方程sinx+$\sqrt {3}$cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于．
分析：
由三角函数公式可得sin(x+$\frac {π}{3}$)=$\frac {1}{2}$，可知x+$\frac {π}{3}$=2kπ+$\frac {π}{6}$，或x+$\frac {π}{3}$=2kπ+$\frac {5π}{6}$，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．
解答：
解：∵sinx+$\sqrt {3}$cosx=1，
∴$\frac {1}{2}$sinx+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cosx=$\frac {1}{2}$，
即sin(x+$\frac {π}{3}$)=$\frac {1}{2}$，
可知x+$\frac {π}{3}$=2kπ+$\frac {π}{6}$，或x+$\frac {π}{3}$=2kπ+$\frac {5π}{6}$，k∈Z，
又∵x∈[0，2π]，
∴x=$\frac {11π}{6}$，或x=$\frac {π}{2}$，
∴$\frac {11π}{6}$+$\frac {π}{2}$=$\frac {7π}{3}$
故答案为：$\frac {7π}{3}$
点评：
本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．
已知函数f(x)=$\sqrt {3}$sinx-cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为（ ）
分析：
利用两角差的正弦函数化简函数f(x)=$\sqrt {3}$sinx-cosx，为一个角的一个三角函数的形式，根据f(x)≥1，求出x的范围即可．
解答：
解：函数f(x)=$\sqrt {3}$sinx-cosx=2sin(x-$\frac {π}{6}$)，因为f(x)≥1，所以2sin(x-$\frac {π}{6}$)≥1，所以，2kπ+$\frac {π}{6}$≤x-$\frac {π}{6}$≤2kπ+$\frac {5π}{6}$ k∈Z
所以f(x)≥1，则x的取值范围为：{x|2kπ+$\frac {π}{3}$≤x≤2kπ+π，k∈Z}
故选B
点评：
本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型．
设函数，则f(x)=sin(2x+$\frac {π}{4}$)+cos(2x+$\frac {π}{4}$)，则（ ）
分析：
利用辅助角公式(两角和的正弦函数)化简函数f(x)=sin(2x+$\frac {π}{4}$)+cos(2x+$\frac {π}{4}$)，然后求出对称轴方程，判断y=f(x)在(0，$\frac {π}{2}$)单调性，即可得到答案．
解答：
解：因为f(x)=sin(2x+$\frac {π}{4}$)+cos(2x+$\frac {π}{4}$)=$\sqrt {2}$sin(2x+$\frac {π}{2}$)=$\sqrt {2}$cos2x．
它的对称轴方程可以是：x=$\frac {π}{2}$；所以A，C错误；函数y=f(x)在(0，$\frac {π}{2}$)单调递减，所以B错误；D正确．
故选D
点评：
本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．
若0≤α≤2π，sinα＞$\sqrt {3}$cosα，则α的取值范围是（ ）
分析：
由sinα＞$\sqrt {3}$cosα可转化为2sin(α-$\frac {π}{3}$)＞0，进而确定α的范围．
解答：
解：∵sinα＞$\sqrt {3}$cosα∴sinα-$\sqrt {3}$cosα＞0，即2($\frac {1}{2}$sinα-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cosα)=2sin(α-$\frac {π}{3}$)＞0
又∵0≤α≤2π∴-$\frac {π}{3}$≤α-$\frac {π}{3}$≤$\frac {5π}{3}$，∴0≤α-$\frac {π}{3}$≤π，即x∈($\frac {π}{3}$，$\frac {4π}{3}$)
故选C
点评：
此题重点考查三角函数中两角和与差的正余弦公式逆用，以及正余弦函数的图象；
突破：熟练进行三角公式的化简，画出图象数形结合得答案；
函数f(x)=sinx-cosx的最大值为（ ）
分析：
根据两角和与差的正弦公式进行化简，即可得到答案．
解答：
解：f(x)=sinx-cosx=$\sqrt {2}$sin(x-$\frac {π}{4}$)，所以最大值是$\sqrt {2}$
故选B．
点评：
本题主要考查两角和与差的正弦公式和正弦函数的最值问题．三角函数中化为一个角的三角函数问题是三角函数在高考中的热点问题．
若sinα+cosα=tanα(0＜α＜$\frac {π}{2}$)，则α所在的区间（ ）
分析：
利用两角和正弦公式求出tanα，再根据α的范围和正弦函数的性质，求出tanα的范围，由正切函数的性质和答案的内容选出答案．
解答：
解：由题意知，tanα=sinα+cosα=$\sqrt {2}$sin(α+$\frac {π}{4}$)＞1，排除B；
