrt {2}$)

题目答案

答案解析

分析：

由过F$_1$且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABF$_2$为等腰三角形，所以△ABF$_2$为锐角三角形只要∠AF$_2$B为锐角即可，由此可知$\frac {b}{a}$＜2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答：

解：根据题意，易得AB=2$\frac {b}{a}$，F$_1$F$_2$=2c，

由题设条件可知△ABF$_2$为等腰三角形，

只要∠AF$_2$B为锐角，即AF$_1$＜F$_1$F$_2$即可；

所以有$\frac {b}{a}$＜2c，

即2ac＞c_-a_，

解出e∈(1，1+$\sqrt {2}$)，

故选D．

点评：

本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．

5单选题

双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1的两条渐近线分别为l$_1$，l$_2$，右焦点为F，若在右支上存在一点P，使得P到l$_1$的距离d$_1$、$\frac {\sqrt {3}}{2}$|PF|、P到l$_2$的距离d$_2$依次成等比数列，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

[$\sqrt {2}$，2]

(1，$\sqrt {2}$]

(1，$\sqrt {2}$)

(1，2]

题目答案

答案解析

分析：

求出双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的两条渐近线方程，可求d$_1$=$\frac {|bx+ay|}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}$，d$_2$=$\frac {|bx-ay|}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}$，利用P到l$_1$的距离d$_1$、$\frac {\sqrt {3}}{2}$|PF|、P到l$_2$的距离d$_2$依次成等比数列，可得$\frac {3}{4}$|PF|²=$\frac {ab}{c}$，结合|PF|≥c-a，即可得出结论．

解答：

解：设P(x，y)(x≥a)，则∵双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的两条渐近线分别为bx+ay=0，bx-ay=0，∴d$_1$=$\frac {|bx+ay|}{$\sqrt {}$}$，d$_2$=$\frac {|bx-ay|}{$\sqrt {}$}$，∴d$_1$d$_2$=$\frac {|bx+ay|}{$\sqrt {}$}$•$\frac {|bx-ay|}{$\sqrt {}$}$=$\frac {b_x-a_y}{c}$=$\frac {a_b}{c}$，∵P到l$_1$的距离d$_1$、$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$|PF|、P到l$_2$的距离d$_2$依次成等比数列，∴$\frac {3}{4}$|PF|_=$\frac {a_b}{c}$，∴|PF|_=$\frac {4a_b}{3c}$∵|PF|≥c-a，∴$\frac {4a_b}{3c}$≥(c-a)_，∴4a_(c_-a_)≥3c_(c-a)_，∴3e_-e-2≤0，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选D．

点评：

本题考查双曲线的离心率，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，难度大．

6单选题

已知点F是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的右焦点，点C是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABC是锐角三角形，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

(1，2)

(1，+∞)

(2，1+$\sqrt {2}$)

(1，1+$\sqrt {2}$)

题目答案

答案解析

分析：

利用双曲线的对称性及锐角三角形∠ACF＜45°得到AF＜CF，求出A的坐标；求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

解答：

解：∵△ABC是锐角三角形

∴∠ACB为锐角

∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴

∴∠ACF=∠BCF＜45°

∴AF＜CF

∵F为右焦点，设其坐标为(c，0)

所以A( c，$\frac {b}{a}$)

所以AF=$\frac {b}{a}$，CF=a+c

∴$\frac {b}{a}$＜a+c即c_-ac-2a_＜0

解得 -1＜$\frac {c}{a}$＜2

双曲线的离心率的范围是(1，2)

故选A．

点评：

本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c_=a_+b_、考查双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．

7单选题

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

($\frac {3}{2}$，+∞)

(1，$\frac {3}{2}$)

(2，+∞)

(1，2)

题目答案

答案解析

分析：

设双曲线方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

解答：

解：设双曲线方程为$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1，a＞b＞0则直线AB方程为：x=c，其中c=$\sqrt {a^{2}+b^{2}}$因此，设A(c，y₀)，B(c，-y₀)，∴$\frac {c^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}$=1，解之得y₀=$\frac {b}{a}$，得|AF|=$\frac {b}{a}$，∵双曲线的左焦点M(-a，0)在以AB为直径的圆内部∴|MF|＜|AF|，即a+c＜$\frac {b}{a}$，将b²=c²-a²，并化简整理，得2a²+ac-c²＜0两边都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2(舍负)故选：C

点评：

本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

8单选题

已知F$_1$、F$_2$分别是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左、右焦点，过F$_1$且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF$_2$为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

(1，+∞)

(1，$\sqrt {3}$)

(1，1+$\sqrt {2}$)

(1+$\sqrt {2}$，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

由过F$_1$且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF$_2$为钝角三角形只要∠AF$_2$B为钝角即可，由此可知 $\frac {b}{a}$＞2c，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

解答：

解：由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF$_2$B为钝角即可，

所以有 $\frac {b}{a}$＞2c，即2ac＜c_-a_，解出e∈(1+$\sqrt {2}$，+∞)，

故选D．

点评：

本题考查双曲线的离心率和钝角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘．

9单选题

已知点F是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

(1，+∞)

(1，2)

(1，1+$\sqrt {2}$)

(2，1+$\sqrt {2}$)

题目答案

答案解析

分析：

根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．

解答：

解：根据双曲线的对称性，得

△ABE中，|AE|=|BE|，

∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角

由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|

∵|AF|=$\frac {b}{a}$=$\frac {c_-a}{a}$，|EF|=a+c

∴$\frac {c_-a}{a}$＜a+c，即2a_+ac-c_＞0

两边都除以a_，得e_-e-2＜0，解之得-1＜e＜2

∵双曲线的离心率e＞1

∴该双曲线的离心率e的取值范围是(1，2)

