《直线的斜率和倾斜角》直线的斜率和倾斜角

1单选题

一条直线经过两点A(1，0)，B(0，1)，它的倾斜角是（　　）

$\frac {π}{6}$

$\frac {π}{4}$

$\frac {3π}{4}$

$\frac {5π}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

由两点求斜率公式求得过AB的直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率得答案．

解答：

解：∵两点A(1，0)，B(0，1)，

∴k_AB=$\frac {1-0}{0-1}$=-1，

∴经过两点A(1，0)，B(0，1)的直线的倾斜角为$\frac {3π}{4}$．

故选：C．

点评：

本题考查了由两点求直线的斜率公式，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．

2填空题

过点P(2，3)与Q(1，5)的直线PQ的倾斜角的正切值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

-2

答案解析

分析：

由经过两点直线的斜率公式，得PQ的斜率为-2，再根据斜率k与倾斜角α的关系，得tanα=-2．

解答：

解：∵点P坐标为(2，3)，点Q坐标为(1，5)

∴直线PQ的斜率为k=$\frac {5-3}{1-2}$=-2

设直线的倾斜角为α，则tanα=-2

故答案为：-2

点评：

本题给出直角坐标系中两个定点，求它们确定直线的倾斜角．着重考查了直线的斜率公式和斜率与倾斜角的关系等知识，属于基础题．

3单选题

设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交则l的斜率k的取值范围（　　）

k≥$\frac {3}{4}$或k≤-4

$\frac {3}{4}$≤k≤4

-4≤k≤$\frac {3}{4}$

k≥4或k≤-$\frac {3}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，用直线的斜率公式求出k_PB 和k_PA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：

解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，

即 k≥$\frac {1+2}{1+3}$=$\frac {3}{4}$或 k≤$\frac {1+3}{1-2}$=-4，∴k≥$\frac {3}{4}$或k≤-4，

即直线的斜率的取值范围是k≥$\frac {3}{4}$或k≤-4．

故选A．

点评：

本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用了数形结合的思想，解题过程较为直观，本题类似的题目比较多．可以移动一个点的坐标，变式出其它的题目．

4填空题

如果A(3，1)，B(-2，k)，C(8，11)三点在同一条直线上，那么k的值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

-9

答案解析

分析：

利用斜率公式以及AB和 AC的斜率相等，解方程求出k的值．

解答：

解：∵A(3，1)，B(-2，k)，C(8，11)三点在同一条直线上，

∴AB和 AC的斜率相等，

∴$\frac {k-1}{-2-3}$=$\frac {11-1}{8-3}$，∴k=-9，

故答案为-9．

点评：

本题考查三点共线的性质以及斜率公式的应用，判断AB和 AC的斜率相等是解题的关键．

5单选题

已知A(2，-3)，B (-3，-2)，直线l过定点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　　）

-4≤k≤$\frac {3}{4}$

$\frac {3}{4}$≤k≤4

k≤-4或k≥$\frac {3}{4}$

以上都不对

题目答案

答案解析

分析：

画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，用直线的斜率公式求出k_PB 和k_PA 的值，

解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：

解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，

即 k≥$\frac {1+2}{1+3}$=$\frac {3}{4}$或 k≤$\frac {1+3}{1-2}$=-4，

∴k≥$\frac {3}{4}$或k≤-4，

故选：C．

点评：

本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．

6填空题

已知直线l的斜率为-$\sqrt {3}$，则其倾斜角为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$

答案解析

分析：

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由特殊角的三角函数值及倾斜角的范围即可得到倾斜角的度数．

解答：

解：设直线的倾斜角为α，由直线的斜率为-$\sqrt {3}$，

得到：tanα=-$\sqrt {3}$，又α∈(0，180°)，

所以α=120°．即α=$\frac {2}{3}$π

故答案为：$\frac {2}{3}$π

点评：

此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．

7单选题

若直线l经过两点(-1，2)，(-3，4)，则直线l的倾斜角为（　　）

$\frac {1}{4}$π

$\frac {1}{3}$π

$\frac {2}{3}$π

$\frac {3}{4}$π

题目答案

答案解析

分析：

利用直线的斜率公式求出直线l的斜率等于 $\frac {4-2}{-3+1}$=-1，根据tanθ=-1，且 θ∈[0，π)，求出倾斜角θ的值．

解答：

解：直线l经过两点(-1，2)，(-3，4)，则直线l的斜率等于 $\frac {4-2}{-3+1}$=-1，

设直线l的倾斜角为θ，则有tanθ=-1，且 θ∈[0，π)，

∴θ=$\frac {3π}{4}$，

故选D．

点评：

本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，求出斜率的值是解题的关键．

8单选题

已知点M(1，2)，N(1，1)，则直线MN的倾斜角是（　　）

90°

45°

135°

不存在

题目答案

答案解析

分析：

由点M和点N的坐标可得直线MN的斜率不存在，故直线MN的倾斜角是90°．

解答：

解：∵点M(1，2)，N(1，1)，则直线MN的斜率不存在，故直线MN的倾斜角是90°，

故选A．

点评：

本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．

9单选题

已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )

k≤$\frac {3}{4}$或k≥2

$\frac {3}{4}$≤k≤2

-2≤k≤$\frac {3}{4}$

k≥2或k≤-$\frac {3}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，用直线的斜率公式求出k_PB 和k_PA 的值，求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：

