《巧用对称性求参数值》巧用对称性求参数值 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《巧用对称性求参数值》巧用对称性求参数值

1单选题

在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y=e_的图象关于直线y=x对称．而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)=-1，则m的值是（　　）

A
-e
B
-$\frac {1}{e}$
C
e
D
$\frac {1}{e}$

题目答案

B

答案解析

分析：

由函数y=g(x)的图象与y=e_的图象关于直线y=x对称，则y=g(x)的图象与y=e_互为反函数，易得y=g(x)的解析式，再由函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f(x)的解析式，由函数y=f(x)的解析式构造方程f(m)=-1，解方程即可求得m的值．

解答：

解：∵函数y=g(x)的图象与y=e_的图象关于直线y=x对称

∴函数y=g(x)与y=e_互为反函数

则g(x)=lnx，

又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称

∴f(x)=ln(-x)，

又∵f(m)=-1

∴ln(-m)=-1，

m=-$\frac {1}{e}$

故选B．

点评：

互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f(x)的图象上有(a，b)点，则(b，a)点一定在其反函数的图象上；

如果两个函数图象关于 X轴对称，有f(x)的图象上有(a，b)点，则(a，-b)点一定在函数g(x)的图象上；

如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f(x)的图象上有(a，b)点，则(-a，b)点一定在函数g(x)的图象上；

如果两个函数图象关于原点对称，有f(x)的图象上有(a，b)点，则(-a，-b)点一定在函数g(x)的图象上．

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2填空题

设函数y=f(x)存在反函数y=f_(x)且函数y=x-f(x)的图象过点(1，2)，则函数y=f_(x)-x的图象一定过点(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

-12

答案解析

分析：

本题考查反函数的概念，互为反函数的函数图象的关系及灵活运用解析式的变化等相关知识点；

依题意首先由函数y=x-f(x)的图象过点(1，2)，可以得到f(1)的值，然后以反函数为桥梁得解．

解答：

解析：由函数y=x-f(x)的图象过点(1，2)得：f(1)=-1，

即函数y=f(x)过点(1，-1)，

则其反函数过点(-1，1)，

所以函数y=f_(x)-x的图象一定过点(-1，2)．

点评：

本题有一定的综合性，求解过程展示了知识运用的灵活性，解题中以反函数为桥梁，沟通了两个函数y=x-f(x)和y=f_(x)-x之间的联系，通过点的坐标的代入而得，求解巧妙，水到渠成．

纠错重做

3单选题

若函数y=f(x)的反函数图象过点(1，5)，则函数y=f(x)的图象必过点（　　）

A
(1，1)
B
(1，5)
C
(5，1)
D
(5，5)

题目答案

C

答案解析

分析：

原函数与反函数的图象关于y=x对称，直接求出(1，5)的对称点，就是函数y=f(x)的图象必过点．

解答：

解：根据反函数定义知反函数图象过(1，5)，

原函数与反函数的图象关于y=x对称，

(1，5)的对称点为(5，1)，

就是说原函数图象过点(5，1)，

故选C

点评：

本题考查反函数与原函数图象的关系，是基础题．

纠错重做

4填空题

已知函数y=f(x)存在反函数y=f_(x)，若函数y=f(1+x)的图象经过点(3，1)，则函数y=f_(x)的图象必经过点(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

14

答案解析

分析：

欲求函数y=f_(x)的图象必经过哪一个点，根据互为反函数图象的对称性知，可先求函数y=f(x)的图象必经过哪一个点，由已知函数y=f(1+x)的图象经过点(3，1)，可知函数y=f(x)的图象经过点(4，1)，它反函数图象过(1，4)，从而解决问题．

解答：

解析：若函数y=f(1+x)的图象经过点(3，1)，

则有1=f(3+1)⇒f(4)=1⇒f_(1)=4．

所以函数y=f_(x)的图象必经过点(1，4)．

故答案为：(1，4)．

点评：

本题考查反函数的图象的对称性，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．

纠错重做

5单选题

函数y=f(x)的反函数y=f_(x)的图象与y轴交于点P(0，2)(如图所示)，则方程f(x)=0在[1，4]上的根是x=(　　)

A
4
B
3
C
2
D
1

题目答案

C

答案解析

分析：

根据原函数和反函数的图象关于y=x对称，由题知，反函数的图象与y轴的交点，进而可知原函数的图象与x轴的交点，继而得到方程的根．

解答：

解：∵函数y=f(x)的反函数y=f_(x)的图象与y轴交于点P(0，2)，

∵原函数和反函数的图象关于y=x对称，

∴原函数的图象与x轴的交点为(2，0)，

∴f(x)=0的根是x=2，

故选C．

点评：

本题主要考查反函数的知识点，根据原函数与反函数关于y=x对称，知道反函数与y轴的交点，则就知道原函数与x轴的交点，进而得到方程的解，反函数考点是高考的常考点，希望同学们熟练掌握．

