《抛物线与圆综合》抛物线与圆综合 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《抛物线与圆综合》抛物线与圆综合

1单选题

设M(x_0，y_0)为抛物线C：x_=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y_0的取值范围是（　　）

A
(0，2)
B
[0，2]
C
(2，+∞)
D
[2，+∞)

题目答案

C

答案解析

分析：

由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|可由y_0表达，由此可求y_0的取值范围

解答：

解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|=y_0+2＞4，所以y_0＞2

故选C

点评：

本题考查直线和圆的位置关系、抛物线的定义的运用．抛物线上的点到焦点的距离往往转化为到准线的距离处理．

纠错重做

2填空题

已知圆x+y-6x-7=0与抛物线y_=2px (p＞0)的准线相切，则p=．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

求出准线方程，圆心和半径，利用圆心到准线的距离等于半径求出p．

解答：

解：抛物线y_=2px (p＞0)的准线为 x=-$\frac {p}{2}$，圆x+y-6x-7=0，即(x-3)_+y_=16，

表示以(3，0)为圆心，半径等于4的圆．

由题意得 3+$\frac {p}{2}$=4，∴p=2，

故答案为2．

点评：

本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，利用圆心到准线的距离等于半径是解题的关键．

纠错重做

3单选题

圆心在抛物线x_=4y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为(      )

A
(x±2)_+(y+1)_=4
B
(x±2)_+(y-1)_=4
C
(x±2)_+(y-1)_=5
D
(x±2)_+(y+1)_=5

题目答案

B

答案解析

分析：

根据题意设出圆的方程，根据圆与准线方程与y轴相切建立等式求得t，则圆的方程可得．

解答：

解：设圆的方程为(x-t)_+(y-$\frac {t}{4}$)_=t_，

抛物线方程为x_=4y，

∴准线方程为y=-1，

∵圆与抛物线的准线相切，

故圆心到准线的距离与半径相等，故|1+$\frac {t}{4}$|=|t|，求得t=±2，

∴圆的方程为(x±2)_+(y-1)_=4．

故答案为：(x±2)_+(y-1)_=4，选B．

点评：

本题主要考查了圆的标准方程，抛物线的简单性质．在解决圆的标准方程问题时，常采用待定系数法．

纠错重做

4单选题

顶点在原点，经过圆C：x+y-2x+2$\sqrt {2}$y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为(        )

A
y_=6x
B
y_=2x
C
x_=2y
D
x_=6y

题目答案

B

答案解析

分析：

设出抛物线方程，利用经过点(2，2)，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．

解答：

解：因为圆C：x+y-2x+2$\sqrt {2}$y=0的圆心是(1，-$\sqrt {2}$)

抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，-$\sqrt {2}$)，

设标准方程为y_=2px，

因为点(1，-$\sqrt {2}$)在抛物线上，所以(-$\sqrt {2}$)_=2p，

所以p=1，

所以所求抛物线方程为：y_=2x．

故答案为：y_=2x，所以选B．

点评：

本题是基础题，考查抛物线的标准方程的求法，注意标准方程的形式，是易错题，考查计算能力．

纠错重做

5单选题

若圆C的圆心为抛物线y_=4x的焦点且与直线3x+4y+2=0相切，则圆C的方程（　　）

A
(x-1)_+y_=$\frac {64}{25}$
B
x+(y-1)_=$\frac {64}{25}$
C
(x-1)_+y_=1
D
x+(y-1)_=1

题目答案

C

答案解析

分析：

由题意可得抛物线的焦点坐标，可得圆心，再由点到直线的距离公式可得圆C的半径，可得其标准方程．

解答：

解：由题意可得抛物线y_=4x的焦点为(1，0)

故所求圆C的圆心C的坐标为(1，0)

∴圆C的半径r=$\frac {|3×1+4×0+2|}{$\sqrt {}$}$=1，

∴圆C的方程为：(x-1)_+y_=1

故选：C

点评：

本题考查抛物线的性质和圆的标准方程，属基础题．

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6单选题

以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（　　）

A

y=3x2或y=-3x2

B

y=3x2

C

y2=-9x或y=3x2

D

y=-3x2或y2=9x

题目答案

D

答案解析

分析：

首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为(1，-3)；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程

