《抛物线的参数方程》抛物线的参数方程

1单选题

已知抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x-4)_+y_=r_(r＞0)相切，则r=( )

$\sqrt {3}$-1

$\sqrt {2}$

$\frac {\sqrt {55}}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x-4)_+y_=r_(r＞0)相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，解方程即可得到答案．

解答：

解：∵抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$

则抛物线的标准方程为：y_=8x

则抛物线C的焦点的坐标为(2，0)

又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点

则直线的方程为y=x-2，即x-y-2=0

由直线与圆(x-4)_+y_=r_相切，则

r=$\frac {4-2}{\sqrt {2}}=\sqrt {2}$

故答案为：C．

点评：

本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于r的方程，是解答本题的关键．

2单选题

若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线$\left\{\begin{matrix}x=4t_ \ y=4t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)上，则|PF|等于（　　）

题目答案

答案解析

分析：

欲求|PF|，根据抛物线的定义，即求P(3，m)到准线x=-1的距离，从而求得|PF|即可．

解答：

解：抛物线为y_=4x，准线为x=-1，

∴|PF|为P(3，m)到准线x=-1的距离，即为4．

故选C．

点评：

本小题主要考查抛物线的参数方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

3填空题

曲线$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt {t}+1 \ y=1-2\sqrt {t} \ \end{matrix}\right.$(t为参数)和$\left\{\begin{matrix}x=sinθ+cosθ \ y=1+sin2θ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)公共点的个数为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

消去参数t把参数方程$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt {t}+1 \ y=1-2\sqrt {t} \ \end{matrix}\right.$(t为参数)化为普通方程；再利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，把参数方程$\left\{\begin{matrix}x=sinθ+cosθ \ y=1+sin2θ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)化为普通方程，并根据三角函数的值域求得x或y的范围．最后画出图形，从而得出结论．

解答：

解：把参数方程 $\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {t}$+1 \ y=1-2$\sqrt {t}$ \ \end{matrix}\right.$(t为参数)化为普通方程得：

2x+y-3=0(x≥1)，

利用同角三角函数的基本关系，消去参数θ，

参数方程 $\left\{\begin{matrix}x=sinθ+cosθ \ y=1+sin2θ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)化为普通方程可得，

x_=y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分，

如图，它们公共点的个数为1．

故答案为：1．

点评：

本题考查把参数方程化为普通方程的方法，同角三角函数的基本关系，判断0≤y≤2是解题的易错点．

4单选题

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-\frac {\sqrt {2}}{2}t \ y=2+\frac {\sqrt {2}}{2}t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，直线l与抛物线$\left\{\begin{matrix}x=4t_ \ y=4t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)交于A，B两点，线段AB的长是( )

6$\sqrt {3}$-3

8$\sqrt {2}$

$\frac {\sqrt {3}}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

直线l和抛物线的参数方程化为普通方程，联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．

解答：

解：直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$化为普通方程为x+y=3，抛物线方程：y_=4x，

联立可得x-10x+9=0，

∴交点A(1，2)，B(9，-6)，

∴|AB|=$\sqrt {}$=8$\sqrt {2}$，所以选C．

点评：

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题

5单选题

已知曲线的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=cosθ+sinθ \\ y=sin2θ \end{matrix}\right.$(θ为参数)，则曲线的普通方程为（　　）

x²=y+1(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$)

x²=y+1(-1≤x≤1)

x²=1-y(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$)

x²=1-y(-1≤x≤1)

题目答案

答案解析

分析：

先将x=sinθ+cosθ两边平方可得x²=1+sin2θ再将y=sin2θ代入即可得解，而x=sinθ+cosθ=$\sqrt {2}$sin(θ-$\frac {π}{4}$)，故-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$．

解答：

解：先将x=sinθ+cosθ两边平方可得x²=1+sin2θ再将y=sin2θ代入可得x²=1+y

∵x=sinθ+cosθ=$\sqrt {2}$sin(θ-$\frac {π}{4}$)∴-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$，∴所求的普通方程为x²=1+y(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$)．故选：A．

