《正弦定理的应用》正弦定理的应用

1填空题

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=$\frac {3}{5}$，cosB=$\frac {5}{13}$，b=3，则c=．

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题目答案

$\frac {14}{5}$

答案解析

分析：

由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c的值．

解答：

解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=$\frac {3}{5}$，cosB=$\frac {5}{13}$，

∴sinA=$\sqrt {}$=$\frac {4}{5}$，sinB=$\sqrt {}$=$\frac {12}{13}$，

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac {4}{5}$×$\frac {5}{13}$+$\frac {3}{5}$×$\frac {12}{13}$=$\frac {56}{65}$，

又b=3，

∴由正弦定理$\frac {c}{sinC}$=$\frac {b}{sinB}$得：c=$\frac {bsinC}{sinB}$=$\frac {3×$\frac {56}{65}$}{$\frac {12}{13}$}$=$\frac {14}{5}$．

故答案为：$\frac {14}{5}$

点评：

此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

2单选题

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（　　）

$\frac {7}{25}$

-$\frac {7}{25}$

±$\frac {7}{25}$

$\frac {24}{25}$

题目答案

答案解析

分析：

直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．

解答：

解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，

所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=$\frac {4}{5}$，B为三角形内角，所以B∈(0，$\frac {π}{4}$)．C＜$\frac {π}{2}$．

所以sinB=$\sqrt {}$=$\frac {3}{5}$．

所以sinC=sin2B=2×$\frac {4}{5}$×$\frac {3}{5}$=$\frac {24}{25}$，

cosC=$\sqrt {}$=$\frac {7}{25}$．

故选：A．

点评：

本题考查正弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，考查计算能力，注意角的范围的估计．

3填空题

如图，AA$_1$与BB$_1$相交于点O，AB∥A$_1$B$_1$且AB=$\frac {1}{2}$A$_1$B$_1$．若△AOB的外接圆的直径为1，则△A$_1$OB$_1$的外接圆的直径为．

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题目答案

答案解析

分析：

先在△AOB中，利用正弦定理求得sin∠AOB=AB，进而在△A$_1$OB$_1$中，由正弦定理利用2R=$\frac {A$_1$B$_1$}{sin∠A$_1$OB$_1$}$=$\frac {A$_1$B$_1$}{AB}$求得外接圆的直径．

解答：

解：在△AOB中，由正弦定理得$\frac {AB}{sin∠AOB}$=1，

sin∠AOB=AB，

在△A$_1$OB$_1$中，由正弦定理得2R=$\frac {A$_1$B$_1$}{sin∠A$_1$OB$_1$}$=$\frac {A$_1$B$_1$}{AB}$=2．

故答案为2．

点评：

本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生对正弦定理公式和变形公式的灵活运用．

4填空题

设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A-C)+cosB=$\frac {3}{2}$，b_=ac，则角B=

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题目答案

$\frac {π}{3}$

答案解析

分析：

本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$(负值舍掉)，从而求出答案．

解答：

解：由cos(A-C)+cosB=$\frac {3}{2}$及B=π-(A+C)得

cos(A-C)-cos(A+C)=$\frac {3}{2}$，

∴cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=$\frac {3}{2}$，

∴sinAsinC=$\frac {3}{4}$．

又由b_=ac及正弦定理得sin_B=sinAsinC，

故sin_B=$\frac {3}{4}$，

∴sinB=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$或sinB=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$(舍去)，

于是B=$\frac {π}{3}$或B=$\frac {2π}{3}$．

又由b_=ac

知b≤a或b≤c

所以B=$\frac {π}{3}$．

点评：

三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．

5单选题

△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$b，A=2B，则cosB=（　　）

$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．

解答：

解：∵△ABC中$\left\{\begin{matrix}a=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$b \ A=2B \ \end{matrix}\right.$

∴根据正弦定理得$\left\{\begin{matrix}sinA=$\frac {$\sqrt {5}$}{2}$sinB \ sinA=sin2B=2sinBcosB \ \end{matrix}\right.$

∴cosB=$\frac {$\sqrt {5}$}{4}$

故选B；

点评：

本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用

6填空题

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2$\sqrt {3}$，tan$\frac {A+B}{2}$+tan$\frac {C}{2}$=4，2sinBcosC=sinA，则A=；B=；b=；c=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$$\frac {π}{6}$22

答案解析

分析：

由tan$\frac {A+B}{2}$+tan$\frac {C}{2}$=4可求得得cot$\frac {C}{2}$+tan$\frac {C}{2}$=4，把切转化成弦化简整理可求得sinC=$\frac {1}{2}$，进而求得C，对2sinBcosC=sinA化简可得sin(B-C)=0，进而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．

解答：

解：由tan$\frac {A+B}{2}$+tan$\frac {C}{2}$=4得cot$\frac {C}{2}$+tan$\frac {C}{2}$=4

解得：sinC=$\frac {1}{2}$，又C∈(0，π)

