下列关于公差d＞0的等差数列{a_n}的四个命题：
p$_1$：数列{a_n}是递增数列；
p$_2$：数列{na_n}是递增数列；
p$_3$：数列{$\frac {a_n}{n}$}是递增数列；
p$_4$：数列{a_n+3nd}是递增数列；
其中真命题是（ ）
分析：
对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．
解答：
解：∵对于公差d＞0的等差数列{a_n}，a_n+1-a_n=d＞0，∴命题p$_1$：数列{a_n}是递增数列成立，是真命题．
对于数列数列{na_n}，第n+1项与第n项的差等于 (n+1)a_n+1-na_n=nd+a_n+1，不一定是正实数，
故p$_2$不正确，是假命题．
对于数列{$\frac {a_n}{n}$}，第n+1项与第n项的差等于 $\frac {a_n+1}{n+1}$-$\frac {a_n}{n}$=$\frac {na_n+1-(n+1)a_n}{n(n+1)}$=$\frac {nd-a_n}{n(n+1)}$，不一定是正实数，
故p$_3$不正确，是假命题．
对于数列数列{a_n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 a_n+1+3(n+1)d-a_n-3nd=4d＞0，
故命题p$_4$：数列{a_n+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选D．
点评：
本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．
设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x_∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=-$\frac {1}{2}$，则$\frac {1}{4}$≤n≤1；③若n=$\frac {1}{2}$，则-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$≤m≤0．其中正确命题的个数是（ ）
分析：
根据题中条件：“当x∈S时，有x_∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得$\left\{\begin{matrix}n_≤n \ n≥1 \ \end{matrix}\right.$，②m=-$\frac {1}{2}$，则$\left\{\begin{matrix}n_≤n \ $\frac {1}{4}$≥1 \ \end{matrix}\right.$对于③若n=$\frac {1}{2}$，则$\left\{\begin{matrix}$\frac {1}{2}$≥m \ $\frac {1}{2}$≥m_ \ \end{matrix}\right.$，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
解答：
解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x_∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m_∈S即m_≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n_∈S即n_≤n，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m_=1∈S故必有$\left\{\begin{matrix}n_≤n \ n≥1 \ \end{matrix}\right.$可得n=1，S={1}，
②m=-$\frac {1}{2}$，m_=$\frac {1}{4}$∈S则$\left\{\begin{matrix}n_≤n \ $\frac {1}{4}$≤n \ \end{matrix}\right.$解之可得$\frac {1}{4}$≤n≤1；
对于③若n=$\frac {1}{2}$，则$\left\{\begin{matrix}$\frac {1}{2}$≥m \ m_≥m \ $\frac {1}{2}$≥m_ \ \end{matrix}\right.$解之可得-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$≤m≤0，
所以正确命题有3个．
故选D
点评：
本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．
若命题p：ax+4x+a≥-2x+1是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
分析：
将不等式ax+4x+a≥-2x+1转化为(a+2)x+4x+a-1≥0，然后利用不等式恒成立，解不等式即可．
解答：
解：∵不等式ax+4x+a≥-2x+1，
∴不等式等价为(a+2)x+4x+a-1≥0恒成立，
若a=-2时，不等式等价为4x-3≥0．不满足条件．
若a≠-2，要使不等式恒成立，
则$\left\{\begin{matrix}a+2＞0 \ △=16-4(a+2)(a-1)≤0 \ \end{matrix}\right.$，
解得a≥2，
故选：D．
点评：
本题主要考查不等式恒成立的等价条件，将不等式进行等价转化是解决本题的关键．
有下列命题
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不相等；
③若sinα＞0，则是α第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα=$\frac {-x}{$\sqrt {}$}$，
其中正确的命题个数是（ ）
分析：
①根据三角函数的定义，终边相同的角所有的三角函数的值均相等；②终边不同的角，如果终边关于x轴对称，则余弦值相等，终边关于y轴对称，则正弦值相等，终边关于原点对称，则正切值相等；③若sinα＞0，则α的终边落在第I、II象限或y轴的非负半轴上；④由任意角三角函数的定义，cosα=$\frac {x}{r}$即可判断．
解答：
解：①由三角函数的定义得，①正确；
②$\frac {π}{6}$与-$\frac {π}{6}$的终边不同，但cos$\frac {π}{6}$=cos(-$\frac {π}{6}$)，故②错误；
