《线性规划的拓展-斜率型》线性规划的拓展-斜率型

1单选题

已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{matrix}x-y+2≤0 \ x≥1 \ x+y-7≤0 \ \end{matrix}\right.$则$\frac {y}{x}$的取值范围是（　　）

[$\frac {9}{5}$，6]

(-∞，$\frac {9}{5}$]∪[6，+∞)

(-∞，3]∪[6，+∞)

[3，6]

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件$\left\{\begin{matrix}x-y+2≤0 \ x≥1 \ x+y-7≤0 \ \end{matrix}\right.$，画出满足约束条件的可行域，分析$\frac {y}{x}$表示的几何意义，结合图象即可给出$\frac {y}{x}$的取值范围．

解答：

解：约束条件$\left\{\begin{matrix}x-y+2≤0 \ x≥1 \ x+y-7≤0 \ \end{matrix}\right.$对应的平面区域如下图示：

三角形顶点坐标分别为(1，3)、(1，6)和($\frac {5}{2}$，$\frac {9}{2}$)，

$\frac {y}{x}$表示可行域内的点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，

当(x，y)=(1，6)时取最大值6，

当(x，y)=($\frac {5}{2}$，$\frac {9}{2}$)时取最小值$\frac {9}{5}$，

故$\frac {y}{x}$的取值范围是[$\frac {9}{5}$，6]

故选A．

点评：

平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．

2单选题

实数x，y满足$\left\{\begin{matrix}y≥0 \ x-y≥0 \ 2x-y-2≥0 \ \end{matrix}\right.$，则t=$\frac {y-1}{x+1}$的取值范围是（　　）

[-$\frac {1}{2}$，1)

[-$\frac {1}{2}$，+∞)

[-1，$\frac {1}{3}$]

[-$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{3}$]

题目答案

答案解析

分析：

本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不是求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(-1，1)构成的直线的斜率范围．

解答：

解：不等式组$\left\{\begin{matrix}y≥0 \ x-y≥0 \ 2x-y-2≥0 \ \end{matrix}\right.$表示的区域如图，

t=$\frac {y-1}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与点(-1，1)构成的直线的斜率问题．

当取得点A(1，0)时，

t=$\frac {y-1}{x+1}$取值为-$\frac {1}{2}$，

当直线PQ接近于与直线y=x平行时，

t=$\frac {y-1}{x+1}$接近取值为1，

所以答案为[-$\frac {1}{2}$，1)，

故选A．

点评：

本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义．

3单选题

已知实数x、y满足$\left\{\begin{matrix}2x-y≤0 \ x+y-5≥0 \ y-4≤0 \ \end{matrix}\right.$，若不等式a(x+y)≥(x+y)_恒成立，则实数a的最小值是（　　）

$\frac {25}{17}$

$\frac {8}{5}$

$\frac {9}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，而k=$\frac {y}{x}$表示区域内动点P(x，y)与原点连线的斜率，运动点P可得k的取值范围为[2，4]．不等式a(x+y)≥(x+y)_可化为a≥1+$\frac {2}{$\frac {1}{k}$+k}$，再算出不等式右边的最大值，即可得到实数a的最小值．

解答：

解：作出不等式组$\left\{\begin{matrix}2x-y≤0 \ x+y-5≥0 \ y-4≤0 \ \end{matrix}\right.$表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部，

其中A($\frac {5}{3}$，$\frac {10}{3}$)，B(1，4)，C(2，4)

设k=$\frac {y}{x}$，表示区域内动点P(x，y)与原点O连线的斜率，

运动点P，可得当P与A重合时，斜率取得最小值为2；

当P与C重合时，斜率取得最大值为4．

因此，k=$\frac {y}{x}$的取值范围为[2，4]

∵不等式a(x+y)≥(x+y)_恒成立，

∴两边都除以x+y_，得a≥$\frac {(x+y)}{x+y}$=1+$\frac {2xy}{x+y}$=1+$\frac {2}{$\frac {1}{k}$+k}$

∵k∈[2，4]，可得$\frac {1}{k}$+k∈[$\frac {5}{2}$，$\frac {17}{4}$]

∴t=1+$\frac {2}{$\frac {1}{k}$+k}$的取值范围为[$\frac {25}{17}$，$\frac {9}{5}$]

∵a≥1+$\frac {2}{$\frac {1}{k}$+k}$对任意k∈[2，4]恒成立，∴a≥(1+$\frac {2}{$\frac {1}{k}$+k}$)_max=$\frac {9}{5}$

