《已知分段函数单调性求参数范围》已知分段函数单调性求参数范围 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《已知分段函数单调性求参数范围》已知分段函数单调性求参数范围

1单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}a_，(x＜0) \ (a-3)x+4a，(x≥0) \ \end{matrix}\right.$满足对任意x$_1$≠x$_2$，都有$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0成立，则a的取值范围是(      )．

A
(0，$\frac {1}{4}$]
B
[0，$\frac {1}{4}$)
C
[0，$\frac {1}{4}$]
D
(0，$\frac {1}{4}$)

题目答案

A

答案解析

分析：

根据已知条件可知函数f(x)在R上单调递减，所以对于a_，0＜a＜1；对于(a-3)x+4a，a＜3，又a_＞1，所以(a-3)x+4a的最大值满足小于等于1，而(a-3)x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到a≤$\frac {1}{4}$，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a的取值范围．

解答：

解：∵对任意x$_1$≠x$_2$，都有$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0成立；

∴f(x$_1$)-f(x$_2$)与x$_1$-x$_2$异号，

即x$_1$-x$_2$＜0时，f(x$_1$)-f(x$_2$)＞0，即x$_1$＜x$_2$时，f(x$_1$)＞f(x$_2$)；

∴函数f(x)在R上是减函数；

∴x＜0时，f(x)=a_，0＜a＜1；

x≥0时，f(x)=(a-3)x+4a，a-3＜0，a＜3，又a_＞1，((a-3)x+4a)_max=4a≤1，

∴a≤$\frac {1}{4}$；

又0＜a＜1，∴0＜a≤$\frac {1}{4}$；

∴a的取值范围是(0，$\frac {1}{4}$]．

故答案为：(0，$\frac {1}{4}$]，选A．

点评：

考查单调性的定义，分段函数的单调性，指数函数的单调性，一次函数的单调性，以及对于单调性定义的利用．

纠错重做

2单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}-1，x≥0 \ x-1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，则满足不等式f(3-x)＜f(2x)的x的取值范围为（　　）

A
(-3，-$\sqrt {3}$)
B
(-3，1)
C
[-3，0)
D
(-3，0)

题目答案

D

答案解析

分析：

可作出f(x)=$\left\{\begin{matrix}-1，x≥0 \ x-1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$的图象，再结合不等式f(3-x)＜f(2x)即可解得x的取值范围．

解答：

解：∵f(x)=$\left\{\begin{matrix}-1，x≥0 \ x-1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$作出其图象如下：



∵f(3-x)＜f(2x)，

∴$\left\{\begin{matrix}2x＜0 \ 3-x_＞2x \ \end{matrix}\right.$，解得-3＜x＜0．

故选D．

点评：

本题考查分段函数的图象及其单调性，考查作图与综合分析的能力，考查解不等式的能力，属于中档题．

纠错重做

3单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}(2a-1)x+7a-2(x＜1) \ a_(x≥1) \ \end{matrix}\right.$在(-∞，+∞)上单调递减，则a的取值范围是（　　）

A
(0，1)
B
(0，$\frac {1}{2}$)
C
[$\frac {3}{8}$，$\frac {1}{2}$)
D
[$\frac {3}{8}$，1)

题目答案

C

答案解析

分析：

由已知，f$_1$(x)=(2a-1)x+7a-2，f$_2$(x)=a_在各自的区间上均应是减函数，且当x=1时，应有f$_1$(x)≥f$_2$(x)，求解即可．

解答：

解：由已知，f$_1$(x)=(2a-1)x+7a-2在(-∞，1)上单减，∴2a-1＜0，a＜$\frac {1}{2}$ ①

f$_2$(x)=a___且当x=1时，应有f$_1$(x)≥f$_2$(x)．即9a-3≥a，∴a≥$\frac {3}{8}$ ③

由①②③得，a的取值范围是[$\frac {3}{8}$，$\frac {1}{2}$)

故选C．

点评：

本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题为保证y随x的增大而减小．特别注意f$_1$(x)的最小值大于等于f$_2$(x)的最大值．

纠错重做

4单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}-x-ax-5，(x≤1) \ $\frac {a}{x}$，(x＞1) \ \end{matrix}\right.$是R上的增函数，则a的取值范围是（　　）

A
-3≤a＜0
B
-3≤a≤-2
C
a≤-2
D
a＜0

题目答案

B

答案解析

分析：

由函数f(x)是R上的增函数可得函数，设g(x)=-x-ax-5，h(x)=$\frac {a}{x}$，则可知函数g(x)在x≤1时单调递增，函数h(x)在(1，+∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，从而可求