③若α=$\frac {π}{2}$，则sinα=1＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cosα=$\frac {x}{r}$=$\frac {x}{$\sqrt {}$}$，故④错．
故选A．
点评：
本题以命题的真假判断为载体，主要考查任意角三角函数的定义及运用，终边相同的角及象限角等的概念，属于基础题．
已知命题p：x$_1$和x$_2$是方程x-mx-2=0的两个实根，不等式a_-5a-3≥|x$_1$-x$_2$|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax+2x-1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，a的取值范围是( )
分析：
本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x$_1$和x$_2$是方程x-mx-2=0的两个实根，不等式a_-5a-3≥|x$_1$-x$_2$|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax+2x-1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．
解答：
解：∵x$_1$，x$_2$是方程x-mx-2=0的两个实根
∴$\left\{\begin{matrix}x$_1$+x$_2$=m \ x$_1$x$_2$=-2 \ \end{matrix}\right.$
∴|x$_1$-x$_2$|=$\sqrt {}$
=$\sqrt {}$
∴当m∈[-1，1]时，|x$_1$-x$_2$|_max=3，
由不等式a_-5a-3≥|x$_1$-x$_2$|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．
可得：a_-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1，
命题q：不等式ax+2x-1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解．
②当a=0时，2x-1＞0有解
③当a＜0时，∵ax+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax+2x-1＞0有解时a＞-1．
又命题q是假命题，
∴a≤-1，
故命题p是真命题且命题q是假命题时，
a的取值范围为a≤-1，所以选D．
点评：
若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是C_RA．这个结论在命题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握
已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，且f(-4)=-2，当x$_1$，x$_2$∈[0，3]，且x$_1$≠x$_2$时，都有$\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＞0．则给出下列命题：
(1)f(2008)=-2；
(2)函数y=f(x)图象的一条对称由为x=-6；
(3)函数y=f(x)在[-9，-6]上为减函数；
(4)方程f(x)=0在[-9，9]上有4个根；
其中正确的命题个数为（ ）
分析：
(1)、赋值x=-3，又因为f(x)是R上的偶函数，f(3)=0，则函数f(x)为周期是6的函数，所以f(2008)=f(4)，故f(2008)=-2；
(2)、f(x)是R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x)，又因为f (x+6)=f (x)，得周期为6，从而f(-6-x)=f(-6+x)，所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴；
(3)、有单调性定义知函数y=f(x)在[0，3]上为增函数，f(x)的周期为6，所以函数y=f(x)在[-9，-6]上为减函数；
(4)、f(3)=0，f(x)的周期为6，所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0．
解答：
解：(1)对于任意x∈R，都有f (x+6)=f (x)+f (3)成立，令x=-3，则f(-3+6)=f(-3)+f (3)，
又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)=0．所以f(2008)=f(4)=f(-4)，
又由f(-4)=-2，故f(2008)=-2；故(1)正确
(2)由(1)知f (x+6)=f (x)，所以f(x)的周期为6，
又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x)，
而f(x)的周期为6，所以f(x+6)=f(-6+x)，f(-x)=f(-x-6)，
所以：f(-6-x)=f(-6+x)，所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴．故(2)正确
(3)当x$_1$，x$_2$∈[0，3]，且x$_1$≠x$_2$时，都有 $\frac {f(x$_1$)-f(x$_2$)}{x$_1$-x$_2$}$＞0
所以函数y=f(x)在[0，3]上为增函数，
因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y=f(x)在[-3，0]上为减函数
而f(x)的周期为6，所以函数y=f(x)在[-9，-6]上为减函数．故(3)正确
(4)f(3)=0，f(x)的周期为6，
所以：f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0
函数y=f(x)在[-9，9]上有四个零点．故(4)正确
故答案为：D．
点评：
本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．
给定两个命题，P：对任意实数x都有ax+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，实数a的取值范围是( )