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6单选题

设函数f(x)=log_a(x+b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则a+b等于（　　）

A
6
B
5
C
4
D
3

题目答案

C

答案解析

分析：

本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系、指数式和对数式的互化等函数知识；

根据反函数的图象过点(2，8)，则原函数的图象过(8，2)点，再由函数f(x)=log_a(x+b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2，1)，构建方程即可求得a，b的值．

解答：

解：函数f(x)=log_a(x+b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，

则$\left\{\begin{matrix}log_a(2+b)=1 \ log_a(8+b)=2 \ \end{matrix}\right.$，

∴$\left\{\begin{matrix}2+b=a \ 8+b=a_ \ \end{matrix}\right.$，a=3或a=-2(舍)，b=1，

∴a+b=4，

故选C．

点评：

本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷．这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便得多，值得借鉴．

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7单选题

设函数f(x)=log_a(x+b)(a＞0，a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数过点(1，2)，则a+b等于（　　）

A
3
B
4
C
5
D
6

题目答案

B

答案解析

分析：

根据函数f(x)的图象过点(0，0)，求得 b=1，可得 f(x)=log_a(x+1)．再根据原函数f(x)的图象经过点(2，1)，求得a的值，从而求得a+b的值．

解答：

解：根据函数f(x)=log_a(x+b)(a＞0，a≠1)的图象过点(0，0)，

可得log_a(0+b)=0，∴b=1，f(x)=log_a(x+1)．

再根据其反函数过点(1，2)，可得原函数f(x)的图象经过点(2，1)，

∴log_a(2+1)=1，

∴a=3，∴a+b=4，

故选B．

点评：

本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，反函数的定义和性质，属于中档题．

纠错重做

8填空题

设函数f(x)的反函数是f_(x)，且y=f_(-x+2)过(-1，2)，则过y=f(x-1)过定点(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

33

答案解析

分析：

由题意求出f_(-x)经过的点，推出f_(x)经过的点，利用反函数求出f(x)经过的点，然后求出y=f(x-1)过定点．

解答：

解：因为函数y=f_(-x+2)过(-1，2)，所以函数y=f_(-x)过(-3，2)点，

所以y=f_(x)过(3，2)，所以y=f(x)过(2，3)点，所以y=f(x-1)过定点(3，3)．

故答案为：(3，3)．

点评：

本题主要考查函数与反函数的性质，以及函数图象的变换，是函数性质涉及知识点比较多的一道题综合性较强，学习时要注意体会这几个知识点的运用策略．

纠错重做

9填空题

已知函数f(x)=a•2_+b的图象经过点(1，2)，其反函数的图象经过点(6，2)，则a+b=．

填空题答案仅供参考

题目答案

0

答案解析

分析：

根据指数函数的性质以及反函数的关系建立方程关系即可得到结论．

解答：

解：∵函数f(x)的反函数的图象经过点(6，2)，

∴函数f(x)的图象过点(2，6)，

即f(2)=6，则4a+b=6，①

∵函数f(x)=a•2_+b的图象经过点(1，2)，

∴f(1)=2，则2a+b=2，②

由①②得a=2，b=-2，

则a+b=2-2=0，

故答案为：0．

点评：

本题主要考查指数函数的图象和性质，利用反函数的性质求出函数f(x)过点(2，6)是解决本题的关键．

纠错重做

10填空题

函数y=a_的反函数的图象过点(8，3)，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

利用函数y=a_的反函数的图象经过点(8，3)，可知点(3，8)在函数y=a_的图象上，由此代入数值即可求得．

解答：

解：依题意，点(8，3)在函数y=a_的反函数的图象上，

则点(3，8)在函数y=a_的图象上

将x=3，y=8，代入y=a_中，

得8=a_

解得a=2

故答案为：2．

点评：

本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷．

纠错重做

11填空题

设a＞0且a≠1，若f(x)=a_的反函数的图象经过点P($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，-$\frac {1}{4}$)，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

4

答案解析

分析：

本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，利用函数f(x)=a_的反函数的图象经过点P($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，-$\frac {1}{4}$)可知点(-$\frac {1}{4}$，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)在函数f(x)=a_的图象上，由此代入数值即可求得．

解答：

解：依题意，点P($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，-$\frac {1}{4}$)在函数f(x)=a_的反函数的图象上，

则点(-$\frac {1}{4}$，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)在函数f(x)=a_的图象上

将x=-$\frac {1}{4}$，y=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，代入y=a_中，解得a=4

故答案为：4

点评：

本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．

纠错重做