《圆的复数表示》圆的复数表示

1填空题

若复数z满足|z-i|≤$\sqrt {2}$(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为．

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题目答案

2π

答案解析

分析：

解答：

点评：

2填空题

若z∈C，且|z|=1，则|z-i|的最大值为．

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题目答案

答案解析

分析：

由条件利用绝对值三角不等式、复数的模的定义求得|z-i|的最大值．

解答：

解：∵|z-i|≤|z|+|-1|=1+1=2，

故答案为：2．

点评：

本题主要考查绝对值三角不等式、复数的模的定义，属于基础题．

3填空题

若复数z满足|z-3+4i|=1(i是虚数单位)，则|z|最大值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

复数z满足|z-3+4i|=1(i是虚数单位)，z是以(3，-4)为圆心以1为半径的圆，|z|是到原点的距离．

解答：

解：|z-3+4i|=1表示：复数z是复平面上以(3，-4)为圆心

以1为半径的圆上的点，要求|z|最大值，

即求圆上的点到原点距离的最大值．

如图，|z|最大值为$\sqrt {}$+1=6．

故答案为：6．

点评：

本题考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想；也可以转化为代数法求解；是中档题．

4填空题

复数z满足条件log$_2$(|z|-2)＜1，则z在复平面内的对应点构成的图形的面积是．

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题目答案

12π

答案解析

分析：

设出复数z，代入log$_2$(|z|-2)＜1，得到复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形，由圆的面积公式得答案．

解答：

解：设z=x+yi(x，y∈R)，

由log$_2$(|z|-2)＜1，可得2≤|z|≤4，得2≤$\sqrt {}$≤4，

即4≤x+y_≤16．

∴复数z在复平面内对应的点Z的集合构成的图形是半径为2的圆与半径为4的圆之间的部分．

其面积为4_π-2_π=12π．

故答案为：12π．

点评：

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数模的求法，是基础题．

5单选题

满足条件|2z+1|=|z+i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )

直线

圆

双曲线

椭圆

题目答案

答案解析

分析：

设复数z在复平面上对应点的坐标为(x，y)，由条件可得 $\sqrt {}$=$\sqrt {}$，化简可得 x+ y+$\frac {4}{3}$x = 0，表示一个圆．

解答：

解：设复数z在复平面上对应点的坐标为(x，y)，由|2z+1|=|z+i|可得$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，

化简可得 x+ y+$\frac {4}{3}$x = 0，表示一个圆，

故答案为B．

点评：

本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，复数的模的定义，求得$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，是解题的关键．

6单选题

复数z满足|z|=2，则|z-3-4i|的取值范围是(　　)(i为虚数单位)

(1，3)

[1，3]

(3，7)

[3，7]

题目答案

答案解析

分析：

设z=a+bi(a，b∈R)，可得a_+b_=4，知点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|z-3-4i|表示点Z(a，b)到点M(3，4)的距离，结合图形可求．

解答：

解：设z=a+bi(a，b∈R)，

则$\sqrt {}$=2，即a_+b_=4，可知点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，

|z-3-4i|表示点Z(a，b)到点M(3，4)的距离，

由图可知|z-3-4i|的最大值为$\sqrt {}$+2=7，最小值为$\sqrt {}$-2=3，

∴|z-3-4i|的取值范围是[3，7]，

故选：D．

点评：

本题考查复数的模、复数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属基础题．

7单选题

若z∈C且|z+2-2i|=1，则|z-1-2i|的最大值是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

设z=x+yi(x，y∈R)，由|z+2-2i|=1知点Z(x，y)的轨迹可看作以A(-2，2)为圆心，1为半径的圆，|z-1-2i|可看作点Z到点B(1，2)的距离，从而可得答案．

解答：

解：设z=x+yi(x，y∈R)，

则|z+2-2i|=|(x+2)+(y-2)i|=1，

所以$\sqrt {}$=1，即(x+2)_+(y-2)_=1，

点Z(x，y)的轨迹可看作以A(-2，2)为圆心，1为半径的圆，

|z-1-2i||(x-1)+(y-2)i|=$\sqrt {}$，可看作点Z到点B(1，2)的距离，

则距离的最大值为：|AB|+1=3+1=4，即|z-1-2i|的最大值是4，

故选C．

点评：

本题考查复数求模及复数的几何意义，属基础题．

8单选题

在复平面上，已知直线l上的点Z所对应的复数z都满足|z-3|=|z+4-i|，则直线l的倾斜角为( )

arctan5

arctan7

arctan3

arctan4

题目答案

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分析：

设A(3，0)，B(-4，1)，由|z-3|=|z+4-i|知点Z的轨迹即直线l为线段AB的中垂线，由此可求l的斜率，进而可求倾斜角．

解答：

解：由|z-3|=|z+4-i|知，点Z到点A(3，0)，B(-4，1)的距离相等，即直线l为线段AB的中垂线，

而k_AB=$\frac {0-1}{3-(-4)}$=-$\frac {1}{7}$，

∴直线l的斜率为7，

∴直线l的倾斜角为arctan7，

故答案为：arctan7，选B．

点评：

该题考查复数的模、直线的倾斜角和斜率，属基础题．

9单选题

若z∈C且|z+2-2i|=1，则|z-1-2i|的最小值是（　　）

题目答案

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分析：

根据两个复数差的几何意义，求得|z-1-2i|的最小值．

解答：

解：∵|z+2-2i|=1，∴复数z对应点在以C(-2，2)为圆心、以1为半径的圆上．

而|z-1-2i|表示复数z对应点与点A(1，2)间的距离，

故|z-1-2i|的最小值是|AC|-1=2，

故选：A．

点评：

本题主要考查两个复数差的几何意义，求复数的模的最值，属于基础题．

10单选题

在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z+i|=|z-3-i|，则直线l的倾斜角为( )

π-arctan$\frac {3}{2}$

2π-arctan$\frac {3}{2}$

π-arctan$\frac {1}{2}$

2π-arctan$\frac {1}{2}$

题目答案

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分析：

本题考查的是复数模的几何意义．

解答：

解：∵|z+i|=|z-3-i|

∴复数z对应的点Z到点A(0，-1)与到点B(3，1)的距离相等．

∴点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线．

∴k•k_AB=-1，又k_AB=$\frac {2}{3}$

∴k=-$\frac {3}{2}$

∴α=π-arctan$\frac {3}{2}$，选A．

点评：

本题由复数的几何意义得到点的轨迹，进而得到解答．

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