∴C=$\frac {π}{6}$，或C=$\frac {5π}{6}$

由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin(B+C)

即sin(B-C)=0∴B=C=$\frac {π}{6}$；A=π-(B+C)=$\frac {2π}{3}$

由正弦定理$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$=$\frac {c}{sinC}$得b=c=a$\frac {sinB}{sinA}$=2

点评：

本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式及三角函数公式等常用公式．

7单选题

锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则$\frac {b}{a}$的取值范围是（　　）

(-2，2)

(0，2)

($\sqrt {2}$，2)

($\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$)

题目答案

答案解析

分析：

先根据正弦定理得到$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$，即可得到$\frac {b}{a}$，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出$\frac {b}{a}$的范围．

解答：

解：根据正弦定理得：$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$；

则由B=2A，

得：$\frac {b}{a}$=$\frac {sinB}{sinA}$=$\frac {sin2A}{sinA}$=$\frac {2sinAcosA}{sinA}$=2cosA，

而三角形为锐角三角形，所以A∈($\frac {π}{6}$，$\frac {π}{4}$)

所以cosA∈($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$)即得2cosA∈($\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$)．

故选D

点评：

考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区间的值域．

8单选题

已知△ABC中，a=$\sqrt {2}$，b=2，sinB+cosB=$\sqrt {2}$，则角A=（　　）

30°

45°

90°

150°

题目答案

答案解析

分析：

先利用辅助角公式求出角B，然后利用正弦定理求出角A即可，注意三角形的内角和为180°．

解答：

解：∵sinB+cosB=$\sqrt {2}$，即$\sqrt {2}$($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sinB+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$cosB)=$\sqrt {2}$，

∴$\sqrt {2}$sin(B+45°)=$\sqrt {2}$解得sin(B+45°)=1

∴B=45°，则sinB=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

根据正弦定理得$\frac {$\sqrt {2}$}{sinA}$=$\frac {2}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$

解得sinA=$\frac {1}{2}$解得A=30°或150°(舍去)

故选A．

点评：

本题主要考查了辅助角公式，以及正弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．

9单选题

已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那么对应三边之比a：b：c等于( )

1：2：3

3：2：1

2：$\sqrt {3}$：1

1：$\sqrt {3}$：2

题目答案

答案解析

分析：

由A+B+C=π，可得C=$\frac {π}{6}$，从而得到三内角的值．再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC，运算求得结果．

解答：

解：∵已知△ABC的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，∴有B=2C，A=3C，再由A+B+C=π，可得C=$\frac {π}{6}$，

故三内角分别为 A=$\frac {π}{2}$、B=$\frac {π}{3}$、C=$\frac {π}{6}$．

再由正弦定理可得三边之比a：b：c=sinA：sinB：sinC=1：$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$：$\frac {1}{2}$=2：$\sqrt {3}$：1，

故答案为 2：$\sqrt {3}$：1，选C．

点评：

本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，求得 A=$\frac {π}{2}$、B=$\frac {π}{3}$、C=$\frac {π}{6}$，是解题的关键，属于中档题．

10单选题

在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设B=2A，则$\frac {a}{b}$的取值范围是（　　）

($\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)

($\sqrt {2}$，2)

($\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$)

(0，2)

题目答案

答案解析

分析：

所求式子利用正弦定理化简，将B=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，根据A的范围求出cosA的范围，即可确定出范围．

解答：

解：∵B=2A，

∴由正弦定理$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$得：$\frac {a}{b}$=$\frac {sinA}{sinB}$=$\frac {sinA}{sin2A}$=$\frac {sinA}{2sinAcosA}$=$\frac {1}{2cosA}$，

∵B为锐角，即0＜B＜90°，且B=2A，

∴A为锐角，即30°＜A＜45°，

∴$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$＜cosA＜$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，即$\sqrt {2}$＜2cosA＜$\sqrt {3}$，

∴$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$＜$\frac {1}{2cosA}$＜$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

则$\frac {a}{b}$的取值范围是($\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)．

故选A

点评：

此题考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．

11填空题

在△ABC中，a：b：c=3：3：5，$\frac {2sinA-sinB}{sinC}$=．

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题目答案

$\frac {3}{5}$

答案解析

分析：

先利用a，b，c的关系式分别设出a，b和c，利用正弦定理把题设转换成边，代入即可．

解答：

解：∵a：b：c=3：3：5，

∴设a=3t，b=3t，c=5t，

由正弦定理知$\frac {2sinA-sinB}{sinC}$=$\frac {2a-b}{c}$=$\frac {6t-3t}{5t}$=$\frac {3}{5}$，

故答案为：$\frac {3}{5}$

点评：

本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理在解三角形问题中常用来对边角问题进行转换．

12单选题

在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若b=$\sqrt {3}$且b≤a，a的取值范围是( )

(-1，1)

