《棱柱中的截面问题》棱柱中的截面问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《棱柱中的截面问题》棱柱中的截面问题

1填空题

空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，BE为长方体的一边．已知cot∠AEB=$\frac {2$\sqrt {6}$}{5}$，则cot∠CED=

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {7}{5}$

答案解析

分析：

如图，先根据图形得到，∠ABE=∠DCE=90°，再在直角三角形中利用边角关系得到AB=BC=CD=DA=a，BE=acot∠AEB，通过解直角形即可求得cot∠CED的值．

解答：

解：如图，∠ABE=∠DCE=90°

设AB=BC=CD=DA=a cot∠AEB=$\frac {2$\sqrt {6}$}{5}$⇒$\frac {BE}{a}$=$\frac {2$\sqrt {6}$}{5}$

⇒BE=$\frac {2$\sqrt {6}$}{5}$a

CE=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {7}{5}$a

故cot∠CED=$\frac {CE}{CD}$=$\frac {$\frac {7}{5}$a}{a}$=$\frac {7}{5}$

故答案为：$\frac {7}{5}$

点评：

本题主要考查了棱柱的结构特征，解答的关键是利用直角三角形的边角之间的关系求解．

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2单选题

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为(      )

A
2$\sqrt {2}$
B
2
C
2$\sqrt {3}$
D
3$\sqrt {2}$

题目答案

C

答案解析

分析：

由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别放在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．

解答：

解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，

已知正三棱柱的底面边长为AB=2，

则该三角形的斜边EF上的中线DG=$\sqrt {3}$，

∴斜边EF的长为2$\sqrt {3}$．

故答案为：2$\sqrt {3}$，选C．

点评：

本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．

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3单选题

如图，正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的各棱长都2，E，F分别是AB，A$_1$C$_1$的中点，则EF的长是(　　)

A
2
B
$\sqrt {3}$
C
$\sqrt {5}$
D
$\sqrt {7}$

题目答案

C

答案解析

分析：

要求EF的长度，可以利用正三棱柱的侧面与底面垂直的关系，连接AC的中点G与F、E；也可以作FG⊥AC于G，连接EG，在△EFG中求解EF即可．

解答：

解：如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，FG∥C$_1$C

C$_1$C⊥底面ABC，则C$_1$C⊥EG，所以 FG⊥EG；

则易得：FG=2，EG=1，故EF=$\sqrt {5}$，

故选C．

点评：

本题考查学生对棱柱的结构的认识，以及学生的综合能力，是基础题．

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4单选题

如图，E为正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的棱AA$_1$的中点，F为棱AB上一点，∠C$_1$EF=90°，则

AF：FB=(　　)

A
1：1
B
1：2
C
1：3
D
1：4

题目答案

C

答案解析

分析：

设出正方体的棱长，求出C$_1$E，利用∠C$_1$EF=90°，通过C$_1$F求出x的值，即可得到结果．

解答：

解：设正方体的棱长为：2，由题意可知C$_1$E=$\sqrt {}$=3，

∠C$_1$EF=90°，所以设AF=x，1_+x+C$_1$E_=2_+2_+(2-x)_

解得：x=$\frac {1}{2}$，所以AF：FB=$\frac {1}{2}$：$\frac {3}{2}$=1：3；

故选C．

点评：

本题是基础题，考查正方体的边的计算，考查直角三角形的利用，长方体的性质，考查计算能力．

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