解答：

解：∵函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}-x-ax-5，(x≤1) \ $\frac {a}{x}$，(x＞1) \ \end{matrix}\right.$是R上的增函数

设g(x)=-x-ax-5(x≤1)，h(x)=$\frac {a}{x}$(x＞1)

由分段函数的性质可知，函数g(x)=-x-ax-5在(-∞，1]单调递增，函数h(x)=$\frac {a}{x}$在(1，+∞)单调递增，且g(1)≤h(1)

∴$\left\{\begin{matrix}-$\frac {a}{2}$≥1 \ a＜0 \ -a-6≤a \ \end{matrix}\right.$

∴$\left\{\begin{matrix}a≤-2 \ a＜0 \ a≥-3 \ \end{matrix}\right.$

解可得，-3≤a≤-2

故选B

点评：

本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，注意在分段函数的单调性应用 中，不要漏掉g(1)≤h(1)

纠错重做

5单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}ax-1，x≤2 \ log_a(x-1)+3，x＞2 \ \end{matrix}\right.$是定义域上的单调函数，则a的取值范围是（　　）

A
(1，+∞)
B
[2，+∞)
C
(1，2)
D
(1，2]

题目答案

D

答案解析

分析：

因为f(x)是定义域R上的单调函数，所以可能为单调递增函数或是单调递减函数．由对数式f(x)=log_a(x-1)+3，(x＞2)知底数a＞0，所以f(x)=ax-1在x≤2上单调递增，最大值为f(2)=2a-1，由于f(x)在R上是单调函数，所以f(x)=log_a(x-1)+3，(x＞2)上也是单调递增，故a＞1，同时还应满足log_a(2-1)+3≥2a-1．

解答：

解：因为f(x)是定义域R上的单调函数，所以a应满足：$\left\{\begin{matrix}a＞1 \ 2a-1≤log_a(2-1)+3 \ \end{matrix}\right.$，解得：1＜a≤2，故选D．

点评：

本题考查对分段函数和函数单调性的理解掌握程度，若分段函数具有单调性关键点和难点都是在分段点处函数值的比较．

纠错重做

6单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-ax+5，x＜1 \ 1+$\frac {1}{x}$，x≥1 \ \end{matrix}\right.$在定义域R上单调，则实数a的取值范围为（　　）

A
(-∞，2]
B
[2，+∞)
C
[4，+∞)
D
[2，4]

题目答案

D

答案解析

分析：

由题意可得函数在R上单调递减，故有$\left\{\begin{matrix}$\frac {a}{2}$≥1 \ 1-a+5≥1+$\frac {1}{1}$ \ \end{matrix}\right.$，由此解得a的范围．

解答：

解：由于函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x-ax+5，x＜1 \ 1+$\frac {1}{x}$，x≥1 \ \end{matrix}\right.$在定义域R上单调，

可得函数在R上单调递减，

故有$\left\{\begin{matrix}$\frac {a}{2}$≥1 \ 1-a+5≥1+$\frac {1}{1}$ \ \end{matrix}\right.$，解得2≤a≤4，

故选D．

点评：

本题主要函数的单调性的定义和性质，二次函数的性质应用，属于中档题．

纠错重做

7单选题

若函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}a_，x＜1 \ -x+3ax，x≥1 \ \end{matrix}\right.$满足对任意x$_1$≠x$_2$都有$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＜0成立，则a的取值范围是(      )．

A
(0，$\frac {1}{2}$]
B
[0，$\frac {1}{2}$)
C
[0，$\frac {1}{2}$]
D
(0，$\frac {1}{2}$)

题目答案

A

答案解析

分析：

由题意可得，函数是定义域内的减函数，故有 $\left\{\begin{matrix}0＜a＜1 \ $\frac {3a}{2}$≤1 \ a≥-1+3a \ \end{matrix}\right.$，由此解得a的范围．

解答：

解：由题意可得，函数的图象上任意两点连线的斜率都小于零，

故函数是定义域内的减函数，

∴$\left\{\begin{matrix}0＜a＜1 \ $\frac {3a}{2}$≤1 \ a≥-1+3a \ \end{matrix}\right.$，

解得 0＜a≤$\frac {1}{2}$，

故答案为：(0，$\frac {1}{2}$]，选D．

点评：

本题主要考查函数的单调性的判断和单调性的性质，属于中档题．

纠错重做

8单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}log_$\frac {1}{2}$x(0＜x≤1) \ 2-3x(x＞1) \ \end{matrix}\right.$，若f(3a)＜f(2a_-9)，则实数a的取值范围是(      )．