故选：C

点评：

本题给出二元一次不等式组，求使不等式a(x+y)≥(x+y)_恒成立的实数a的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式和不等式恒成立等知识点，属于基础题．

4单选题

设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{matrix}2x-y-2≤0 \ x-2y+2≥0 \ x+y-1≥0 \ \end{matrix}\right.$，则s=$\frac {y+1}{x+1}$的取值范围是（　　）

[1，$\frac {3}{2}$]

[$\frac {1}{2}$，1]

[1，2]

[$\frac {1}{2}$，2]

题目答案

答案解析

分析：

先根据已知中，变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{matrix}2x-y-2≤0 \ x-2y+2≥0 \ x+y-1≥0 \ \end{matrix}\right.$，画出满足约束条件的可行域，进而分析s=$\frac {y+1}{x+1}$的几何意义，我们结合图象，利用角点法，即可求出答案．

解答：

解：满足约束条件$\left\{\begin{matrix}2x-y-2≤0 \ x-2y+2≥0 \ x+y-1≥0 \ \end{matrix}\right.$的可行域如下图所示：

根据题意，s=$\frac {y+1}{x+1}$可以看作是可行域中的一点与点(-1，-1)连线的斜率，

由图分析易得：当x=1，y=0时，其斜率最小，即s=$\frac {y+1}{x+1}$取最小值$\frac {1}{2}$

当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=$\frac {y+1}{x+1}$取最大值2

故s=$\frac {y+1}{x+1}$的取值范围是[$\frac {1}{2}$，2]

故选D

点评：

本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画出满足约束条件的可行域，“角点法”是解答此类问题的常用方法．

5填空题

已知变量x，y满足$\left\{\begin{matrix}x≥2 \ x+y-4≤0 \ x-y-1≤0 \ \end{matrix}\right.$，则$\frac {y}{x}$的最大值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意作出其平面区域，$\frac {y}{x}$可看成阴影内的点与原点连线的斜率，从而求得．

解答：

解：由题意作出其平面区域：

$\frac {y}{x}$可看成阴影内的点与原点连线的斜率，

故过点A(2，2)时，$\frac {y}{x}$有最大值，

最大值为$\frac {2-0}{2-0}$=1．

故答案为：1．

点评：

本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．

6单选题

已知a∈R，b∈R，且$\left\{\begin{matrix}b≥a \ b≤a+1 \ b≥-2a+2 \ \end{matrix}\right.$，则$\frac {9a_+b}{ab}$的最大值与最小值之和为（　　）

$\frac {49}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

以a为横坐标，b为纵坐标建立如图直角坐标系，作出题中不等式组表示的平面区域如图所示．而k=$\frac {b}{a}$表示区域内一点与原点连线的斜率，可得出1≤$\frac {b}{a}$≤4，再将$\frac {9a_+b}{ab}$表示成关于$\frac {b}{a}$的函数，即可算出$\frac {9a_+b}{ab}$的最大值与最小值，进而得到本题的答案．

解答：

解：以a为横坐标，b为纵坐标建立如图直角坐标系，

作出不等式组$\left\{\begin{matrix}b≥a \ b≤a+1 \ b≥-2a+2 \ \end{matrix}\right.$表示的平面区域，

得到平行线b=a与b=a+1之间，且在直线b=-2a+2上方的带形区域，即如图的阴影部分，

其中A($\frac {2}{3}$，$\frac {2}{3}$)，B($\frac {1}{3}$，$\frac {4}{3}$)

∵k=$\frac {b}{a}$表示区域内一点P与原点连线的斜率

∴当P点与A点重合时，$\frac {b}{a}$达到最小值1；当P点与B点重合时，$\frac {b}{a}$达到最大值4

∵$\frac {9a_+b}{ab}$=$\frac {9a}{b}$+$\frac {b}{a}$≥2$\sqrt {}$=6，当且仅当$\frac {b}{a}$=3时取等号；

当$\frac {b}{a}$=1时，$\frac {9a}{b}$+$\frac {b}{a}$有最大值10

∴$\frac {9a_+b}{ab}$的最大值为10，最小值为6．可得最大值与最小值之和等于16

故选：B

点评：

本题给出关于a、b的不等式组，求目标函数$\frac {9a_+b}{ab}$的最值，着重考查了二元一次不等式表示的平面区域、直线的斜率和简单的线性规划等知识，属于基础题．

