《函数凹凸性的特征》函数凹凸性的特征 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《函数凹凸性的特征》函数凹凸性的特征

1单选题

在y=2_，y=log$_2$x，y=x_这三个函数中，当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$恒成立的函数的个数是（　　）

A
0个
B
1个
C
2个
D
3个

题目答案

B

答案解析

分析：

先求出各个函数对应的f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)，$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$，再利用指数函数的单调性及基本不等式比较两者的大小．

解答：

解：对于y=2_有f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)= 2_

$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$=$\frac {2}{2}$=2_

∵0＜x$_1$＜x$_2$＜1，∴$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$＞x$_1$+x$_2$-1

∴f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$恒成立

对于y=log$_2$x有f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)= log$_2$ ($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)，$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$=$\frac {log$_2$( x$_1$+x$_2$)}{2}$=log$_2$$\sqrt {}$

∵0＜x$_1$＜x$_2$＜1，

∴$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$＜ $\sqrt {}$，

∴f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＜$\frac {f(x$_1$+x$_2$)}{2}$

故选B

点评：

本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．

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2填空题

给出下列5个函数：(1)y=2_；(2)y=log_$\frac {1}{3}$x；(3)y=log$_2$x；(4)y=x_；(5)y=e_．当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$恒成立的函数是(填对应序号的数字)．

填空题答案仅供参考

题目答案

3

答案解析

分析：

因为“当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$恒成立”所以f(x)在(0，1)上是“上凸”函数，根据给的五个基本初等函数的图象可以判断．

解答：

解：因为“当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$恒成立”，即在(0，1)上，任取两点A(x$_1$，f(x$_1$)，B(x$_2$，f(x$_2$))，

则线段AB中点的坐标为M($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$，$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$)，函数f(x)的图象上与M有相同横坐标的点N($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$，f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$))，

当N点在M点上方时，则f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$，此时函数图象“上凸”；

反之，当N点在M点下方时，则f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＜$\frac {f(x$_1$)+f(x$_2$)}{2}$，此时函数图象“下凹”；

由题意，此题要求得是“上凸函数”，根据y=2_，y=log_$\frac {1}{3}$x，y=log$_2$x，y=x_，y=e_的图象可知y=log$_2$x的图象在(0，1)上是“上凸”的．

故答案为：3

点评：

这是一个教材改编题，通过考查函数的“凹凸性”，重点考查学生借助于图象来理解、解释函数的性质的能力，培养了学生利用数形结合思想解题的能力．

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3填空题

给出下列四个函数：

1、y=2_；2、y=log$_2$x；3、y=x_；4、y=$\sqrt {x}$．

当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x1)+f(x2)}{2}$ 恒成立的函数的序号(从小到大填写)是和．

填空题答案仅供参考

题目答案

24

答案解析

分析：

作出四个函数的简图，由图象可得满足当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x1)+f(x2)}{2}$ 恒成立的函数．

解答：

解：如图：

∵当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x1)+f(x2)}{2}$；

∴L$_2$，L$_4$满足条件，

∴当0＜x$_1$＜x$_2$＜1时，使f($\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$)＞$\frac {f(x1)+f(x2)}{2}$ 恒成立的函数的序号是2、4．

故答案为2和4．

点评：

本题考查了函数简图的作法及命题真假性的判断．

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