《相交弦定理和切割线定理》相交弦定理和切割线定理 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《相交弦定理和切割线定理》相交弦定理和切割线定理

1单选题

如图，在半径为$\sqrt {7}$的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为(      )

A
$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
B
$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$
C
$\sqrt {2}$
D
$\sqrt {3}$

题目答案

B

答案解析

分析：

首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．

解答：

解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，

∴2×2=CP•1，

解得：CP=4，又PD=1，

∴CD=5，

又⊙O的半径为$\sqrt {7}$，

则圆心O到弦CD的距离为d=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．

故答案为：$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，所以选B．

点评：

此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中、高考题的热点问题．

纠错重做

2单选题

如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A．若BD⊥AE，AB=4，BC=2，AD=3，则DE和CE分别为(      )

A
3；2$\sqrt {5}$
B
3；2$\sqrt {7}$
C
5；2$\sqrt {7}$
D
5；2$\sqrt {5}$

题目答案

C

答案解析

分析：

首先依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可．

解答：

解：首先由割线定理不难知道AB•AC=AD•AE，

于是AE=8，DE=5，又BD⊥AE，

故BE为直径，因此∠C=90°，

由勾股定理可知CE_=AE_-AC_=28，

故CE=2$\sqrt {7}$．

故选C．

点评：

本题考查与圆有关的比例线段、平面几何的切割线定理，属容易题．

纠错重做

3填空题

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

4

答案解析

分析：

连接OC，BE，由圆周角定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．

解答：

解：连接OC，BE，如下图所示：



∵圆O的直径AB=8，BC=4，

∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°

又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l

又∵AD⊥直线l

∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°

∴AE=$\frac {1}{2}$AB=4

故答案为：4

点评：

本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．

纠错重做

4填空题

如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

3

答案解析

分析：

利用圆的切线性质、切割线定理、勾股定理即可得出．

解答：

解：由AD与圆O相切于点D，根据切割线定理可得AD_=AE•AB，又AD=2，AE=1，∴AB=$\frac {AD}{AE}$=4．

由CD，CB都是圆O的切线，根据切线长定理可得，设CD=x，则CB=x．

由切线的性质可得：AB⊥BC，

∴AB_+BC_=AC_，∴4_+x_=(x+2)_，得x=3，即CD=3．

故答案为3．

点评：

熟练掌握圆的切线性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．

纠错重做

5填空题

如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP•NP=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {25}{4}$

答案解析

分析：

由已知中，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD的长，进而求出弦CD的长，又由弦MN过CD的中点P，由相交弦定理我们易求出MP•NP．

解答：

解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线

由切割线定理可得：AB_=AC•AD

由AC=4，AB=6，故AD=9

故CD=5

又∵N是弦CD的中点

故PC=PD=$\frac {5}{2}$

由相交弦定理得MP•NP=PC•PD=$\frac {25}{4}$

故答案为：$\frac {25}{4}$

点评：

本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，分析已知线段与未知线段与圆的关系，并选择恰当的定理是解答此题的关键．

纠错重做

6单选题

如图所示，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，则圆心到弦CD的距离为(　　)

A
$\frac {2$\sqrt {14}$}{3}$
B
$\frac {28}{9}$
C
$\frac {2$\sqrt {7}$}{3}$
D
$\frac {80}{9}$

题目答案

A

答案解析

分析：

作OF⊥CD，垂足为F，利用相交弦定理求出CE与DE的长，再利用勾股定理求出OF的长．

解答：

解：作OF⊥CD，垂足为F，

∵两弦AB、CD相交于AB中点E，且AB=8，CE：ED=4：9，

∴AE=BE=4，AE×BE=CE×DE，

假设CE=4x，DE=9x，

∴4×4=4x•9x，

解得：x=$\frac {2}{3}$，

∴CE=4×$\frac {2}{3}$=$\frac {8}{3}$，DE=9×$\frac {2}{3}$=6；

∵OF⊥CD，

∴DF=CF=$\frac {13}{3}$，⊙O的半径为5，

∴OF=$\sqrt {}$=$\frac {2$\sqrt {14}$}{3}$．

故选：A．

点评：

此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性．

纠错重做

7填空题

已知⊙O的割线PAB交⊙OA，B两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．

解答：

解：设⊙O的半径为R

则PC=PO-OC=5-R

PD=PO+OD=5+R

又∵PA=3，AB=4，

∴PB=PA+AB=7

由切割线定理易得：

PA•PB=PC•PD

即3×7=(5-R)×(5+R)

解得R=2

故答案：2

点评：

本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据切割线定理列出满足条件的方程是解答的关键．

纠错重做

8填空题

如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=$\sqrt {3}$，OM=1，则MN=．

填空题答案仅供参考

题目答案

1

答案解析

分析：

根据题设条件，先由勾股定理求出BM，再由相交弦定理求MN．

解答：

解：∵AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．OC=$\sqrt {3}$，OM=1，

∴OB=$\sqrt {3}$，BM=$\sqrt {3+1}$=2，

设MN=x，

∵CM•AM=BM•MN，

∴($\sqrt {3}$+1)($\sqrt {3}$-1)=2x，

∴x=1，即MN=1．

故答案为：1．

点评：

本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意勾股定理和相交弦定理的灵活运用．

纠错重做

9填空题

如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，D是BC的中点，BE⊥AC于E，BE的延长线交△DEC的外接圆于F，则EF的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {14}{15}$

答案解析

分析：

由已知条件求出BD=2，BE=$\frac {12}{5}$，再由切割线定理知BE•BF=BD•BC，由此能求出EF．

解答：

解：∵在△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，

D是BC的中点，BE⊥AC于E，

∴BD=2，BE=$\frac {3×4}{5}$=$\frac {12}{5}$，

∵BE•BF=BD•BC，

∴$\frac {12}{5}$×($\frac {12}{5}$+EF)=2×4，

解得EF=$\frac {14}{15}$．

故答案为：$\frac {14}{15}$．

点评：

本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

纠错重做