A
$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$＜a＜3
B
$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$≤a≤3
C
$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$＜a≤3
D
$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$≤a＜3

题目答案

A

答案解析

分析：

确定f(x)在(0，+∞)上单调递减，由f(3a)＜f(2a_-9)，可得3a＞2a_-9＞0，即可求出实数a的取值范围．

解答：

解：由函数f(x)的图象可知f(x)在(0，+∞)上单调递减，

∵f(3a)＜f(2a_-9)，

∴3a＞2a_-9＞0，∴$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$＜a＜3，

故答案为：$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$＜a＜3，选A．

点评：

本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用，属于中档题．

纠错重做

9单选题

若函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+2x，x≥0 \ 2x-x_，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，若f(a_-6)+f(a)＞0，则实数a的取值范围是（　　）

A
(-∞，-2)∪(3，+∞)
B
(-2，3)
C
(-∞，-3)∪(2，+∞)
D
(-3，2)

题目答案

C

答案解析

分析：

由f(x)的解析式，可以判定f(x)是R上的奇函数，且是减函数；从而化简f(a_-6)+f(a)＞0，得到关于a的一元二次不等式，求出a的取值范围；

解答：

解：∵函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}x+2x，x≥0 \ 2x-x_，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，

∴当x＞0时，-x＜0，∴f(x)=x+2x=-(-x-2x)=-[2(-x)-(-x)_]=-f(-x)；

当x＜0时，-x＞0，∴f(x)=2x-x_=-(x-2x)=-[(-x)_+2(-x)]=-f(-x)；

且f(0)=0，

∴f(x)是R上的奇函数；

又f(1)=3，f(-1)=-3，

∴f(x)是R上的增函数；

由f(a_-6)+f(a)＞0，

得f(a_-6)＞-f(a)，

又-f(a)=f(-a)，

∴f(a_-6)＞f(-a)，

∴a_-6＞-a，

解得a＜-3，或a＞2；

∴a的取值范围是(-∞，-3)∪(2，+∞)；

故选：C．

点评：

本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定以及不等式的解法问题，是易错题．

纠错重做

10单选题

若函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}ax(x+1)，x≥0 \ x(a-x)，x＜0 \ \end{matrix}\right.$为奇函数，则满足f(t-1)＜f(2t)的实数t的取值范围是(      )．

A
t≥-1
B
t＞-1
C
t≥1
D
t＞1

题目答案

B

答案解析

分析：

由函数f(x)是奇函数，可得 f(1)+f(-1)=0，解得a=1，画图可知f(x)单调递增，所以 f(t-1)＜f(2t)⇔t-1＜2t⇔t＞-1．

解答：

解：由函数f(x)是奇函数，可得 f(1)+f(-1)=0，

即2a-(a+1)=0，

解得a=1，

故f(x)=$\left\{\begin{matrix}x(x+1)，x≥0 \ x(1-x)，x＜0 \ \end{matrix}\right.$，

其图象如下图所示：



由图可知f(x)单调递增，

∴f(t-1)＜f(2t)可化为：t-1＜2t

解得：t＞-1．

故答案为：B．

点评：

本题考查的知识点是函数奇偶性，函数的单调性，解不等式，其中根据函数的奇偶性，求出a值，进而求出函数的解析式，是解答的关键．

纠错重做

11单选题

已知函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}(3-a)x-a，x＜1 \ log_ax，x≥1 \ \end{matrix}\right.$是(-∞，+∞)上的递增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A
(1，+∞)
B
(-∞，3)
C
[$\frac {3}{2}$，3)
D
(1，3)

题目答案

C

答案解析

分析：

本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答时，首先得保证函数在各段上是增函数，然后保证x=1时x＜1对应的上限要小于等于x≥1时函数对应的下限．解不等式进而获得问题的解答．

解答：

解：由题意：函数f(x)=$\left\{\begin{matrix}(3-a)x-a，x＜1 \ log_ax，x≥1 \ \end{matrix}\right.$是(-∞，+∞)上的递增函数，

所以必有：$\left\{\begin{matrix}3-a＞0 \ a＞1 \ _a≥3-a-a \ \end{matrix}\right.$，解得：$\frac {3}{2}$≤a＜3，

故选C．

点评：

本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的思想、解不等式的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．

纠错重做