7单选题

已知方程x+(2+a)x+1+a+b=0的两根为x$_1$，x$_2$，且0＜x$_1$＜1＜x$_2$，则$\frac {a}{b}$的取值范围( )

(-1，2)

(-2，8)

(-$\frac {3}{2}$，-$\frac {1}{2}$)

(-$\frac {3}{4}$，-$\frac {1}{4}$)

题目答案

答案解析

分析：

由方程x+(2+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜1＜x$_2$，结合对应二次函数性质得到$\left\{\begin{matrix}f(0)＞0 \ f(1)＜0 \ -$\frac {2+a}{2}$＞0 \ \end{matrix}\right.$，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析 $\frac {a}{b}$的几何意义，然后数形结合即可得到结论．

解答：

解：由程x+(2+a)x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0

故函数f(x)=x+(2+a)x+1+a+b图象开口方向朝上

又∵方程x+(2+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜1＜x$_2$

则$\left\{\begin{matrix}f(0)＞0 \ f(1)＜0 \ -$\frac {2+a}{2}$＞0 \ \end{matrix}\right.$，即 $\left\{\begin{matrix}1+a+b＞0 \ 1+2+a+1+a+b＜0 \ a＜-2 \ \end{matrix}\right.$

即$\left\{\begin{matrix}1+a+b＞0 \ 4+2a+b＜0 \ a＜-2 \ \end{matrix}\right.$，

其对应的平面区域如下图阴影示：

∵$\frac {a}{b}$=$\frac {a-0}{b-0}$表示阴影区域上一点A与原点连线的斜率，以及边线4+2a+b=0的斜率之间．

由图可知 $\frac {a}{b}$∈(-$\frac {3}{2}$，-$\frac {1}{2}$)

故答案为：(-$\frac {3}{2}$，-$\frac {1}{2}$)，所以选C．

点评：

本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划的应用，其中由方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜1＜x$_2$，结合二次函数性质得到$\left\{\begin{matrix}f(0)＞0 \ f(1)＜0 \ -$\frac {2+a}{2}$＞0 \ \end{matrix}\right.$解答本题的关键．

8填空题

已知实数x，y满足$\left\{\begin{matrix}x-y≤0 \ x+y-5≥0 \ y-3≤0 \ \end{matrix}\right.$，若不等式axy≥x+y_恒成立，则实数a的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {13}{6}$

答案解析

分析：

由线性约束条件画出可行域，然后由恒成立的条件可转化为a≥$\frac {x}{y}$+$\frac {y}{x}$在可行域内恒成立故只求Z=$\frac {x}{y}$+$\frac {y}{x}$的最大值即可．

解答：

解：由题意知：可行域如图，

∵不等式axy≥x+y_在可行域内恒成立．由图知xy＞0

∴a≥$\frac {x}{y}$+$\frac {y}{x}$在可行域内恒成立

故只求Z=$\frac {x}{y}$+$\frac {y}{x}$的最大值即可．

由图象可知：1≤$\frac {y}{x}$≤$\frac {3}{2}$，

∴当$\frac {y}{x}$=$\frac {3}{2}$时Z取到最大值，最大值为$\frac {13}{6}$，

∴实数a的最小值是$\frac {13}{6}$

故答案为：$\frac {13}{6}$

点评：

本题考查线性规划，考查数形结合的思想、转化思想，解题的关键是将问题转化为a≤$\frac {x}{y}$+$\frac {y}{x}$在可行域内恒成立．

9单选题

设x，y满足约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥x \ 4x+3y≤12 \ \end{matrix}\right.$，则$\frac {2y-x+1}{x+1}$的最大值是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥x \ 4x+3y≤12 \ \end{matrix}\right.$，画出满足约束条件的可行域，分析 $\frac {2y-x+1}{x+1}$=$\frac {y+1}{x+1}$×2-1，其中$\frac {y+1}{x+1}$表示的几何意义，结合图象即可给出 $\frac {y+1}{x+1}$的最大值．

解答：

解：约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥x \ 4x+3y≤12 \ \end{matrix}\right.$，对应的平面区域如下图示：

由于 $\frac {2y-x+1}{x+1}$=$\frac {y+1}{x+1}$×2-1，

其中$\frac {y+1}{x+1}$表示的几何意义，表示平面上一定点(-1，-1)与可行域内任一点连线斜率，

由图易得当P点为A(0，4)时，$\frac {y+1}{x+1}$取得最大值5．

从而$\frac {2y-x+1}{x+1}$的最大值9．

故选A．

点评：

10单选题

已知实系数方程x+(m+1)x+m+n+1=0的两个实数根分别是x$_1$，x$_2$，且0＜x$_1$＜1，x$_2$＞1，则u=$\frac {m_+n}{mn}$的取值范围是（　　）