∵0＜α＜$\frac {π}{2}$，∴$\frac {π}{4}$＜α+$\frac {π}{4}$＜$\frac {3π}{4}$，∴$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$＜sin(α+$\frac {π}{4}$)≤1，
即tanα∈(1，$\sqrt {2}$]，tan$\frac {π}{3}$=$\sqrt {3}$＞$\sqrt {2}$，
故选C．
点评：
本题考查了正弦函数和正切函数的性质应用，即对解析式化简后，根据自变量的范围或值域，求出对应函数的值域或定义域．
函数f(x)=$\sqrt {3}$sinax+cosax(a＞0)的最小正周期为π，最大值为b，则log_ab=．
分析：
先利用和角的正弦公式化简，再利用函数的最小正周期为π，最大值为b，可求得a=2，b=2，进而得解．
解答：
解：由题意，f(x)=$\sqrt {3}$sinax+cosax=2sin(ax+$\frac {π}{6}$)
由于函数的最小正周期为π，最大值为b，
故a=2，b=2，
∴log_ab=1．
故答案为1
点评：
本题以三角函数为载体，考查和角的正弦公式，考查三角函数的性质，属于基础题．
设当x=θ时，函数f(x)=2sinx-cosx取得最大值，则cosθ=（ ）
分析：
利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f(x)=$\sqrt {5}$sin(x+α)(其中，cosα=$\frac {2}{$\sqrt {5}$}$，sinα=$\frac {-1}{$\sqrt {5}$}$ )，由题意可得θ+α=2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac {π}{2}$-α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．
解答：
解：当x=θ时，函数f(x)=2sinx-cosx=$\sqrt {5}$($\frac {2}{$\sqrt {5}$}$sinx-$\frac {1}{$\sqrt {5}$}$cosx)
=$\sqrt {5}$sin(x+α)取得最大值，(其中，cosα=$\frac {2}{$\sqrt {5}$}$，sinα=$\frac {-1}{$\sqrt {5}$}$ )
∴θ+α=2kπ+$\frac {π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac {π}{2}$-α，k∈z，
∴cosθ=cos(2kπ+$\frac {π}{2}$-α)=cos($\frac {π}{2}$-α)=sinα=$\frac {-1}{$\sqrt {5}$}$，
故选：C．
点评：
本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．
将函数y=sinx-$\sqrt {3}$cosx的图象沿x轴向右平移a个单位(a＞0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为（ ）
分析：
利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用平移变换的法则，结合函数的对称性，求出a的最小值．
解答：
解：因为函数y=sinx-$\sqrt {3}$cosx=2sin(x-$\frac {π}{3}$)图象沿x轴向右平移a个单位(a＞0)，得到y=2sin(x-a-$\frac {π}{3}$)
令-a-$\frac {π}{3}$=-$\frac {π}{2}$，∴a=$\frac {π}{6}$，
此时y=2sin(x-$\frac {π}{6}$-$\frac {π}{3}$)=-2cosx．图象关于y轴对称，
所以a的最小值为$\frac {π}{6}$
∴选择C
点评：
本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的图象的变换，基本知识的考查．
将函数y=sin2x+$\sqrt {3}$cos2x(x∈R)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度后，所得到的一个偶函数的图象，则φ的最小值是（ ）
分析：
将y=f(x)=sin2x+$\sqrt {3}$cos2x化为f(x)=2sin(2x+$\frac {π}{3}$)，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，结合题意，可求得φ的最小值．
解答：
解：∵y=f(x)=sin2x+$\sqrt {3}$cos2x
=2($\frac {1}{2}$sin2x+$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$cos2x)
=2sin(2x+$\frac {π}{3}$)，
将函数y=sin2x+$\sqrt {3}$cos2x(x∈R)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度
得到f(x+φ)=2sin(2x+2φ+$\frac {π}{3}$)，
∵f(x+φ)为偶函数，