解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥k_PB 或 k≤k_PA，

即 k≥$\frac {1+2}{1+3}$=$\frac {3}{4}$，或 k≤$\frac {1-3}{1-2}$=2，∴k≤$\frac {3}{4}$，或k≥2，

即直线的斜率的取值范围是k≤$\frac {3}{4}$，或k≥2．

故答案为：k≤$\frac {3}{4}$，或k≥2，所以选A．

点评：

10单选题

直线L经过两点A(-1，3)，B(2，6)，则直线L的斜率是（　　）

K_AB=1

K_AB=-1

K_AB=$\frac {1}{2}$

K_AB不存在

题目答案

答案解析

分析：

直接利用斜率公式求出直线的斜率即可．

解答：

解：直线L经过两点A(-1，3)，B(2，6)，则直线L的斜率是：K_AB=$\frac {6-3}{2-(-1)}$=1．

故选A．

点评：

本题考查直线的斜率公式的应用，考查计算能力．

11单选题

若A(0，2)，B(-2，1)，C(6，a)三点在同一条直线上，则a的值为（　　）

-2

-5

题目答案

答案解析

分析：

设直线的解析式是y=kx+b，把A(0，2)，B(-2，1)代入得到方程组，求出方程组的解即可得出直线的解析式，把C的坐标代入即可求出答案．

解答：

解：设直线的解析式是y=kx+b．

把A(0，2)，B(-2，1)代入得：$\left\{\begin{matrix}2=b \ 1=-2k+b \ \end{matrix}\right.$，

解得：k=$\frac {1}{2}$，b=2，

∴y=$\frac {1}{2}$x+2，

把C(6，a)代入得：a=5，

故选D．

点评：

本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能求出直线的解析式是解此题的关键．

12填空题

已知A(m，-4)，B(-1，0)，C(0，-2)三点在同一条直线上，则m的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

设这条直线解析式为y=kx+b，先把B点和C点坐标代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b的值，得到直线解析式为y=-2x-2，然后把A(m，-4)代入此解析式得到m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．

解答：

解：设这条直线解析式为y=kx+b，

把B(-1，0)，C(0，-2)代入得$\left\{\begin{matrix}-a+b=0 \ b=-2 \ \end{matrix}\right.$，解得$\left\{\begin{matrix}a=-2 \ b=-2 \ \end{matrix}\right.$，

所以直线解析式为y=-2x-2，

把A(m，-4)代入y=-2x-2得-2m-2=-4，

所以m=1．

故答案为1．

点评：

本题考查了待定系数法求一次函数解析式：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．

13单选题

若A(2，3)、B(m，-1)、C(3，4)三点在同一条直线上，则m=（　　）

-1

-2

题目答案

答案解析

分析：

因为直线，所以可设解析式为y=kx+b，根据过A，C点，确定k和b的值，然后可求出m的值．

解答：

解：设解析式为y=kx+b，过A(2，3)、C(3，4)

∴$\left\{\begin{matrix}2k+b=3 \ 3k+b=4 \ \end{matrix}\right.$

解得：k=1 b=1

∴y=x+1，

∵B(m，-1)，

∴-1=m+1，

m=-2

故选：D．

点评：

本题考查待定系数法求一次函数解析式，关键设出函数式，代入已知点求出k和b的值，然后知道变量，可求函数的值．

14单选题

平面上有相异两点A($\sqrt {2}$cosθ，sin_θ)，B(0，1)，则经过A，B两点的直线倾斜角的取值范围为( )

[0，arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，π)

[0，arctan$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，π)

[0，arctan$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，π)

[0，arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，π)

题目答案

答案解析

分析：

由两点坐标求出直线的斜率，结合直线的斜率是倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．

解答：

解：∵A($\sqrt {2}$cosθ，sin_θ)，B(0，1)，

∴k_AB=$\frac {1-sin_θ}{$\sqrt {2}$cosθ}$=$\frac {cos_θ}{$\sqrt {2}$cosθ}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$cosθ．

∴-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$≤k_AB≤$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

设经过A，B两点的直线倾斜角为θ(0≤θ＜π)，

则-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$≤tanθ≤$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，∴θ∈[0，arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，π)．

故答案为：[0，arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$]∪[π-arctan$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，π)，所以选A．

点评：

本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．

15单选题

已知点A(-2，4)，B(4，2)，直线l过点P(0，-2)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )

k≤-3或k≥1

k≤-1或k≥3

-1≤k≤3

-3≤k≤1

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，画出图形，结合图形，求出直线AP、BP的斜率，从而求出直线l的斜率k的取值范围．

解答：

点评：

本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目．

16单选题

已知点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，-1)的直线L与线段AB有公共点，则直线L的斜率k的取值范围是( )

k≤-3或k≥1

k≤-1或k≥3

-1≤k≤3

-3≤k≤1

题目答案

答案解析

分析：

根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．

解答：

点评：

本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．

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