(-$\frac {5}{2}$，-2]

(-∞，-2]

(-$\frac {5}{2}$，-2)

(-$\frac {5}{2}$，0)

题目答案

答案解析

分析：

首先根据所给的一元二次方程的根的范围，表示出m，n之间的关系，得到不等式组，画出可行域，求出$\frac {n}{m}$的范围，做出它的倒数的范围，根据基本不等式表示出最大值，得到结果．

解答：

解：令f(x)=x+(m+1)x+m+n+1，

由题意0＜x$_1$＜1，x$_2$＞1，知，$\left\{\begin{matrix}f(0)＞0 \ f(1)＜0 \ \end{matrix}\right.$即$\left\{\begin{matrix}m+n+1＞0 \ 2m+n+3＜0 \ \end{matrix}\right.$

不等式组表示区域如图阴影部分．

$\frac {n}{m}$表示点P(m，n)与原点连线的斜率．

∴-2＜$\frac {n}{m}$＜-$\frac {1}{2}$，

-2＜$\frac {m}{n}$＜-$\frac {1}{2}$，

∵$\frac {m}{n}$与$\frac {n}{m}$的符号是负数，得到根据基本不等式知$\frac {m}{n}$+$\frac {n}{m}$≤-2

∵$\frac {m}{n}$与$\frac {n}{m}$取得最值的时候正好相反，即一个取得最大值时，另一个取得最小值，

∵u=$\frac {m_+n}{mn}$=$\frac {n}{m}$+$\frac {m}{n}$∈(-$\frac {5}{2}$，-2]

故选A．

点评：

本题考查线性规划的应用，考查基本不等式求最值，考查一元二次方程的根与系数的关系，本题解题的关键是对所给的代数式变形整理，再根据线性规划得到要用的范围，本题是一个中档题目．

11单选题

已知x、y满足约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥0 \ x+y≤2 \ \end{matrix}\right.$，则$\frac {x+y-5}{x-3}$的最大值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥0 \ x+y≤2 \ \end{matrix}\right.$，画出满足约束条件的可行域，分析$\frac {x+y-5}{x-3}$的表示的几何意义，结合图象即可给出则$\frac {x+y-5}{x-3}$的最大值．

解答：

解：约束条件$\left\{\begin{matrix}x≥0 \ y≥0 \ x+y≤2 \ \end{matrix}\right.$，对应的平面区域如下图示：

$\frac {x+y-5}{x-3}$=$\frac {x-3+y-2}{x-3}$=1+$\frac {y-2}{x-3}$

表示平面上一定点P(3，2)与可行域内任一点Q连线斜率加上1，

由图易得当该点为A(2，0)时，$\frac {x+y-5}{x-3}$的最大值是3．

故选C．

点评：

12单选题

已知实系数一元二次方程x+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x$_1$、x$_2$，并且0＜x$_1$＜2，x$_2$＞2，则$\frac {b}{a-1}$的取值范围是（　　）

(-1，-$\frac {1}{3}$)

(-3，-1)

(-3，-$\frac {1}{2}$)

(-3，$\frac {1}{2}$)

题目答案

答案解析

分析：

由方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜2＜x$_2$，结合对应二次函数性质得到然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析 $\frac {b}{a-1}$的几何意义，然后数形结合即可得到结论．

解答：

解：由程x+(1+a)x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，

故函数f(x)=x+(1+a)x+1+a+b图象开口方向朝上

又∵方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜2＜x$_2$，

则 $\left\{\begin{matrix}f(0)＞0 \ f(2)＜0 \ \end{matrix}\right.$

即$\left\{\begin{matrix}1+a+b＞0 \ 3a+b+7＜0 \ \end{matrix}\right.$，其对应的平面区域如下图阴影示：

则$\frac {b}{a-1}$表示阴影区域上一点与M(1，0)连线的斜率

由题意可得A(-3，2)

由图可知$\frac {b}{a-1}$∈(-3，-$\frac {1}{2}$)

故选C

点评：

本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，线性规划，其中由方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根满足0＜x$_1$＜2＜x$_2$，结合二次函数性质得到解答本题的关键．

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