∴2φ+$\frac {π}{3}$=kπ+$\frac {π}{2}$，k∈Z，
∴φ=$\frac {kπ}{2}$+$\frac {π}{12}$，k∈Z，
又φ＞0，
∴φ_min=$\frac {π}{12}$．
故选：A．
点评：
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．
函数f(x)=$\sqrt {3}$sin2x+cos2x（ ）
分析：
将函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数在(-$\frac {π}{2}$，$\frac {π}{2}$)上单调递增列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即可得到f(x)在(-$\frac {π}{3}$，$\frac {π}{6}$)单调递增．
解答：
解：f(x)=$\sqrt {3}$sin2x+cos2x=2($\frac {$\sqrt {3}$}{2}$sin2x+$\frac {1}{2}$cos2x)=2sin(2x+$\frac {π}{6}$)，
由正弦函数在(-$\frac {π}{2}$，$\frac {π}{2}$)上单调递增，故-$\frac {π}{2}$＜2x+$\frac {π}{6}$＜$\frac {π}{2}$，
解得：-$\frac {π}{3}$＜x＜$\frac {π}{6}$，
则f(x)在(-$\frac {π}{3}$，$\frac {π}{6}$)单调递增．
故选D
点评：
此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的单调性，利用三角函数的恒等变换将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．
已知sin($\frac {2π}{3}$-α)+sinα=$\frac {4\sqrt {3}}{5}$，则sin(α+$\frac {7π}{6}$)的值是（ ）
分析：
先用正弦两角和公式把sin($\frac {2π}{3}$-α)+sinα展开求得sin(α+$\frac {π}{6}$)的值，然后通过诱导公式展开sin(α+$\frac {7π}{6}$)，把sin(α+$\frac {π}{6}$)的值代入即可．
解答：
解：sin($\frac {2π}{3}$-α)+sinα=
sin$\frac {2π}{3}cosα-cos\frac {2π}{3}sinα+sinα$=
$\frac {\sqrt {3}}{2}cosα+\frac {1}{2}sinα+sinα$=
$\frac {\sqrt {3}}{2}cosα+\frac {3}{2}sinα$=
$\sqrt {3}(\frac {1}{2}cosα+\frac {\sqrt {3}}{2}$sinα)=
$\sqrt {3}(sin\frac {π}{6}cosα+cos\frac {π}{6}sinα)$=
$\sqrt {3}sin(α+\frac {π}{6})=\frac {4\sqrt {3}}{5}$
∴=sin(α+$\frac {π}{6})=\frac {4}{5}$
∴sin(α+$\frac {7π}{6}$)=
sin(α+π+$\frac {7π}{6}$)=
-sin(α+$\frac {π}{6}$)=-$\frac {4}{5}$故答案选：C
点评：
本题主要考查正弦函数的两角和公式．注意巧妙利用特殊角．
已知方程3sinx+$\sqrt {3}$cosx+m=0在[0，$\frac {π}{2}$]内有两个相异的实根α，β，则α+β为（ ）
分析：
解答：
点评：
本题考查了正弦函数的图象，对给定式子化简成一角一函数的形式也是解决本题的关键．
y=sinx+$\sqrt {3}$cosx(0≤x≤$\frac {π}{2}$)，则y的最小值为（ ）
分析：
利用辅助角公式可将y=sinx+$\sqrt {3}$cosx化简为y=2sin(x+$\frac {π}{3}$)，利用正弦函数的单调性与最值即可求得y的最小值．
解答：
解：∵y=sinx+$\sqrt {3}$cosx=2($\frac {1}{2}$sinx+$\frac {\sqrt {3}}{2}$cosx)=2sin(x+$\frac {π}{3}$)，∵0≤x≤$\frac {π}{2}$，∴$\frac {π}{3}$≤x+$\frac {π}{3}$≤$\frac {5π}{6}$，∴$\frac {1}{2}$≤sin(x+$\frac {π}{3}$)≤1，1≤2sin(x+$\frac {π}{3}$)≤2，∴y的最小值为1，故选：C．
点评：
本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
设f(x)=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f(x)≤|f($\frac {π}{6}$)|对一切x∈R恒成立，则
①f($\frac {11π}{12}$)=0；
②|f($\frac {7π}{12}$)|＜|f($\frac {π}{5}$)|；
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
④f(x)的单调递增区间是[kπ+$\frac {π}{6}$，kπ+$\frac {2π}{3}$](k∈Z)；
