《直线与平面的夹角》直线与平面的夹角

1单选题

已知正四棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，AA$_1$=2AB，则CD与平面BDC$_1$所成角的正弦值等于( )

$\frac {2}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

$\frac {1}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

解答：

点评：

本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．

2单选题

已知三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的侧棱与底面垂直，体积为$\frac {9}{4}$，底面是边长为$\sqrt {3}$的正三角形，若P为底面A$_1$B$_1$C$_1$的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

$\frac {5π}{12}$

$\frac {π}{3}$

$\frac {π}{4}$

$\frac {π}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

利用三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA$_1$为PA与平面A$_1$B$_1$C$_1$所成角，即为∠APA$_1$为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA$_1$，再利用正三角形的性质可得A$_1$P，在Rt△AA$_1$P中，利用tan∠APA$_1$=$\frac {AA$_1$}{A$_1$P}$即可得出．

解答：

解：如图所示，

∵AA$_1$⊥底面A$_1$B$_1$C$_1$，∴∠APA$_1$为PA与平面A$_1$B$_1$C$_1$所成角，

∵平面ABC∥平面A$_1$B$_1$C$_1$，∴∠APA$_1$为PA与平面ABC所成角．

∵S_△A$_1$B$_1$C$_1$=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$×($\sqrt {3}$)_=$\frac {3$\sqrt {3}$}{4}$．

∴V_三棱柱ABC-A1B1C1=AA$_1$×S_△A$_1$B$_1$C$_1$=$\frac {3$\sqrt {3}$}{4}$AA$_1$=$\frac {9}{4}$，解得AA$_1$=$\sqrt {3}$．

又P为底面正三角形A$_1$B$_1$C$_1$的中心，∴A$_1$P=$\frac {2}{3}$A$_1$D=$\frac {2}{3}$×$\sqrt {3}$×sin60_=1，

在Rt△AA$_1$P中，tan∠APA$_1$=$\frac {AA$_1$}{A$_1$P}$=$\sqrt {3}$，

∴∠APA$_1$=$\frac {π}{3}$．

故选B．

点评：

熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．

3单选题

已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )

$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {7}$}{4}$

$\frac {3}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

由图，过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．

解答：

点评：

本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角．

4单选题

正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，BB$_1$与平面ACD$_1$所成角的余弦值为（　　）

$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

正方体上下底面中心的连线平行于BB$_1$，上下底面中心的连线与平面ACD$_1$所成角，即为BB$_1$与平面ACD$_1$所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．

解答：

解：如图，设上下底面的中心分别为O$_1$，O，设正方体的棱长等于1，

则O$_1$O与平面ACD$_1$所成角就是BB$_1$与平面ACD$_1$所成角，即∠O$_1$OD$_1$，

直角三角形OO$_1$D$_1$中，cos∠O$_1$OD$_1$=$\frac {O$_1$O}{OD$_1$}$=$\frac {1}{$\frac {$\sqrt {6}$}{2}$}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，

故选D．

点评：

本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面

ACD$_1$的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．

5填空题

已知正四棱柱的对角线的长为$\sqrt {6}$，且对角线与底面所成角的余弦值为$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，则该正四棱柱的体积等于．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积．

解答：

解：：如图可知：∵AC$_1$=$\sqrt {6}$，cos∠AC$_1$A$_1$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

∴A$_1$C$_1$=$\sqrt {2}$，AA$_1$=2∴正四棱柱的体积等于A$_1$B$_1$_•AA$_1$=2

故答案为：2

点评：

此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．

6单选题

正四棱锥的侧棱长为2$\sqrt {3}$，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

先求正四棱锥的高，再求正四棱锥的底面边长，然后求其体积．

解答：

解：高h=2$\sqrt {3}$sin60°=3，又因底面正方形的对角线等于2$\sqrt {3}$，

∴底面积为S=2×$\frac {1}{2}$×2$\sqrt {3}$×$\sqrt {3}$=6，∴体积V=$\frac {1}{3}$×6×3=6

故选B

点评：

本题考查直线与平面所成的角，棱锥的体积，注意在求底面积的计算时，要注意多思则少算．

7填空题

在正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，侧棱长为$\sqrt {2}$，底面三角形的边长为1，则BC$_1$与侧面ACC$_1$A$_1$所成的角是°．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