分析：
先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据P与Q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．
解答：
解：对任意实数x都有ax+ax+1＞0恒成立⇔a=0或$\left\{\begin{matrix}a＞0 \ △＜0 \ \end{matrix}\right.$⇔0≤a＜4；
关于x的方程x-x+a=0有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤$\frac {1}{4}$；
如果P正确，且Q不正确，有0≤a＜4，且a＞$\frac {1}{4}$∴$\frac {1}{4}$＜a＜4；
如果Q正确，且P不正确，有a＜0或a≥4，且a≤$\frac {1}{4}$∴a＜0．
所以实数a的取值范围为(-∞，0)∪($\frac {1}{4}$，4)，所以选A．
点评：
本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0而出错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．
下列语句是命题的一句是（ ）
分析：
命题是能判断真假的语句，由命题概念来对四个选项分别进行判断．
解答：
解：x-1=0，无法判断真假，故A不是命题；
2+3=8不正确，故B是命题；
命题不能是疑问句，故C不是命题；
这是一棵大树，无法判断真假，故D不是命题．
故选B．
点评：
本题考查命题的概念，解题时要熟练掌握命题的概念．
设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
分析：
若l⊥α，l∥m，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，得到m⊥α．
解答：
解：若l⊥α，l∥m，
根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，
所以m⊥α
所以选项A正确；
若l⊥m，m⊂α，则l⊥α或l与α斜交或l与α平行，所以选项B不正确；
若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m是异面直线，所以选项C错误；
若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m异面或l∥m相交，所以选项D错误；
故选A
点评：
本题考查直线与平面的位置关系，解决这类问题时常借助模型或图形演示，属于基础题．
若“sin2x＜$\frac {1}{2}$”是一个假命题，则变量x的取值范围是( )
分析：
由题意可得 sin2x≥$\frac {1}{2}$，∴2kπ+$\frac {π}{6}$≤2x≤2kπ+$\frac {5π}{6}$，k∈z，由此求得x的范围．
解答：
解：∵“sin2x＜$\frac {1}{2}$”是一个假命题，∴sin2x≥$\frac {1}{2}$，∴2kπ+$\frac {π}{6}$≤2x≤2kπ+$\frac {5π}{6}$，k∈z，
解得 kπ+$\frac {π}{12}$≤x≤kπ+$\frac {5π}{12}$，故不等式的解集为[kπ+$\frac {π}{12}$，kπ+$\frac {5π}{12}$]，k∈z，
故答案为：[kπ+$\frac {π}{12}$，kπ+$\frac {5π}{12}$]，k∈z，所以选A．
点评：
本题主要考查命题的真假，三角不等式的解法，得到 2kπ+$\frac {π}{6}$≤2x≤2kπ+$\frac {5π}{6}$，k∈z，是解题的关键，属于基础题．
有以下四个命题：其中正确的命题是（ ）
(1)过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直；
(2)两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
(3)底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥是正棱锥；
(4)底面是正方形，有两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱．
分析：
通过直线与平面垂直判断①；找出反例否定②；由正棱锥的定义判断③；由正棱柱的定义，可能有斜棱柱来说明命题④不成立；
解答：
解：①过一点有且仅有一个平面与已知直线垂直，满足直线与平面垂直的条件，成立；
②两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线，如果两条相交直线所在平面与已知平面垂直，射影则是一条直线，不正确；
③底面是正多边形，各侧棱长都相等的棱锥是正棱锥，成立；
④底面是正方形，有两个侧面是矩形的四棱柱是正四棱柱，可能有斜棱柱，故此命题不成立；
故答案为 B
点评：
本题考查两条直线垂直的判定，直线与平面垂直的性质以及棱柱的结构特征，考查逻辑推理能力，空间想像能力，是基础题．
下列语句中不是命题的是（ ）
分析：
对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题．根据命题的定义进行判断．
解答：
解：自然数也是整数，两个锐角的和一定是直角，同角的余角相等都是命题，对情况作出了判断．故B，C，D错误．
延长线段AB，只是陈述，不是命题．故选A．
点评：
本题考查命题的定义，比较简单．
下列语句不是命题的是（ ）
分析：
根据命题的概念作答．
解答：
解：A、明天有可能下雨，不判断语句，故不是命题．正确；
B、同位角相等是命题，错误；
C、∠A是锐角是命题，错误；
D、中国是世界上人口最多的国家是命题，错误．
故选A．
点评：
主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．
下列语句中，是命题的是（ ）
分析：
判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成．
解答：
解：A、B、D只是对一件事情的叙述，故不是命题．
故选C．
点评：
本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．