《利用几何关系求最值》利用几何关系求最值

1填空题

椭圆$\frac {x^{2}}{a^{2}}$+$\frac {y^{2}}{5}$=1(a为定值，且a＞$\sqrt {5}$)的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2}{3}$

答案解析

分析：

先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．

解答：

解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE；∵AE+BE≥AB；∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；∴△FAB的周长的最大值是4a=12⇒a=3；∴e=$\frac {c}{a}$=$\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}$=$\frac {2}{3}$．故答案：$\frac {2}{3}$．

点评：

本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．

2填空题

已知F是双曲线$\frac {x}{4}$-$\frac {y}{12}$=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案．

解答：

解：∵A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，

∴由双曲线性质|PF|-|PF′|=2a=4

而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5

两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A、P、F′三点共线时等号成立．

故答案为9．

点评：

本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用．

3单选题

已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {3}{2}$

$\frac {7}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由|AB|=4，|PA|-|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．

解答：

解：因为|AB|=4，|PA|-|PB|=3，

故满足条件的点在双曲线右支上，

则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+$\frac {3}{2}$=$\frac {7}{2}$．

故选C．

点评：

本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．

4单选题

平面上定点A、B距离为4，动点C满足|CA|-|CB|=3，则|CA|的最小值是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {3}{2}$

$\frac {7}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，由题意可得双曲线方程为$\frac {x}{$\frac {9}{4}$}$-$\frac {y}{$\frac {7}{4}$}$=1．再设C(m，n)，得

|CA|_=(m+2)_+n_，化简得|CA|_=$\frac {16}{9}$m_+4m+$\frac {9}{4}$，最后根据m的取值范围结合二次函数的单调性，可求得|CA|的最小值．

解答：

解：∵动点C满足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3

∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支

设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，可得

A(-2，0)，B(2，0)，设双曲线方程为$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1(a＞0，b＞0)

∴a=$\frac {3}{2}$，c=2，得b=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {7}$}{2}$，双曲线方程为$\frac {x}{$\frac {9}{4}$}$-$\frac {y}{$\frac {7}{4}$}$=1

设C(m，n)，得|CA|_=(m+2)_+n_=(m+2)_+$\frac {7}{4}$($\frac {4}{9}$m_-1)=$\frac {16}{9}$m_+4m+$\frac {9}{4}$

∵C点横坐标m≥$\frac {3}{2}$，

∴当且仅当m=$\frac {3}{2}$时，|CA|_的最小值为$\frac {49}{4}$，得|CA|的最小值是$\frac {7}{2}$

故选：C

点评：

本题给出动点C满足的轨迹方程，求点C到定点A距离的最小值，着重考查了轨迹与方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．

5单选题

已知F$_1$、F$_2$为椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左右焦点，椭圆C的离心率为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，过左焦点F$_1$的直线与C相交于A、B两点，△ABF$_2$面积的最大值为3$\sqrt {2}$，椭圆C的方程是( )

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{2}$=1

$\frac {3x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{3}$=1

x+$\frac {3y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF$_2$面积取最大值，此时|AB|=$\frac {2b}{a}$，AB边上的高为2c，结合椭圆C的离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$和a_=b_+c_，可得椭圆C的方程．

解答：

解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF$_2$面积取最大值，

此时|AB|=$\frac {2b}{a}$，

AB边上的高为2c，

∵此时△ABF$_2$面积为3$\sqrt {2}$，

故$\frac {1}{2}$×$\frac {2b}{a}$×2c=3$\sqrt {2}$，

又∵椭圆C的离心率e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

又由a_=b_+c_，

解得：a_=6，b_=3，

故椭圆C的方程为：$\frac {x}{6}$+$\frac {y}{3}$=1，所以选C．

点评：

本题考查的知识点是椭圆的简单性质，由已知构造方程，求出a_=6，b_=3，是解答的关键．

6单选题

已知椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{8}$=1的左、右焦点分别为F$_1$，F$_2$，P为椭圆上一点，当|PF$_1$|=λ|PF$_2$|时λ的取值范围（　　）