在正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，取AC的中点E，连接BE，C$_1$E，证明BE⊥面ACC$_1$A$_1$，∴∠BC$_1$E就是BC$_1$与侧面ACC$_1$A$_1$所成的角，解直角三角形BC$_1$E即可．

解答：

解：取AC的中点E，连接BE，C$_1$E，

∵正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，∴BE⊥面ACC$_1$A$_1$，

∴∠BC$_1$E就是BC$_1$与侧面ACC$_1$A$_1$所成的角，

BC$_1$=$\sqrt {3}$，BE=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

∴sinθ=$\frac {1}{2}$，θ=30°．

故答案为30°．

点评：

考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．

8单选题

在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，正四棱锥P-ABCD的体积是( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

先求出底面面积，再求出四棱锥的高，求出正四棱锥P-ABCD的体积V．

解答：

解：作PO⊥平面ABCD，垂足为O．连接AO，是正方形ABCD的中心，∠PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．∠PAO=60°，PA=2．∴PO=$\sqrt {3}$．AO=1，AB=$\sqrt {2}$，∴V=$\frac {1}{3}$PO•S_ABCD=$\frac {1}{3}$×$\sqrt {3}$×2=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，所以选B．

点评：

本题考查棱锥的体积公式，是基础题．

9单选题

正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {6$\sqrt {5}$}{5}$

$\frac {2}{3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，$\frac {2}{3}$•$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a=2∴a=2$\sqrt {3}$设侧棱为b，则b=2$\sqrt {2}$斜高h′=$\sqrt {5}$．由面积法求A到侧面PBC的距离h=$\frac {$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$•2$\sqrt {3}$•2}{$\sqrt {5}$}$=$\frac {6$\sqrt {5}$}{5}$．

解答：

解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，

则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，

∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0

∴BC⊥平面APM

又∵BC⊂平面ABC，

∴平面ABC⊥平面APM，

又∵平面ABC∩平面APM=PM，

∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高

设底面边长为a，

则$\frac {2}{3}$•$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a=2∴a=2$\sqrt {3}$

设侧棱为b，则b=2$\sqrt {2}$斜高h′=$\sqrt {5}$．

由面积法求A到侧面PBC的距离h=$\frac {$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$•2$\sqrt {3}$•2}{$\sqrt {5}$}$=$\frac {6$\sqrt {5}$}{5}$

故答案为：B．

点评：

本小题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．

10单选题

已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（　　）

$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意可知，本题需作辅助线，可以根据三角形的特征，进行求解．

解答：

解：已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，

连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，

所以侧棱与底面所成角∠PAO的余弦值等于$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$，

故选A．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，以及学生对三角形的利用，是基础题．

11单选题

已知正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的侧棱长与底面边长相等，则AB$_1$与侧面ACC$_1$A$_1$所成角的正弦等于（　　）

$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {10}$}{4}$

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据正三棱柱及线面角的定义知，取A$_1$C$_1$的中点D$_1$，∠B$_1$AD$_1$是所求的角，再由已知求出正弦值．

解答：

解：取A$_1$C$_1$的中点D$_1$，连接B$_1$D$_1$，AD$_1$，

在正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，B$_1$D$_1$⊥面ACC$_1$A$_1$，

则∠B$_1$AD$_1$是AB$_1$与侧面ACC$_1$A$_1$所成的角，

∵正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的侧棱长与底面边长相等，

∴sin∠B$_1$AD$_1$=$\frac {$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$}{$\sqrt {2}$}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$，

故选A．

点评：

本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．

12单选题

如图，在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC$_1$上，直线OP与平面A$_1$BD所成的角为α，则sinα的取值范围是(　　)

[$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，1]

[$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，1]

[$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$]

[$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$，1]

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得：直线OP于平面A$_1$BD所成的角α的取值范围是[∠AOA$_1$，$\frac {π}{2}$]∪[∠C$_1$OA$_1$，$\frac {π}{2}$]，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．

解答：

解：由题意可得：直线OP于平面A$_1$BD所成的角α的取值范围是[∠AOA$_1$，$\frac {π}{2}$]∪[∠C$_1$OA$_1$，$\frac {π}{2}$]．

