《抛物线中长度的最值》抛物线中长度的最值 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《抛物线中长度的最值》抛物线中长度的最值

1单选题

已知点P是抛物线y_=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（　　）

A
$\frac {$\sqrt {17}$}{2}$
B
3
C
$\sqrt {5}$
D
$\frac {9}{2}$

题目答案

A

答案解析

分析：

先求出抛物线的焦点坐标，由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．

解答：

解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则F($\frac {1}{2}$，0)，

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，

则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和

d=|PF|+|PA|≥|AF|=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {17}$}{2}$．

故选A．

点评：

本小题主要考查抛物线的定义解题．

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2单选题

点P是抛物线y_=4x上一动点，则点P到点A(0，-1)的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是（　　）

A
$\sqrt {5}$
B
$\sqrt {3}$
C
2
D
$\sqrt {2}$

题目答案

D

答案解析

分析：

由抛物线的性质，我们可得P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y_=4x焦点F的距离，根据平面上两点之间的距离线段最短，即可得到点P到点A(0，-1)的距离与到直线x=-1的距离和的最小值．

解答：

解：∵P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y_=4x焦点F的距离

故当P点位于AF上时，点P到点A(0，-1)的距离与到直线x=-1的距离和最小

此时|PA|+|PF|=|AF|=$\sqrt {2}$

故选D

点评：

本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中根据抛物线的性质，将点P到点A(0，-1)的距离与到直线x=-1的距离和，转化为P点到A，F两点的距离和，是解答本题的关键．

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3单选题

点P是抛物线y_=4x上一动点，则点P到直线y=2x+5的最短距离是(       )

A
$\frac {7$\sqrt {3}$}{10}$
B
$\frac {9$\sqrt {5}$}{10}$
C
$\frac {7}{10}$
D
$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

B

答案解析

分析：

先设出与直线平行且与抛物线相切的直线的切点，对抛物线方程两边对x求导，由导数的几何意义求得切点的坐标，进而根据点到直线的距离求得答案．

解答：

解：设与直线y=2x+5平行，且与抛物线y_=4x相切的直线的切点为(m，n)，

由y_=4x两边对x求导，得到2y•y′=4，y′=$\frac {2}{y}$，

由$\frac {2}{n}$=2，n=1，又n_=4m，得m=$\frac {1}{4}$，

解得切点P($\frac {1}{4}$，1)．

则点P到直线y=2x+5的最短距离d=$\frac {|2×$\frac {1}{4}$-1+5|}{$\sqrt {5}$}$=$\frac {9$\sqrt {5}$}{10}$．

故答案为：$\frac {9$\sqrt {5}$}{10}$，选B．

点评：

本题主要考查了导数的几何意义，考查解决切线问题，优先考虑切点，同时考查点到直线的距离公式，属于中档题．

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4单选题

已知P是抛物线y^{2}=4x上的一个动点，Q是圆(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=1上的一个动点，N(1，0)是一个定点，则|PQ|+|PN|的最小值为( )

A
3
B
4
C
5
D
6

题目答案

A

答案解析

分析：


解答：


点评：

本题考查了圆与圆锥曲线的关系，考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．

纠错重做

5单选题

已知P是抛物线x^{2}=4y上的一个动点，则点P到直线l$_1$：4x-3y-7=0和l$_2$：y+2=0的距离之和的最小值是( )

A
1
B
2
C
3
D
4

题目答案

C

答案解析

分析：


解答：


点评：


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6填空题

已知抛物线y=$\frac {1}{4}$x^{2}的焦点为F，定点A(-1，8)，P为抛物线上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

9

答案解析

分析：


解答：


点评：

本题考查了抛物线的标准方程及其性质．

纠错重做

7填空题

AB是抛物线y_=x的一条弦，若AB的中点到y轴的距离为1，则弦AB的长度的最大值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {5}{2}$

答案解析

分析：

利用焦半径公式和AB中点横坐标，先求出A，B两点到焦点的距离之和，再利用三角形中，任两边之和大于第三边，即可求出AB的长度的最大值．

解答：

解：设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，则AB中点M坐标为($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$，$\frac {y$_1$+y$_2$}{2}$)

∵AB的中点到y轴的距离为1，∴$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$=1，∴x$_1$+x$_2$=2

又∵A，B在抛物线y_=x上，∴|AB|≤|AF|+|BF|=x$_1$+x$_2$+$\frac {1}{2}$=$\frac {5}{2}$

∴|AB|的最大值为$\frac {5}{2}$

故答案为$\frac {5}{2}$

点评：

本题主要考查了抛物线中焦半径公式的应用，这是求焦点弦长用的最多的方法，应熟练掌握．

纠错重做

8单选题

已知抛物线C：y_=2px(p＞0)上一动点M，设M到抛物线C外一定点A(6，12)的距离为d$_1$，M到定直线l：x=-p的距离为d$_2$，若d$_1$+d$_2$的最小值为14，则抛物线C的方程为(       )

A
y_=6x
B
y_=4x
C
x_=4y
D
x_=6y

题目答案

B

答案解析

分析：

结合图形，将d$_1$+d$_2$转化为MA+MF+$\frac {p}{2}$，由图形知，d$_1$+d$_2$在M与P′重合时，最小值14，再由两点间距离公式，即可得到p的值，继而得到抛物线C的方程．

解答：

解：由于抛物线C：y_=2px(p＞0)上一动点M，如图示，

则M到抛物线的焦点F($\frac {p}{2}$，0)的距离等于M到准线：x=-$\frac {1}{2}$p的距离，

又由于M到定直线l：x=-p的距离为M到准线：x=-$\frac {1}{2}$p的距离与$\frac {p}{2}$的和，

则d$_2$=MQ=MF+$\frac {p}{2}$，

故d$_1$+d$_2$=MA+MF+$\frac {p}{2}$的最小值为14，

由图知，当M与P′重合时，取最小值14，

则14=AF+$\frac {p}{2}$=$\sqrt {}$+$\frac {p}{2}$，解得p=2，

则抛物线C的方程为y_=4x．

故答案为：y_=4x．

点评：

本题着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．

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