《微积分基本定理》微积分基本定理

1单选题

一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)=7-3t+$\frac {25}{1+t}$(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（　　）

1+25ln5

8+25ln$\frac {11}{3}$

4+25ln5

4+50ln2

题目答案

答案解析

分析：

令v(t)=0，解得t=4，则所求的距离S=_0v(t)dt，解出即可．

解答：

解：令v(t)=7-3t+$\frac {25}{1+t}$=0，化为3t_-4t-32=0，又t＞0，解得t=4．

∴由刹车行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离s=_0(7-3t+$\frac {25}{1+t}$)dt=[7t-$\frac {3t}{2}$+25ln(1+t)]_0=4+25ln5．

故选C．

点评：

熟练掌握导数的运算法则和定积分的几何意义是解题的关键．

2单选题

_0(e_+2x)dx等于（　　）

e-1

e_+1

题目答案

答案解析

分析：

求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差．

解答：

解：_0(e_+2x)dx=(e_+x)|_0_=e+1-1=e

故选C．

点评：

本题考查利用微积分基本定理求定积分值．

3单选题

已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为V_甲和V_乙(如图所示)．那么对于图中给定的t_0和t$_1$，下列判断中一定正确的是(　　)

在t$_1$时刻，甲车在乙车前面

t$_1$时刻后，甲车在乙车后面

在t_0时刻，两车的位置相同

t_0时刻后，乙车在甲车前面

题目答案

答案解析

分析：

利用定积分求面积的方法可知t_0时刻前甲走的路程大于乙走的路程，则在t_0时刻甲在乙的前面；又因为在t$_1$时刻前利用定积分求面积的方法得到甲走的路程大于乙走的路程，甲在乙的前面；同时在t_0时刻甲乙两车的速度一样，但是路程不一样．最后得到A正确，B、C、D错误．

解答：

解：当时间为t_0时，利用定积分得到甲走过的路程=_0v_甲dt=a+c，乙走过的路程=_0v_乙dt=c；

当时间为t$_1$时，利用定积分得到甲走过的路程=_0v_甲dt=a+c+d，而乙走过的路程=_0v_乙dt=c+d+b；

从图象上可知a＞b，所以在t$_1$时刻，a+c+d＞c+d+b即甲的路程大于乙的路程，A正确；t$_1$时刻后，甲车走过的路程逐渐小于乙走过的路程，甲车不一定在乙车后面，所以B错；在t_0时刻，甲乙走过的路程不一样，两车的位置不相同，C错；t_0时刻后，t$_1$时刻时，甲走过的路程大于乙走过的路程，所以D错．

故答案为A

点评：

考查学生利用定积分求图形面积的能力，以及会观察函数图象并提取有价值数学信息的能力，数形结合的数学思想的运用能力．

4单选题

计算_-a(xcosx-5sinx+2)dx=（　　）

-4a

asin2a-5cos2a+2

题目答案

答案解析

分析：

利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．

解答：

解：∵(xsinx+6cosx+2x)_=xcosx-5sinx+2，

∴_-a(xcosx-5sinx+2)dx=(xsinx+6cosx+2x)_-a=4a．

故选B．

点评：

熟练掌握导数的运算法则和微积分基本定理是解题的关键．

5单选题

设a=$_1$$\frac {1}{x}$dx，b=$_1$$\frac {1}{x}$dx，c=$_1$$\frac {1}{x}$dx，则下列关系式成立的是（　　）

$\frac {a}{2}$＜$\frac {b}{3}$＜$\frac {c}{5}$

$\frac {b}{3}$＜$\frac {a}{2}$＜$\frac {c}{5}$

$\frac {c}{5}$＜$\frac {a}{2}$＜$\frac {b}{3}$

$\frac {a}{2}$＜$\frac {c}{5}$＜$\frac {b}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用微积分基本定理就看得出a=ln2，b=ln3，c=ln5．再利用幂函数的单调性即可得出答案．

解答：

解：∵(lnx)_=$\frac {1}{x}$，∴a=(lnx)$_1$=ln2，b=(lnx)$_1$=ln3，c=(lnx)$_1$=ln5．

∵$\sqrt {2}$=$\sqrt {8}$，$\sqrt {3}$=$\sqrt {9}$，$\sqrt {8}$＜$\sqrt {9}$，∴$\sqrt {2}$＜$\sqrt {3}$，∴ln$\sqrt {2}$＜ln$\sqrt {3}$，∴$\frac {ln2}{2}$＜$\frac {ln3}{3}$，∴$\frac {a}{2}$＜$\frac {b}{3}$；

∵$\sqrt {2}$=$\sqrt {32}$，$\sqrt {5}$=$\sqrt {25}$，$\sqrt {32}$＞$\sqrt {25}$，∴ln$\sqrt {5}$＜ln$\sqrt {2}$，∴$\frac {ln5}{5}$＜$\frac {ln2}{2}$，∴$\frac {c}{5}$＜$\frac {a}{2}$．

