《根据条件确定椭圆方程》根据条件确定椭圆方程

1单选题

设F$_1$，F$_2$分别是椭圆E：x+$\frac {y}{b}$=1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F$_1$的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF$_1$|=3|F$_1$B|，AF$_2$⊥x轴，则椭圆E的方程为( )

x+$\frac {y}{2}$=1

x+y_=1

x+$\frac {y}{8}$=1

x+$\frac {3y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

求出B(-$\frac {5}{3}$c，-$\frac {1}{3}$b_)，代入椭圆方程，结合1=b_+c_，即可求出椭圆的方程．

解答：

解：由题意，AF$_2$⊥x轴，所以A的横坐标为c，根据焦半径公式可得：

|AF$_2$|=a-ex=$\frac {b}{a}$，又因为a=1，

∴|AF$_2$|=b_，

∵|AF$_1$|=3|F$_1$B|，

∴B(-$\frac {5}{3}$c，-$\frac {1}{3}$b_)，

代入椭圆方程可得(-$\frac {5}{3}$c)_+$\frac {(-$\frac {1}{3}$b_)}{b}$=1，

∵1=b_+c_，

∴b_=$\frac {2}{3}$，c_=$\frac {1}{3}$，

∴x+$\frac {3}{2}$y_=1．

故答案为：x+$\frac {3}{2}$y_=1，所以选D．

点评：

本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

2单选题

已知椭圆C：$\frac {x}{a}^{2}$+$\frac {y}{b}^{2}$=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F$_1$、F$_2$，离心率为$\frac {\sqrt {3}}{3}$，过F$_2$的直线l交C于A、B两点，若△AF$_1$B的周长为4$\sqrt {3}$，则C的方程为（　　）

$\frac {x}{3}^{2}$+$\frac {y}{2}^{2}$=1

$\frac {x}{3}^{2}+y^{2}$=1

$\frac {x}{12}^{2}$+$\frac {y}{8}^{2}$=1

$\frac {x}{12}^{2}$+$\frac {y}{4}^{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

利用△AF$_1$B的周长为4$\sqrt {3}$，求出a=$\sqrt {3}$，根据离心率为$\frac {\sqrt {3}}{3}$，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．

解答：

解：∵△AF$_1$B的周长为4$\sqrt {3}$，∴4a=4$\sqrt {3}$，∴a=$\sqrt {3}$，∵离心率为$\frac {\sqrt {3}}{3}$，∴$\frac {c}{a}$=$\frac {\sqrt {3}}{3}$，c=1，∴b=$\sqrt {2}$，∴椭圆C的方程为$\frac {x}{3}^{2}$+$\frac {y}{2}^{2}$=1．故选：A．

点评：

本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

3单选题

设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=$\frac {π}{4}$，若AB=4，BC=$\sqrt {2}$，则Γ的两个焦点之间的距离为( )

3$\sqrt {6}$

2$\sqrt {6}$

$\sqrt {6}$

$\frac {4$\sqrt {6}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意画出图形，设椭圆的标准方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．

解答：

解：如图，设椭圆的标准方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，

由题意知，2a=4，a=2．

∵∠CBA=$\frac {π}{4}$，BC=$\sqrt {2}$，∴点C的坐标为C(-1，1)，

因点C在椭圆上，∴$\frac {(-1)}{4}$+$\frac {1}{b}$=1，

∴b_=$\frac {4}{3}$，

∴c_=a_-b_=4-$\frac {4}{3}$=$\frac {8}{3}$，c=$\frac {2$\sqrt {6}$}{3}$，

则Γ的两个焦点之间的距离为 $\frac {4$\sqrt {6}$}{3}$．

故答案为：$\frac {4$\sqrt {6}$}{3}$，选D．

点评：

本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．

4单选题

已知F$_1$(-1，0)，F$_2$(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F$_2$且垂直于x轴的直线交于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（　　）

$\frac {x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{2}$=1

$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1

$\frac {x}{5}$+$\frac {y}{4}$=1

题目答案

答案解析

分析：

设椭圆的方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1，根据题意可得$\sqrt {}$=1．再由AB经过右焦点F$_2$且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得$\frac {1}{a}$+$\frac {($\frac {3}{2}$)}{b}$=1，两式联解即可算出a_=4，b_=3，从而得到椭圆C的方程．