不妨取AB=2．

在Rt△AOA$_1$中，sin∠AOA$_1$=$\frac {AA$_1$}{A$_1$O}$=$\frac {2}{$\sqrt {}$}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$．

sin∠C$_1$OA$_1$=sin(π-2∠AOA$_1$)=sin2∠AOA$_1$=2sin∠AOA$_1$cos∠AOA$_1$=2×$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$＞$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，

∴sinα的取值范围是[$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，1]．

故选：B．

点评：

本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．

13单选题

正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，E、F分别是AA$_1$、AB的中点，则EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角的度数是（　　）

30°

45°

60°

150°

题目答案

答案解析

分析：

由正方体的几何特征，及E、F分别是AA$_1$、AB的中点，连接A$_1$C$_1$交B$_1$D$_1$于O，则∠A$_1$BO即为EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角，解Rt△BA$_1$O即可求出EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角的度数．

解答：

解：∵E、F分别是AA$_1$、AB的中点，

∴EF∥A$_1$B，

则EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角等于A$_1$B与对角面BDD$_1$B$_1$所成角

连接A$_1$C$_1$交B$_1$D$_1$于O

由正方体的几何特征可得A$_1$C$_1$⊥平面BDD$_1$B$_1$．即∠A$_1$BO即为EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角

在Rt△BA$_1$O中，∵BA$_1$=2A$_1$O

∴∠A$_1$BO=30°

故选A

点评：

本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中根据正方体的几何特征，求出EF与对角面BDD$_1$B$_1$所成角对应的平面角，将空间线面夹角转换为解三角形问题是解答本题的关键．

14单选题

如图，AB=AC=BD=1，AB⊂面M，AC⊥面M，BD⊥AB，BD与面M成30°角，则C、D间的距离为(　　)

$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意，作DD′⊥面M，垂足为D′，连接AD′，过D作DE⊥AC，垂足为E，求出DE、CE，即可求出C、D间的距离．

解答：

解：由题意，作DD′⊥面M，垂足为D′，连接AD′，则∠DBD′=30°，BD′⊥AB

∵BD=1，

∴DD′=$\frac {1}{2}$，BD′=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

∵AB=1，∴AD′=$\frac {$\sqrt {7}$}{2}$．

过D作DE⊥AC，垂足为E，则DE=AD′=$\frac {$\sqrt {7}$}{2}$，CE=$\frac {1}{2}$，

∴CD=$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$．

故选：C．

点评：

本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生的计算能力，难度中等．

15单选题

设A、B是平面α外同侧的两点，它们到α的距离分别是4和1，AB与α所成的角为60°，则线段AB的长是( )

3$\sqrt {3}$

2$\sqrt {3}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

作出满足题意的图形，利用三角函数，可得结论．

解答：

解：如图所示，

∵A、B是平面α外同侧的两点，它们到α的距离分别是4和1，

∴AC=4，BD=1，

作BE⊥AC，垂足为E，

∵AB与α所成的角为60°

∴∠ABE=60°

∵AE=3

∴AB=2$\sqrt {3}$

故答案为：B．

点评：

本题考查线面角，考查空间距离，考查学生的计算能力，属于中档题．

16单选题

A、B两点相距4cm，且A、B与平面a的距离分别为3cm和1cm，则AB与平面a所成角的大小是（　　）

30°

60°

90°

30°或90°

题目答案

答案解析

分析：

先分A、B两点在平面a的同侧以及两侧两种情况分别讨论，再对每种情况进行求解即可．

解答：

解：若A、B两点在平面a的同侧，如图：AC⊥α，BD⊥α；

AB=4，AC=3，BD=1，

作BE⊥AC于E，则AE=2，

∴sin∠ABE=$\frac {AE}{AB}$=$\frac {1}{2}$⇒∠ABE=30°．

即AB与平面a所成角的大小为30°．

若A、B两点在平面a的两侧：

因为4=3+1，所以AB与平面a垂直．

即AB与平面a所成角的大小为90°

故选：D．

点评：

本题主要考察直线与平面所成的角．解决本题的关键在于要分两种情况讨论，分别求值．

17单选题

把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　）

90°

60°

45°

30°

题目答案

答案解析

分析：

欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，计算可得答案．

解答：

解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大

取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，

故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE

cos∠DBE=$\frac {BE}{BD}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

∴∠DBE=45°．

故选C．

点评：

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

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《直线与平面的夹角》直线与平面的夹角

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