∴$\frac {c}{5}$＜$\frac {a}{2}$＜$\frac {b}{3}$．

故选C．

点评：

熟练掌握微积分基本定理和幂函数的单调性是解题的关键．

6填空题

定积分_-1(x+sinx)dx=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据定积分的计算公式计算即可．

解答：

解：_-1(x+sinx)dx=($\frac {1}{2}$x-cosx)_-1=$\frac {1}{2}$- cos1-$\frac {1}{2}$+cos1=0．

故答案为：0

点评：

本题考查了积分运算，解答的关键是正确找出被积函数的原函数．

7单选题

若f(x)=$\left\{\begin{matrix}-e_，x＞1 \ |x|，x≤1 \ \end{matrix}\right.$(e为自然对数的底数)，则_0f(x)dx=（　　）

$\frac {1}{2}$+e_-e

$\frac {1}{2}$+e

$\frac {1}{2}$-e_+e

-$\frac {1}{2}$+e_-e

题目答案

答案解析

分析：

由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论．

解答：

解：_0f(x)dx=_0xdx+$_1$(-e_)dx=$\frac {1}{2}$x__0+(-e_)$_1$=$\frac {1}{2}$-e_+e

故选C．

点评：

本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分．

8单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}x_，x∈[-1，1] \ 2-x，x∈[1，2] \ \end{matrix}\right.$，则_-1f(x)dx=（　　）

$\frac {3}{4}$

$\frac {4}{5}$

$\frac {5}{6}$

$\frac {7}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

利用定积分的运算法则，找出被积函数的原函数，同时注意通过对被积函数中的x进行分类讨论，结合分段函数的解析式化简后进行计算．

解答：

解：_-1f(x)dx

=∫_-1_x_dx+∫$_1$_(2-x)dx

=($\frac {1}{3}$x)|_-1_+(2x-$\frac {1}{2}$x)|$_1$_

=$\frac {7}{6}$．

故选D．

点评：

本题主要考查定积分的基本运算，解题关键是找出被积函数的原函数，利用分段函数的解析式也是注意点，本题属于基础题．

9单选题

设f(x)=$\left\{\begin{matrix}x_ x∈[0，1] \ 2-x x∈[1，2] \ \end{matrix}\right.$，则_0f(x)dx的值为（　　）

$\frac {3}{4}$

$\frac {4}{5}$

$\frac {5}{6}$

$\frac {7}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

把积分_0分成两个部分，_0和$_1$，找出其相对应的函数带入可求定积分的值．

解答：

解：_0f(x)dx=_0f(x)dx+$_1$f(x)dx

=_0x_dx+$_1$(2-x)dx

=$\frac {1}{3}$x__0+(2x-$\frac {1}{2}$x)$_1$

=$\frac {5}{6}$

点评：

分段函数的定积分关键是要找到与定义域相对应的函数，然后分别对函数进行积分．

10单选题

计算_0(1+$\sqrt {}$)dx的结果为（　　）

$\frac {π}{4}$

1+$\frac {π}{4}$

1+$\frac {π}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．

解答：

解：_0(1+$\sqrt {}$)dx=_01dx+_0$\sqrt {}$dx=1+_0$\sqrt {}$dx

∵由定积分的几何意义可知_0$\sqrt {}$dx

表示圆x+y_=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，

∴_0$\sqrt {}$dx=$\frac {1}{4}$×π×1_=$\frac {π}{4}$，

∴_0(1+$\sqrt {}$)dx=1+$\frac {π}{4}$，

故选：C

点评：

本题考查定积分的计算，利用定积分的几何意义是解决本题的关键，属基础题．．

11单选题

_ -1( sinx+1 ) dx的值为（　　）

2+2cos1

2-2cos1

题目答案

答案解析

分析：

关键找准被积函数的原函数．

解答：

解：所求的值为(x-cosx)|_-1_=(1-cos1)-(-1-cos(-1))=2-cos1+cos1=2．

故选B．

点评：

本题主要考查定积分的计算，考查导数公式的逆用，属于基本题型．

12填空题

_0($\sqrt {}$-x)dx=．

填空题答案仅供参考

题目答案

π-2

答案解析

分析：

先根据_0$\sqrt {}$dx表示圆心为(0，0)，半径为2的圆在第一象限的面积，从而可求出_0$\sqrt {}$dx的值，从而可求出所求．

解答：

解：_0($\sqrt {}$-x)dx

=_0$\sqrt {}$dx-_0xdx

=$\frac {1}{4}$π×2_=$\frac {1}{2}$_0

=π-($\frac {1}{2}$×2_-0)

=π-2．

故答案为：π-2．

点评：

本题主要考查了定积分的应用，解题的关键是定积分的几何意义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于中档题．