解答：

解：根据题意知，圆心为(1，-3)，(1)设x2=2py，p=-$\frac {1}{6}$，x2=-$\frac {1}{3}$y；(2)设y2=2px，p=$\frac {9}{2}$，y2=9x故选D．

点评：

本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题．

纠错重做

7填空题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x_=-2py(p＞0)的焦点F，点M(p，y_M)∈C，若M为圆心的圆与曲线C的准线相切，圆面积为36π，则p=．

填空题答案仅供参考

题目答案

6

答案解析

分析：

求出圆的半径，M为圆心的圆与曲线C的准线相切，可得M到准线的距离为6，再结合M(p，y_M)∈C，即可求出p的值．

解答：

解：∵圆面积为36π，

∴圆的半径为6，

∵M为圆心的圆与曲线C的准线相切，

∴M到准线的距离为6，

∴$\frac {p}{2}$-y_M=6，

∵M(p，y_M)∈C，

∴y_M=-$\frac {p}{2}$，

∴p=6，

故答案为：6．

点评：

本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

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8填空题

已知动圆圆心在抛物线y_=4x上，且动圆恒与直线x=-1相切，则此动圆必过定点(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

10

答案解析

分析：

首先由抛物线的方程可得直线x=-1即为抛物线的准线方程，再结合抛物线的定义得到动圆一定过抛物线的焦点，进而得到答案．

解答：

解：设动圆的圆心到直线x=-1的距离为r，

因为动圆圆心在抛物线y_=4x上，且抛物线的准线方程为x=-1，

所以动圆圆心到直线x=-1的距离与到焦点(1，0)的距离相等，

所以点(1，0)一定在动圆上，即动圆必过定点(1，0)．

故答案为：(1，0)．

点评：

解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及抛物线的有关性质与圆的定义，此题属于基础题．

纠错重做

9单选题

设M(x_0，y_0)为抛物线C：y=$\frac {1}{8}$x_上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y_0的取值范围是（　　）

A
(2，+∞)
B
[0，2]
C
(0，$\frac {1}{32}$)
D
($\frac {1}{32}$，+∞)

题目答案

A

答案解析

分析：

由抛物线C：y=$\frac {1}{8}$x_，可得焦点F(0，2)，焦点F到准线l：y=-2的距离为4．由抛物线的定义可得|FM|=y_0+2．于是以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交的充要条件为|FM|＞4．

解答：

解：由抛物线C：y=$\frac {1}{8}$x_，可得焦点F(0，2)，

焦点F到准线l：y=-2的距离为4．

∵M(x_0，y_0)为抛物线C：y=$\frac {1}{8}$x_上一点，

∴|FM|=y_0+2．

∵以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，

∴y_0+2＞4，

解得y_0＞2．

故选：A．

点评：

本题考查了抛物线的标准方程及其性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

纠错重做

10单选题

设M(x_0，y_0)为抛物线C：x_=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y_0的取值范围是(       )

A
(-1，+∞)
B
(2，+∞)
C
(-2，+∞)
D
(1，+∞)

题目答案

B

答案解析

分析：

设F到准线的距离d$_1$，M(x_0，y_0)到准线的距离d$_2$，依题意，d$_1$=4，d$_2$=y_0+2，且d$_2$＞d$_1$，从而可得答案．

解答：

解：∵抛物线C：x_=8y的焦点F(0，2)，准线方程为：y=-2，

设F到准线的距离d$_1$，M(x_0，y_0)到准线的距离d$_2$，



则d$_1$=4，d$_2$=y_0+2=|FM|(抛物线定义)，

依题意得：|FM|＞d$_1$=4，

即y_0+2＞4，

解得：y_0＞2．

∴y_0的取值范围是(2，+∞)．

故答案为：(2，+∞)，选B．

点评：

本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线定义的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．

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