《根据图象解不等式或参数范围》根据图象解不等式或参数范围

1单选题

已知定义域为R的奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)＜0的解集为(　　)

(-1，2)

(-∞，-2)∪(1，2)

(-1，0)∪(1，2)

(-2，-1)∪(1，2)

题目答案

答案解析

分析：

由f(x)是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f(x)的正负，由图象可求出x的范围得结果．

解答：

解：由题意可得，函数f(x)的图象关于原点对称，可得函数在R上的图象，如图：由不等式xf(x)＜0，可得当 x＞0时，f(x)＜0，数形结合可得1＜x＜2，故此时不等式的解集为(1，2)．当x＜0时，应有f(x)＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，-2＜x＜-1，∴此时不等式xf(x)＜0的解集为(-2，-1)．综上可得，不等式的解集为 (-2，-1)∪(1，2)，故选D．

点评：

由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围，属于基础题．

2单选题

定义在R上的奇函数f(x)，f(2)=0，若任意x$_1$，x$_2$∈(-∞，0)，且x$_1$≠x$_2$，$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0恒成立，则不等式x•f(x)＜0的解集为( )．

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，2)∪(0，2)

(-2，0)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

由题意得f(x)在定义域上是奇函数，则不等式x•f(x)＜0转化为f(x)＞f(-2)，f(x)＜f(2)，解出即可．

解答：

解：当x$_1$＜x$_2$，x$_1$，x$_2$∈(-∞，0)，

∵$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0恒成立，∴f(x$_1$ )＞f(x$_2$)，

当x$_1$＞x$_2$，x$_1$，x$_2$∈(-∞，0)，

∵$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0恒成立，∴f(x$_1$ )＜f(x$_2$)，

又∵f(x)在R上是奇函数，

∴f(x)在(-∞，0)，和在(0，+∞)上递减，f(-2)=-f(2)=0，

对于不等式x•f(x)＜0，

当x＜0时，f(x)＞0，即f(x)＞f(-2)，∴x＜-2，

当x＞0时，f(x)＜0，即f(x)＜f(2)，∴x＞2，

∴不等式x•f(x)＜0的解集为：(-∞，-2)∪(2，+∞)，选D．

点评：

本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性问题，本题属于中档题．

3单选题

定义在[-1，0)∪(0，1]的奇函数f(x)，在(0，1]的图象如图，f(x)-f(-x)＞-1的解集是(　　)

(-1，-$\frac {1}{2}$)∪(0，1]

[-1，$\frac {1}{2}$)

(-$\frac {1}{2}$，1)

(-$\frac {1}{2}$，0)∪(0，1]

题目答案

答案解析

分析：

根据函数奇偶性的性质结合图象即可得到结论．

解答：

解：∵函数f(x)是奇函数，

∴不等式等价为f(x)+f(x)＞-1，

即f(x)＞-$\frac {1}{2}$，

则由图象可知不等式的解x∈(-1，-$\frac {1}{2}$)∪(0，1]，

故选：A

点评：

本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．

4单选题

若f(x)为奇函数且在(0，+∞)上递增，又f(2)=0，则$\frac {f(x)-f(-x)}{x}$＞0的解集是（　　）

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，2)∪(0，2)

(-2，0)∪(2，+∞)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

根据f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，得到当0＜x＜2时，f(x)＜0；当x≥2时，f(x)≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤-2时，f(x)≤0且-2＜x＜0时，f(x)＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．

解答：

解：∵f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，

∴当0＜x＜2时，f(x)＜0；当x≥2时，f(x)≥0

又∵f(x)是奇函数

∴当x≤-2时，-x≥2，可得f(-x)≥0，从而f(x)=-f(-x)＜0．即x≤-2时f(x)≤0；

同理，可得当-2＜x＜0时，f(x)＞0．

不等式$\frac {f(x)-f(-x)}{x}$＞0可化为：$\frac {2f(x)}{x}$＞0，即$\frac {f(x)}{x}$＞0

∴$\left\{\begin{matrix}f(x)＞0 \ x＞0 \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}f(x)＜0 \ x＜0 \ \end{matrix}\right.$，解之可得x＞2或x＜-2

所以不等式$\frac {f(x)-f(-x)}{x}$＞0的解集为：(-∞，-2)∪(2，+∞)．

故选：D．

点评：

本题以抽象函数为例，在已知f(x)的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题．

5单选题

若实数x满足不等式 log$_2$x＜x_＜2_，那么实数x的范围是( )．

0＜x＜2或x＞4

0≤x＜2或x＞4

0＜x≤2或x≥4

0≤x≤2或x≥4

题目答案

答案解析

分析：

作出三个函数的图象，根据图象关系即可得到结论．

解答：

解：设函数分别为y=log$_2$x，y=x_，y=2_，

在同一个坐标系作出三个函数的图象如图：(红色为y=x)

由图象可知，当0＜x＜2时，log$_2$x＜x_＜2_成立，

当2＜x＜4时，log$_2$x＜2_＜x_成立，

当x＞4时，log$_2$x＜x_＜2_成立，

故满足条件的x的取值范围是0＜x＜2，或x＞4；

故答案为：A

点评：

本题主要考查函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

6单选题

设奇函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0，则不等式$\frac {3f(-x)-2f(x)}{5x}$≤0的解集为（　　）

(-∞，-2]∪(0，2]

[-2，0]∪[2，+∞)

(-∞，-2]∪[2，+∞﹚

[-2，0)∪(0，2]