⑤经过点(a，b)的所有直线均与函数f(x)的图象相交．
以上结论正确的是( )
分析：
化简f(x)的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f($\frac {π}{6}$) 是三角函数的最大值，得到x=$\frac {π}{6}$ 是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+$\frac {1}{2}$π，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
解答：
解：∵f(x)=asin2x+bcos2x=±$\sqrt {}$sin(2x+θ)
由f(x)≤f($\frac {π}{6}$)可得f($\frac {π}{6}$)为函数f(x)的最大值
∴2×$\frac {π}{6}$+θ=kπ+$\frac {1}{2}$π
∴θ=kπ+$\frac {1}{6}$π
∴f(x)=asin2x+bcos2x=±$\sqrt {}$sin(2x+$\frac {1}{6}$π)
对于①f($\frac {11π}{12}$)=$\sqrt {}$sin(2×$\frac {11π}{12}$+$\frac {1}{6}$π)=0；故①对
对于②，|f($\frac {7π}{12}$)|=$\sqrt {}$|sin($\frac {7π}{6}$+$\frac {1}{6}$π)|=$\frac {$\sqrt {}$}{2}$
|f($\frac {π}{5}$)|=$\sqrt {}$|sin($\frac {2π}{5}$+$\frac {π}{6}$)|=$\sqrt {}$|sin$\frac {2π}{3}$|=$\frac {$\sqrt {}$}{2}$
∴|f($\frac {7π}{12}$)|＞|f($\frac {π}{5}$)|故②错
对于③，f(x)不是奇函数也不是偶函数，故③正确
对于④，由于f(x)的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对
对于⑤要使经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞$\sqrt {}$，b_＞a_+b_这不可能，矛盾，故不存在经过点(a，b)的直线于函数f(x)的图象不相交故⑤正确
故答案为：A．
点评：
本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．
已知y=sinx+cosx，给出以下四个命题：
①若x∈[0，π]，则y∈[1，$\sqrt {2}$]；
②直线x=$\frac {π}{4}$是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
③在区间[$\frac {π}{4}$，$\frac {5π}{4}$]上函数y=sinx+cosx是增函数；
④函数y=sinx+cosx的图象可由y=$\sqrt {2}$cosx的图象向右平移$\frac {π}{4}$个单位而得到．
其中正确命题的序号为( )
分析：
函数y=sinx+cosx化为$\sqrt {2}$sin(x+$\frac {π}{4}$)，然后分别求解①②③④，判断它们的正误，即可得到选项．
解答：
解：函数y=sinx+cosx=$\sqrt {2}$sin(x+$\frac {π}{4}$)，x∈[0，π]，y∈[-1．，$\sqrt {2}$]①错误；
直线x=$\frac {π}{4}$是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴，②正确；
在区间[$\frac {π}{4}$，$\frac {5π}{4}$]上函数y=sinx+cosx是增函数，③不正确；
④函数y=sinx+cosx的图象可由y=$\sqrt {2}$cosx的图象向右平移$\frac {π}{4}$个单位而得到．正确；
故答案为：D．
点评：
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，正弦函数的对称性，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
若函数f(x)=sinωx+$\sqrt {3}$cosωx，x∈R，又f(α)=f(β)=2，且|α-β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（ ）
分析：
依题意可知，f(x)=sinωx+$\sqrt {3}$cosωx的最小正周期为3π，由周期公式T=$\frac {2π}{ω}$即可求得ω的值．
解答：
解：∵f(x)=sinωx+$\sqrt {3}$cosωx
=2sin(ωx+$\frac {π}{3}$)，
∴f(x)=sinωx+$\sqrt {3}$cosωx的最小正周期为T=$\frac {2π}{ω}$；
又∵f(α)=f(β)=2，且|α-β|的最小值等于3π
∴f(x)=sinωx+$\sqrt {3}$cosωx的最小正周期为3π，
∴$\frac {2π}{ω}$=3π，
∴ω=$\frac {2}{3}$．
故选B．
点评：
本题考查两角和与差的正弦函数，考查辅助角公式的应用及周期的求法，属于中档题．