故选：B

点评：

本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

10单选题

双曲线$\frac {x^{2}}{a^{2}}$-$\frac {y^{2}}{b^{2}}$=1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F$_1$，F$_2$，若双曲线上存在一点P，满足|PF$_1$|=2|PF$_2$|，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

(1，3]

(1，3)

(3，+∞)

[3，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

设P点的横坐标为x，根据|PF$_1$|=2|PF$_2$|，P在双曲线右支(x≥a)，利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答：

解：设P点的横坐标为x∵|PF$_1$|=2|PF$_2$|，P在双曲线右支(x≥a)根据双曲线的第二定义，可得2e(x-$\frac {a}{c}$)=e(x+$\frac {a}{c}$)∴ex=3a∵x≥a，∴ex≥ea∴3a≥ea，∴e≤3∵e＞1，∴1＜e≤3故选A．

点评：

本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．

11单选题

点P是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)左支上的一点，其右焦点为F(c，0)，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为$\frac {1}{8}$c，则双曲线的离心率e范围是（　　）

(1，8]

(1，$\frac {4}{3}$]

($\frac {4}{3}$，$\frac {5}{3}$)

(2，3]

题目答案

答案解析

分析：

直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．

解答：

解：设双曲线的左焦点为F$_1$，因为点P是双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)左支上的一点，

其右焦点为F(c，0)，若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为$\frac {1}{8}$c，

由三角形中位线定理可知：OM=$\frac {1}{2}$PF$_1$，PF$_1$=PF-2a，PF≥a+c．

所以$\frac {1}{4}$c+2a≥a+c，1＜e≤$\frac {4}{3}$．

故选B．

点评：

本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．

12单选题

当m∈[-2，-1]时，二次曲线$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{m}$=1的离心率e的取值范围是（　　）

[$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$]

[$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$]

[$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$]

[$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$]

题目答案

答案解析

分析：

先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．

解答：

解：二次曲线为双曲线，则a_=4，b_=-m，c_=4-m，e_=1-$\frac {m}{4}$∈[$\frac {5}{4}$，$\frac {6}{4}$]，∴e∈[$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$]，故选C．

点评：

本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．

13单选题

已知椭圆C$_1$：$\frac {x}{m+2}$+$\frac {y}{n}$=1与双曲线C$_2$：$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{n}$=1共焦点，则椭圆C$_1$的离心率e的取值范围为（　　）

($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，1)

(0，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)

(0，1)

(0，$\frac {1}{2}$)

题目答案

答案解析

分析：

根据椭圆C$_1$：$\frac {x}{m+2}$+$\frac {y}{n}$=1与双曲线C$_2$：$\frac {x}{m}$-$\frac {y}{n}$=1共焦点，确定n的值与m的范围，进一步可求椭圆C$_1$的离心率e的取值范围

解答：

解：由题意，m+2-n=m+n，∴n=1

又m+2＞n，m＞0，∴m+2＞2

∵e_=$\frac {m+2-n}{m+2}$=1-$\frac {1}{m+2}$

∴$\frac {1}{2}$＜e_＜1

∴$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$＜e＜1

故选A．

点评：

本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

14单选题

已知F$_1$，F$_2$分别为双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1，(a＞0，b＞0)，的左、右焦点，若在右支上存在点A，使得点F$_2$到直线AF$_1$的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

(1，$\sqrt {2}$)

(1，$\sqrt {2}$]

($\sqrt {2}$，+∞)

[$\sqrt {2}$，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

设A点坐标为(m，n)，则直线AF$_1$的方程为 (m+c)y-n(x+c)=0，求出右焦点F$_2$(c，0)到该直线的距离，可得e_=$\frac {c}{a}$=1+($\frac {m}{n}$)_，根据A是双曲线上的点，可得关于e的不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答：

解：设A点坐标为(m，n)，则直线AF$_1$的方程为 (m+c)y-n(x+c)=0，

右焦点F$_2$(c，0)到该直线的距离$\frac {|n(c+c)|}{$\sqrt {}$}$=2a，

即$\frac {c_n}{n_+m}$=a_，

所以e_=$\frac {c}{a}$=1+($\frac {m}{n}$)_

因为A是双曲线上的点，

所以$\frac {m}{a}$-$\frac {n}{b}$=1，

所以($\frac {m}{n}$)_=$\frac {a}{b}$+$\frac {a}{n}$，

所以e_=1+$\frac {a}{b}$+$\frac {a}{n}$＞1+$\frac {a}{b}$=1+$\frac {a}{c_-a}$=1+$\frac {1}{e_-1}$

所以e_-1＞1，

即e＞$\sqrt {2}$．

故选：C．

点评：

本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

15单选题

双曲线$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{k}$=1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是（　　）

(-∞，0)

(-3，0)

(-12，0)

(-60，-12)

题目答案

答案解析

分析：

先把双曲线方程化为标准形式，由离心率的范围求出k的取值范围．

解答：

解：∵双曲线$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{k}$=1的离心率e∈(1，2)，

∴双曲线标准方程为：$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{-k}$=1∴k＜0，

∴1＜e_＜4，1＜$\frac {4-k}{4}$＜4，-12＜k＜0，

故答案选 C

点评：

本题考查双曲线的标准方程和离心率．

读趣百科

《求双曲线离心率的取值范围》求双曲线离心率的取值范围

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析