[1，3]

[1，2]

[$\frac {1}{3}$，3]

[$\frac {1}{2}$，2]

题目答案

答案解析

分析：

由题意，P在右顶点时，|PF$_1$|=4，|PF$_2$|=2，λ_max=2；P在左顶点时，|PF$_1$|=，2|PF$_2$|=4，λ_min=$\frac {1}{2}$，即可求出λ的取值范围．

解答：

解：由题意，P在右顶点时，|PF$_1$|=4，|PF$_2$|=2，λ_max=2；P在左顶点时，|PF$_1$|=2，|PF$_2$|=4，λ_min=$\frac {1}{2}$，

∴λ的取值范围是[$\frac {1}{2}$，2]．

故选：D．

点评：

本题考查λ的取值范围，考查椭圆的简单性质，比较基础．

7单选题

P是双曲线$\frac {x}{9}$-$\frac {y}{16}$=1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)_+y_=4和(x-5)_+y_=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由题设通过双曲线的定义推出|PF$_1$|-|PF$_2$|=6，利用|MP|≤|PF$_1$|+|MF$_1$|，|PN|≥|PF$_2$|-|NF$_2$|，推出|PM|-|PN|≤|PF$_1$|+|MF$_1$|-|PF$_2$|-|NF$_2$|，求出最大值．

解答：

解：双曲线$\frac {x}{9}$-$\frac {y}{16}$=1中，如图：

∵a=3，b=4，c=5，

∴F$_1$(-5，0)，F$_2$(5，0)，

∵|PF$_1$|-|PF$_2$|=2a=6，

∴|MP|≤|PF$_1$|+|MF$_1$|，|PN|≥|PF$_2$|-|NF$_2$|，

∴-|PN|≤-|PF$_2$|+|NF$_2$|，

所以，|PM|-|PN|≤|PF$_1$|+|MF$_1$|-|PF$_2$|+|NF$_2$|

=6+1+2

=9．

故选D．

点评：

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

8单选题

设点P是双曲线$\frac {x}{9}$-$\frac {y}{7}$=1右支上一动点，M，N分别是圆(x+4)_+y_=1和(x-4)_+y_=1上的动点，则|PM|-|PN|的取值范围是（　　）

[4，8]

[2，6]

[6，8]

[8，12]

题目答案

答案解析

分析：

确定双曲线的焦点正好是两圆(x+4)_+y_=1和(x-4)_+y_=1的圆心，结合双曲线的定义，求出|PM|-|PN|的最小值与最大值，即可得出|PM|-|PN|的取值范围．

解答：

解：由题意，圆(x+4)_+y_=1的圆心是(-4，0)，圆(x-4)_+y_=1的圆心是(4，0)，双曲线$\frac {x}{9}$-$\frac {y}{7}$=1的两个焦点坐标为(±4，0)，|PF$_1$|-|PF$_2$|=2a=6，

∴双曲线的焦点正好是两圆(x+4)_+y_=1和(x-4)_+y_=1的圆心，

∵两圆(x+4)_+y_=1和(x-4)_+y_=1的半径分别是r$_1$=1，r$_2$=1，

∴|PM|_min=|PF$_1$|-1，|PN|_max=|PF$_2$|+1，|PM|_max=|PF$_1$|+1，|PN|_min=|PF$_2$|-1，

∴|PM|-|PN|的最小值=(|PF$_1$|-1)-(|PF$_2$|+1)=6-2=4，

|PM|-|PN|的最大值=(|PF$_1$|+1)-(|PF$_2$|-1)=6+2=8，

∴|PM|-|PN|的取值范围是[4，8]．

故选A．

点评：

本题考查双曲线的定义及其应用，解题时要注意圆的性质的合理运用．

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