解答：

解：设椭圆的方程为$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)，

可得c=$\sqrt {}$=1，所以a_-b_=1…①

∵AB经过右焦点F$_2$且垂直于x轴，且|AB|=3

∴可得A(1，$\frac {3}{2}$)，B(1，-$\frac {3}{2}$)，代入椭圆方程得$\frac {1}{a}$+$\frac {($\frac {3}{2}$)}{b}$=1，…②

联解①②，可得a_=4，b_=3

∴椭圆C的方程为 $\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1

故选：C

点评：

本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．

5单选题

若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2$\sqrt {15}$，0)，则椭圆的标准方程是( )

$\frac {x}{80}$+y_=1

$\frac {x}{80}$+$\frac {y}{20}$=1

$\frac {x}{24}$+$\frac {y}{33}$=1

$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{34}$=1

题目答案

答案解析

分析：

由题设条件知a=2b，c=2$\sqrt {15}$，由此可求出椭圆的标准方程．

解答：

解：由题设条件知a=2b，c=2$\sqrt {15}$，

∴4b_=b_+60，

∴b_=20，a_=80，

∴椭圆的标准方程是$\frac {x}{80}$+$\frac {y}{20}$=1．

故答案为：$\frac {x}{80}$+$\frac {y}{20}$=1，选B．

点评：

本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．

6单选题

已知椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F$_1$，F$_2$，离心率为$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$，过F$_2$的直线l交C于A，B两点．若△AF$_1$B的周长为12，则椭圆C的方程为（　　）

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1

$\frac {y}{9}$+$\frac {x}{5}$=1

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{4}$=1

$\frac {y}{9}$+$\frac {x}{4}$=1

题目答案

答案解析

分析：

由已知得$\left\{\begin{matrix}e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$ \ 4a=12 \ a_=b_+c_ \ \end{matrix}\right.$，由此能求出椭圆C的方程．

解答：

解：由已知得$\left\{\begin{matrix}e=$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$ \ 4a=12 \ a_=b_+c_ \ \end{matrix}\right.$，

解得a=3，b=2，

∴椭圆C的方程为$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{4}$=1．

故选：C．

点评：

本题考查椭圆方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．

7单选题

已知椭圆过点P($\frac {3}{5}$，-4)和点Q(-$\frac {4}{5}$，-3)，则此椭圆的标准方程是（　　）

$\frac {y}{25}$+x²=1

$\frac {x}{25}$+y²=1或x²+$\frac {y}{25}$=1

$\frac {x}{25}$+y²=1

以上均不正确

题目答案

答案解析

分析：

待定系数法假设椭圆的方程，将点P($\frac {3}{5}$，-4)和点Q(-$\frac {4}{5}$，-3)代入，解方程组，即可得到椭圆的标准方程

解答：

解：设椭圆的方程为mx²+ny²=1(m＞0，n＞0)，据题意得$\left\{\begin{matrix}\frac {9}{25}m+16n=1 \\ \frac {16}{25}m+9n=1\end{matrix}\right.$解得$\left\{\begin{matrix}m=1 \\n=\frac {1}{25} \end{matrix}\right.$∴椭圆的标准方程是$\frac {y}{25}$+x²=1故选A

点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于基础题．

8单选题

设F$_1$、F$_2$分别是椭圆E：x+$\frac {y}{b}$=1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F$_1$的直线ℓ与E相交于A、B两点，且|AF$_2$|，|AB|，|BF$_2$|成等差数列，则|AB|的长为（　　）

$\frac {2}{3}$

$\frac {4}{3}$

$\frac {5}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可求得|AB|．

解答：

解：∵|AF$_2$|，|AB|，|BF$_2$|成等差数列，

∴|AF$_2$|+|BF$_2$|=2|AB|，

∵|AF$_2$|+|AB|+|BF$_2$|=4a=4

∴3|AB|=4

∴|AB|=$\frac {4}{3}$

故选C．

点评：

本题考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．

9单选题

椭圆x+my_=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）

$\frac {1}{4}$

$\frac {1}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值．

解答：

解：椭圆x+my_=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴$\sqrt {}$=2⇒m=$\frac {1}{4}$，

故选 A．

点评：

本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值．

10单选题

已知椭圆中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且这个焦点到椭圆的最短距离为4($\sqrt {2}$-1)，则椭圆的方程为( )