[$\sqrt {3}$，2]

($\sqrt {3}$，2$\sqrt {3}$)

($\sqrt {2}$，2$\sqrt {2}$)

题目答案

答案解析

分析：

根据正弦定理求得a和sinA的关系式，由b≤a，求得A的范围，进而根据a和sinA的关系式求得a的范围．

解答：

解：由正弦定理知$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$=$\frac {c}{sinC}$=2，

∴a=2sinA，

∵b≤a，

∴$\frac {π}{3}$≤A≤$\frac {2π}{3}$，

∴a=2sinA∈[$\sqrt {3}$，2]，选B．

点评：

本题主要考查了正弦定理的应用，二倍角的正弦公式．解题的过程注意对角的范围的关注．

13单选题

已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且$\frac {sinA}{sinB}$=$\frac {2}{3}$，则$\frac {a+b}{b}$的值=( )

$\frac {1}{3}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {4}{3}$

$\frac {5}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

解答：

点评：

本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的理解和记忆．

14单选题

在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c=1：$\sqrt {3}$：2，则sin A：sin B：sin C=（　　）

$\sqrt {3}$：2：1

2：$\sqrt {3}$：1

1：2：$\sqrt {3}$

1：$\sqrt {3}$：2

题目答案

答案解析

分析：

直接利用正弦定理化边的关系为角的正弦函数值的关系，即可得到结果．

解答：

解：因为在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c=1：$\sqrt {3}$：2，

所以由正弦定理可知：sin A：sin B：sin C=1：$\sqrt {3}$：2．

故选D．

点评：

本题考查正弦定理的应用，考查计算能力．

15单选题

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若c=2，b=$\sqrt {3}$，A+C=3B，则sinC的值为( )

$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{5}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据三角形内角和，结合A+C=3B可算出B=45°．再用正弦定理结合题中数据，即可算出sinC的值．

解答：

解：∵△ABC中，A+C=3B，A+B+C=180°，∴B=45°

根据正弦定理，得$\frac {c}{sinC}$=$\frac {b}{sinB}$，所以sinC=$\frac {csinB}{b}$=$\frac {2sin45°}{$\sqrt {3}$}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

故答案为：$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，所以选A．

点评：

本题给出三角形三个内角的一个关系式，结合两边的长计算某个角的正弦值，着重考查了三角形内角和定理和正弦定理等知识，属于基础题．

16填空题

在△ABC中，若A=60°，a=$\sqrt {3}$，则$\frac {a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

首先根据正弦定理得出2r=$\frac {a}{sinA}$=2，然后利用正弦定理将所求的式子转化成$\frac {2rsinA+2rsinB+2rsinC}{sinA+sinB+sinC}$即可求出结果．

解答：

解：由正弦定理可得 2r=$\frac {a}{sinA}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{sin60°}$=2，(r为外接圆半径)；

则$\frac {a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac {2rsinA+2rsinB+2rsinC}{sinA+sinB+sinC}$=2r=2，

故答案为2．

点评：

本题考查正弦定理的应用，求出2r的值，是解题的关键．

17单选题

在△ABC中，若A=60°，a=2$\sqrt {3}$，则$\frac {a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$等于（　　）

2$\sqrt {3}$

4$\sqrt {3}$

题目答案

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分析：

先由正弦定理求得2R的值，从而求得 $\frac {a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac {2RsinA+2RsinB+2RsinC}{sinA+sinB+sinC}$=2R 的值．

解答：

解：△ABC中，若A=60°，a=2$\sqrt {3}$，则由正弦定理可得 $\frac {a}{sinA}$=2R (R为△ABC的外接圆半径)，

∴2R=$\frac {2$\sqrt {3}$}{sin60°}$=4，∴$\frac {a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac {2RsinA+2RsinB+2RsinC}{sinA+sinB+sinC}$=2R=4，

故选：C．

点评：

本题主要考查正弦定理的应用，属于中档题．

18单选题

在△ABC中，AB=$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$，∠C=$\frac {π}{6}$，则AC+BC的最大值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

令BC=a，AC=b，由余弦定理，求得a和b的关系式，利用基本不等式求得整理求得(a+b)_的范围，进而求得a+b即AC+BC的最大值．

解答：

解：记BC=a，AC=b，由余弦定理，

($\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$)_=a_+b_-2abcos$\frac {π}{6}$

=a_+b_-$\sqrt {3}$ab

=(a+b)_-(2+$\sqrt {3}$)ab

≥(a+b)_-$\frac {1}{4}$(2+$\sqrt {3}$)(a+b)_

=$\frac {1}{4}$(2-$\sqrt {3}$)(a+b)_，

即(a+b)_≤$\frac {4($\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$)}{2-$\sqrt {3}$}$=16，

当且仅当a=b时，等号成立，

∴AC+BC的最大值为4．

故选C

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用和基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生对三角函数基础的综合运用．

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