《平行垂直的综合判断》平行垂直的综合判断

1单选题

对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中，可以判定α与β平行的条件有（　　）

1个

2个

3个

4个

题目答案

答案解析

分析：

直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项进行逐一判断，确定正确选项即可．

解答：

解：①α与β平行．此时能够判断①存在平面γ，使得α，β都平行于γ；两个平面平行，所以正确．②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α与β平行，如正方体的底面与相对的侧面．也可能α与β不平行．②不正确．③不能判定α与β平行．如α面内不共线的三点不在β面的同一侧时，此时α与β相交；④可以判定α与β平行．∵可在α面内作l′∥l，m′∥m，则l′与m′必相交．又∵l∥β，m∥β，∴l′∥β，m′∥β，∴α∥β．故选B．

点评：

本题考查平面与平面平行的判定与性质，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．

2单选题

用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（　　）

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥y，b∥y，则a∥b；

④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．

①②

②③

①④

③④

题目答案

答案解析

分析：

判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．

解答：

解：根据平行直线的传递性可知①正确；

在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；

③中a、b还可以相交；

④是真命题，

故答案应选：C

点评：

在判断空间线面的关系，常常把它们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．

3单选题

平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（　　）

一条直线

一个圆

一个椭圆

双曲线的一支

题目答案

答案解析

分析：

由过定点A的动直线l与AB垂直，考虑l确定的面β与AB的垂直，则直线l交α于点C转化为β与α相交于一条直线，则问题解决．

解答：

解：如图，设l与l′是其中的两条任意的直线，

则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB⊥β，

由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，

故动点C都在平面β与平面α的交线上，

故选A．

点评：

本题考查线面垂直的判定、面面的相交，同时考查空间想象能力．

4单选题

给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行．

②垂直于同一平面的两个平面互相平行．

③若直线l$_1$，l$_2$与同一平面所成的角相等，则l$_1$，l$_2$互相平行．

④若直线l$_1$，l$_2$是异面直线，则与l$_1$，l$_2$都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用线面、面面垂直和平行的定理判断①、②，线面角判断③，异面直线的定义判断④；可结合长方体中线面举反例．

解答：

解：①垂直于同一直线的两条直线可能是异面直线，如长方体中三条相连的棱；

②还可能相交如长方体中的一角； ③l$_1$，l$_2$可能相交如正三棱锥的侧棱与底面所成的角相等；

④不正确，可能相交直线，如过l$_2$上一点作两条与l$_1$相交的直线；

故选D．

点评：

本题考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊几何体举反例证的能力．

5单选题

已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；

②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；

③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；

④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β

其中真命题是（　　）

①和②

①和③

③和④

①和④

题目答案

答案解析

分析：

要求解本题，需要寻找特例，进行排除即可．

解答：

解：①因为α、β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β；

②若α⊥γ，β⊥α，α、β、γ是三个两两不重合的平面，可知α不一定平行β；

③m∥α，n∥β，m∥n，α，β可能相交，不一定平行；

④因为m，n两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，可知α、β只能满足垂直关系．

故选D．

点评：

本题考查学生的空间想象能力，是基础题．

6单选题

给岀四个命题：(1)若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等；(2)α，β 为两个不同平面，直线a⊂α，直线b⊂α，且a∥β，b∥β，则α∥β；(3)α，β 为两个不同平面，直线m⊥α，m⊥β 则α∥β；(4)α，β 为两个不同平面，直线m∥α，m∥β，则α∥β．其中正确的是（　　）

(1)

(2)

(3)

(4)

题目答案

答案解析

分析：

(1)分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补；(3)由线面垂直的性质可知，两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行；(2)(4)列举所有情况即可得出结论．

解答：

解：(1)如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°，∴这两个角相等或互补，故(1)不正确．(2)α，β 为两个不同平面，直线a⊂α，直线b⊂α，且a∥β，b∥β，a，b相交时，α∥β，故(2)不正确；(3)由线面垂直的性质可知，两个不同平面分别垂直于同一条直线，则这两个平面相互平行，即α∥β，正确；(4)α，β 为两个不同平面，直线m∥α，m∥β，则α∥β，也有可能α∩β=m，故不正确．故选：C．

点评：

本题主要考查了线面垂直与线面平行的判定定理与性质定理的应用，解题的关键是熟练掌握基本定理．

7单选题

设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面α、β，b⊂α，c⊄α．则下列命题不成立的是（　　）

若α∥β，c⊥α，则c⊥β

“若b⊥β，则α⊥β”的逆命题

若a是c在α的射影，b⊂α且b⊥a则c⊥b

“若b∥c，则c∥α”的逆否命题

题目答案

答案解析

分析：

用空间中线面的位置关系对四个选项逐一判断得出正确选项，A选项用线面垂直证明；B选项用线面垂直证明；C选项用线线垂直的条件来证；D选项用线线平行的条件来证．

解答：

解：A选项中命题正确，因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个；B选项不正确，因为两面垂直与线面垂直没有关系；C选项中命题成立D选项中，这个命题正确，则它的逆否命题正确，故选B．

点评：

本题考查四种命题之间的关系，这种题目需要挨个判断说法是否正确，注意在判断时不要忽略几个特殊情况．

8单选题

直线a、b为两异面直线，下列结论正确的是（　　）

过不在a、b上的任何一点，可作一个平面与a、b都平行

过不在a、b上的任一点，可作一直线与a、b都相交

过不在a、b上任一点，可作一直线与a、b都平行

过a可以并且只可以作一个平面与b平行

题目答案

答案解析

分析：

若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，可得a⊂β，可判断A的真假；

结合空间中直线关系的定义及几何特征，可判断B的真假；

依据平行公理，即可判断C的真假；

由公理2及其推论，我们可以判断D的真假．

解答：

解：A中：若此点与直线a确定一平面β恰好与直线b平行，此时直线a在已知平面上，并非与已知平面平行，故A错误；

B中：由①可得，当此点在β平面上时，结论B不成立；

C中：若存在这样的直线l，则l∥a，l∥b，有平行公理知，必有a∥b，与已知矛盾，故C错误；

D中：在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故D正确；

故答案为 D

点评：

本题考查的知识点是平面的基本性质及推论，熟练掌握空间直线与直线，直线与平面位置关系的定义和几何特征是解答本题的关键．

9单选题

若A、b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是（　　）

a∥β，α⊥β

a⊂β，α⊥β

a⊥b，b∥α

a⊥β，α∥β

题目答案

答案解析

分析：

选项A，可推出a与α平行，相交，或在平面内；选项B，可推出a与α平行，相交；选项C，可推出a与α平行，相交，故不能推出a⊥α；选项D，根据面面平行的性质进行判定可推出a⊥α，根据充要条件的判定进行判定即可．

解答：

解：选项A，a∥β，α⊥β则a与α平行，相交，或在平面内，故不能推出a⊥α；

选项B，a⊂β，α⊥β则a与α平行，相交，故不能推出a⊥α；

选项C，a⊥b，b∥α则a与α平行，相交，故不能推出a⊥α；

选项D，a⊥β，α∥β则根据面面平行的性质进行判定，故能推出a⊥α；

只有选项D，a⊥β，α∥β⇒a⊥α．

故选D

点评：

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．

读趣百科

《平行垂直的综合判断》平行垂直的综合判断

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3单选题

题目答案

您的答案

答案解析

4单选题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8单选题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析