13单选题

∫_0(cos$\frac {π}{2}$x+$\sqrt {}$)dx的值为（　　）

2π

π+1

π+$\frac {2}{π}$

题目答案

答案解析

分析：

根据定积分的计算和定积分的几何意义，计算可得．

解答：

解：∫_0$\sqrt {}$)dx的几何意义是以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，

故∫_0$\sqrt {}$=$\frac {1}{4}$×4π=π，

所以∫_0(cos$\frac {π}{2}$x+$\sqrt {}$)dx=∫_0cos$\frac {π}{2}$xdx+∫_0$\sqrt {}$dx=$\frac {2}{π}$sin$\frac {πx}{2}$_0+π=π．

故选：B

点评：

本题主要考查了微积分基本定理和定积分的几何意义，属于基础题．

14单选题

一物体在力F(x)=$\left\{\begin{matrix}10(0≤x≤2) \ 3x+4(x＞2) \ \end{matrix}\right.$(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4(单位：m)处，则力F(x)作的功为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用对变力求定积分得到变力做功；再利用定积分的性质：区间可加性求出变力做功．

解答：

解：W=∫_0_F(x)dx=∫_0$_1$0dx+∫$_2$_(3x+4)dx=10x|_0_+($\frac {3}{2}$x+4x)|$_2$_=46

故选B

点评：

本题考查定积分在物理上的应用：求变力做功、考查定积分的性质区间可加：“∫_a_=∫_a_+∫_c_”

15填空题

_-2(x+1)dx=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先由定积分的性质将其分解成两个简单的函数的定积分，然后直接用微积分基本定理求解．

解答：

解：∵($\frac {1}{4}$x)_=x_，x_=1

∴_-2(x+1)dx=($\frac {1}{4}$x+x-2=$\frac {1}{4}$•2_-$\frac {1}{4}$•(-2)_+2-(-2)=4．

故答案为4．

点评：

本题考查的是定积分的运算，解答的关键是求出被积函数的原函数，属基础题．

16单选题

一辆汽车以速度v=3t_行驶，则这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为（　　）

$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用定积分，可求这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程．

解答：

解：这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为_0(3t_)dt=(t_)_0=27．

故选：D．

点评：

本题考查定积分知识，考查学生的计算能力，比较基础．

17单选题

已知分段函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}1+x_，x≤0 \ e_，x＞0 \ \end{matrix}\right.$，则$_1$f(x-2)dx等于（　　）

$\frac {7}{3}$-$\frac {1}{e}$

2-e

3+$\frac {1}{e}$

2-$\frac {1}{e}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出f(x-2)的解析式，然后根据分段函数分段的标准将$_1$f(x-2)dx=∫$_1$_(x-4x+5)dx+∫$_2$_(e_)dx，最后根据定积分的定义进行求解即可．

解答：

解：∵分段函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}1+x_，x≤0 \ e_，x＞0 \ \end{matrix}\right.$，

∴f(x-2)=$\left\{\begin{matrix}x-4x+5，x≤2 \ e_，x＞2 \ \end{matrix}\right.$

$_1$f(x-2)dx=∫$_1$_(x-4x+5)dx+∫$_2$_(e_)dx

=($\frac {1}{3}$x-2x+5x)$_1$+(-e_)|$_2$_

=$\frac {7}{3}$-$\frac {1}{e}$

故选A

点评：

本题主要考查了定积分的应用，以及分段函数的应用，属于基础题．

18填空题

计算：_-2(sinx+2)dx=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的定积分的简单应用，解决本题的关键是熟练掌握定积分的运算公式及运算律，结合公式和运算律，认真运算求解，

解答：

解：_-2(sinx+2)dx=_cosx|_-2_|_-2_=-cos(-2)-cos2+2×4=8

故答案为：8．

点评：

本题考查定积分的简单计算，属于基础题．

19单选题

_-2$\sqrt {}$dx的值是（　　）

4π

2π

$\frac {π}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据积分的几何意义转化求对应曲边形的面积即可．

解答：

解；设y=$\sqrt {}$，(2＜x＜0)，对应的图形为半径为2的圆在第二象限的部分，

则积分的几何意义为圆面积的$\frac {1}{4}$，

∴_-2$\sqrt {}$dx=$\frac {1}{4}$×π×2_=π，

故选：C．

点评：

本题主要考查积分的计算，对于无法使用积分公式进行求解的函数，则可以利用积分的几何意义求对应图形的面积即可．

20单选题

定积分_0($\sqrt {}$-x)dx等于（　　）

$\frac {π-2}{4}$

$\frac {π}{2}$-1

$\frac {π-1}{4}$

$\frac {π-1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=$\sqrt {}$-x与直线x=0，x=1所围成的图形的面积即可．

解答：

解：由定积分的几何意义知

_0($\sqrt {}$-x)dx是由曲线y=$\sqrt {}$与直线y=x，x=0，x=1围成的封闭图形的面积，

故_0($\sqrt {}$-x)dx=$\frac {π-2}{4}$，

故选A．

点评：

本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．

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