$\frac {x}{32}$+$\frac {y}{16}$=1

$\frac {3x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{8}$=1

x+$\frac {3y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

由 b=c，a-c=4($\sqrt {2}$-1)，及a_=b_+c_ 解出 a、b、c 的值，即得椭圆的标准方程．

解答：

解：由题意得 b=c，a-c=4($\sqrt {2}$-1)，又 a_=b_+c_∴c=4=b，a=4$\sqrt {2}$．

故椭圆的方程为 $\frac {x}{32}$+$\frac {y}{16}$=1，

故答案为：$\frac {x}{32}$+$\frac {y}{16}$=1，所以选A．

点评：

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．注意利用焦点到椭圆的最短距离为a-c．

11单选题

设F$_1$、F$_2$分别为椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，$\frac {3}{2}$)到F$_1$，F$_2$两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是( )

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{2}$=1

$\frac {3x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1

x+$\frac {3y}{2}$=1

题目答案

答案解析

分析：

由题设知：2a=4，即a=2，将点A(1，$\frac {3}{2}$)代入椭圆方程，解得b_=3，由此能得到椭圆方程．

解答：

解：由|AF$_1$|+|AF$_2$|=2a=4得a=2

将A(1，$\frac {3}{2}$)代入方程得b_=3，

∴椭圆方程为：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1．

故答案为：$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1，选C．

点评：

本题考查椭圆C的方程，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

12单选题

已知椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的离心率为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，左，右焦点分别为F$_1$，F$_2$，点G在椭圆上，$\xrightarrow[""]{GF$_1$}$⊥$\xrightarrow[""]{GF$_2$}$，且△GF$_1$F$_2$的面积为3，则椭圆的方程为( )

$\frac {x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{2}$=1

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{12}$=1

$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{3}$=1

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，结合椭圆的定义，勾股定理，建立方程组，即可求得椭圆的方程．

解答：

解：由于椭圆C：$\frac {x}{a}$+$\frac {y}{b}$=1(a＞b＞0)的离心率为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

则$\frac {c}{a}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$ ①

又由左，右焦点分别为F$_1$，F$_2$，点G在椭圆上，

则|$\xrightarrow[""]{GF$_1$}$|+|$\xrightarrow[""]{GF$_2$}$|=2a ②

又由$\xrightarrow[""]{GF$_1$}$⊥$\xrightarrow[""]{GF$_2$}$，

则GF$_1$_+GF$_2$_=4c_ ③

$\frac {1}{2}$×GF$_1$×GF$_2$=3 ④

联立方程解得：a=2$\sqrt {3}$，c=3，

∴b_=a_-c_=3

∴椭圆C的方程为$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{3}$=1．

故答案为：$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{3}$=1，所以选D．

点评：

本题考查椭圆的方程，考查向量知识的应用，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于基础题．

13单选题

若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（　　）

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{16}$=1

$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{16}$=1

$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{16}$=1或$\frac {x}{16}$+$\frac {y}{25}$=1

以上都不对

题目答案

答案解析

分析：

设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a_-b_=c_，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a与b的值写出椭圆的方程即可．

解答：

解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，

则2(a+b)=18，即a+b=9①，

由焦距为6，得到c=3，则a_-b_=c_=9②，

由①得到a=9-b③，把③代入②得：

(9-b)_-b_=9，化简得：81-18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，

所以椭圆的方程为：$\frac {x}{25}$+$\frac {y}{16}$=1或 $\frac {x}{16}$+$\frac {y}{25}$=1．

故选C．

点评：

此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．

14单选题

如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a-c=$\sqrt {3}$那么椭圆的方程是( )

$\frac {x}{2}$+y_=1

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{2}$=1

$\frac {x}{12}$+$\frac {y}{9}$=1

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{12}$=1

题目答案

答案解析

分析：

根据短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上知$\frac {b}{c}$=tan60°，再结合a-c=$\sqrt {3}$与a_=b_+c_求出a，b，c即可．

解答：

解：由题意可设椭圆方程为：$\frac {y}{a}$+$\frac {x}{b}$=1

∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上

∴$\frac {b}{c}$=tan60°

又∵a-c=$\sqrt {3}$，a_=b_+c_

∴a_=12，b_=9

∴椭圆的方程为：$\frac {y}{12}$+$\frac {x}{9}$=1

故答案为：$\frac {y}{12}$+$\frac {x}{9}$=1，所以选D

点评：

本题考查了椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识，属于基础题．

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