题目答案

答案解析

分析：

由题设条件，可得出函数f(x)在(0，2)的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项

解答：

解：∵函数f(x)在(0，+∞)上为单调递减函数，且f(2)=0

∴函数f(x)在(0，2)的函数值为正，在(2，+∞)上的函数值为负

当x＞0时，不等式$\frac {3f(-x)-2f(x)}{5x}$≤0等价于3f(-x)-2f(x)≤0

又奇函数f(x)，所以有f(x)≥0

所以有0＜x≤2

同理当x＜0时，可解得-2≤x＜0

综上，不等式$\frac {3f(-x)-2f(x)}{5x}$≤0的解集为[-2，0)∪(0，2]

故选D

点评：

本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重点．

7单选题

已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=$\left\{\begin{matrix}2_-1(0≤x＜1) \ $\frac {1}{x}$(x≥1) \ \end{matrix}\right.$，g(x)=-x+4x-4(x≥0)，若存在实数a，使得f(a)＜g(b)成立，则实数b的取值范围是（　　）

(-1，1)

(-$\frac {1}{3}$，$\frac {1}{3}$)

(-3，-1)∪(1，3)

(-∞，-3)∪(3，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

由f(x)、g(x)的奇偶性，画出它们的图象，求出x＜0时，f(x)的最小值，以及g(x)=-x+4|x|-4，由存在实数a，使得f(a)＜g(b)成立，只需g(b)＞f(-1)，即可得到b的取值范围．

解答：

解：∵f(x)为奇函数，且f(x)=$\left\{\begin{matrix}2_-1(0≤x＜1) \ $\frac {1}{x}$(x≥1) \ \end{matrix}\right.$，

∴f(x)的图象关于原点对称，如右图，当x＞0时，f(1)取最大值，且为1；当x＜0时，f(-1)最小，且为-1．

∵g(x)为偶函数，且g(x)=-x+4x-4(x≥0)，

∴g(x)的图象关于y轴对称，如图，且

g(x)=-x+4|x|-4，

∵存在实数a，使得f(a)＜g(b)成立，

∴g(b)＞-1，即-b_+4|b|-4＞-1，

∴b_-4|b|+3＜0，即1＜|b|＜3，

∴1＜b＜3或-3＜b＜-1．

∴b的取值范围是(1，3)∪(-3，-1)．

故选：C．

点评：

本题考查函数的奇偶性和应用，以及函数的最值，同时考查存在性问题的解决方法，存在x，a＞f(x)成立，只需a＞f(x)的最小值，本题属于中档题．

8单选题

已知函数y=f(x)的图象如图所示，则不等式f($\frac {2x+1}{x-1}$)＞0的解集为(　　)

(-∞，1)

(-2，1)

(-∞，-2)

(-∞，-2)∪(1，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

先利用函数图象，将不等式等价转化为分式不等式$\frac {2x+1}{x-1}$＜1，再进行等价转化，即可得此不等式的解集

解答：

解：f($\frac {2x+1}{x-1}$)＞0⇔$\frac {2x+1}{x-1}$＜1

⇔$\frac {x+2}{x-1}$＜0

⇔-2＜x＜1

∴不等式f($\frac {2x+1}{x-1}$)＞0的解集为(-2，1)

故选 B

点评：

本题主要考查了函数与不等式间的关系，简单分式不等式的解法，转化与化归的思想方法，属基础题

9单选题

奇函数y=f(x)的定义域为R，f(2)=0，且y=f(x)在(0，+∞)上是减函数，则不等式x•f(x)＞0的解集为（　　）

(-2，2)

(-2，0)∪(0，2)

(-∞，-2)∪(2，+∞)

(-2，0)∪(2，+∞)

题目答案

答案解析

分析：

根据奇函数的图象关于原点对称可知y=f(x)在(-∞，0)上也为减函数，并能求得f(-2)=0．这样原不等式可以变成$\left\{\begin{matrix}x＞0 \ f(x)＞0=f(2) \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x＜0 \ f(x)＜0=f(-2) \ \end{matrix}\right.$，根据函数f(x)的单调性即可解出不等式组．

解答：

解：由奇函数的性质知：f(x)在(-∞，0)上为减函数，且f(-2)=0；

∴原不等式的解为：$\left\{\begin{matrix}x＞0 \ f(x)＞0=f(2) \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x＜0 \ f(x)＜0=f(-2) \ \end{matrix}\right.$根据函数f(x)在(0，+∞)和(-∞，0)上递减，不等式组解得：0＜x＜2或-2＜x＜0；

∴原不等式的解为(-2，0)∪(0，2)．

故选：B．

点评：

考查奇函数单调性的特点，奇函数的定义，以及利用单调性求解不等式的方法．

10单选题

定义在R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，又f(-3)=0，则不等式xf(x)＜0的解集为（　　）

(-3，0)∪(0，3)

(-∞，-3)∪(3，+∞)

(-3，0)∪(3，+∞)

(-∞，-3)∪(0，3)

题目答案

答案解析

分析：

利用R上的奇函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，又f(-3)=0，可求得f(3)=0，从而可作出其图象，即可得到答案．

解答：

解：由题意得：∵f(-3)=-f(3)=0，

∴f(3)=0，又f(x)在(0，+∞)上是增函数，

∴当0＜x＜3时，f(x)＜0，当x＞3时，f(x)＞0，

又f(x)为定义在R上的奇函数，f(-3)=0，

∴当x＜-3时，f(x)＜0，当-3＜x＜0时，f(x)＞0，其图象如图：

∴不等式xf(x)＜0的解集为：{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}．

故选A．

点评：

本题考查奇偶性与单调性的综合，难点在于作图，着重考查奇函数的图象与性质，属于中档题．

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