点评：

本题主要考查了参数方程化成普通方程，属于中档题．解题的关键是熟记同角的三角函数的基本关系式和二倍角公式！

6填空题

直线7x+y-4=0与曲线$\left\{\begin{matrix}x=sinθ \ y=cos2θ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)的交点坐标是(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

利用二倍角的余弦函数公式消去参数θ，得到曲线方程，与直线方程联立组成方程组，求出方程组的解集即可得到两函数的交点坐标．

解答：

解：∵cos2θ=1-2sin_θ，

∴曲线方程化为y=1-2x_，与直线7x+y-4=0联立，解得：$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {1}{2}$ \ y=$\frac {1}{2}$ \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x=-3 \ y=25 \ \end{matrix}\right.$，

由-1≤sinθ≤1，故x=-3，y=25不合题意，舍去，

则直线与曲线的交点坐标为($\frac {1}{2}$，$\frac {1}{2}$)．

故答案为：($\frac {1}{2}$，$\frac {1}{2}$)

点评：

此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键．

7单选题

已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=|cos\frac {θ}{2}+sin\frac {θ}{2}| \\ y=\frac {1}{2}(1+sinθ)\end{matrix}\right.$(0＜θ＜2π)，则点M(-1，$\frac {1}{2}$)，N(1，$\frac {1}{2}$)，P(2，2)，Q($\sqrt {2}$，1)中，在曲线C上的点有（　　）

0个

1个

2个

3个

题目答案

答案解析

分析：

将参数方程的上式两边平方，应用同角三角函数的基本关系式化简，结合参数方程的第二式，得到普通方程，注意x，y的范围，即可判断M，N，P，Q是否在曲线C上．

解答：

解：曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=|cos\frac {θ}{2}+sin\frac {θ}{2}| \\ y=\frac {1}{2}(1+sinθ) \end{matrix}\right.$(0＜θ＜2π)，x²=(cos$\frac {θ}{2}$+sin$\frac {θ}{2}$)²=1+2sin$\frac {θ}{2}$cos$\frac {θ}{2}$=1+sinθ，又2y=1+sinθ，故曲线C的普通方程为x²=2y(0≤x≤$\sqrt {2}$，0≤y≤1)，故点M(-1，$\frac {1}{2}$)，N(1，$\frac {1}{2}$)，P(2，2)，Q($\sqrt {2}$，1)中N，Q在曲线上，M，P不在，故选C．

点评：

本题主要考查参数方程与普通方程的互化，注意x，y的范围，是一道基础题．

8单选题

下列哪些点既在曲线C$_1$：$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt {5}cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$(0≤θ＜π，θ为参数)又在曲线 C$_2$：$\left\{\begin{matrix}x=\frac {5}{4}t_ \ y=t \ \end{matrix}\right.$(t∈R，t为参数)上（　　）

(1，$\frac {\sqrt {5}}{5}$)

(-1，±$\frac {\sqrt {5}}{5}$)

(1，$\frac {2\sqrt {5}}{5}$)

(1，±$\frac {2\sqrt {5}}{5}$)

题目答案

答案解析

分析：

首先，将两个曲线的参数方程化为普通方程，然后，联立方程组，求解其交点即可．

解答：

解：由曲线C$_1$：$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {5}$cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$(0≤θ＜π，θ为参数)，

得：$\frac {x}{5}$+y_=1，(y∈[0，1))

由曲线 C$_2$：$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {5}{4}$t_ \ y=t \ \end{matrix}\right.$(t∈R，t为参数)，得

y_=$\frac {4}{5}$x，

联立方程组$\left\{\begin{matrix}$\frac {x}{5}$+y_=1 \ y_=$\frac {4}{5}$x \ \end{matrix}\right.$，得

x=1或x=-5(舍去)，

∴y=±$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$，

∵y∈[0，1)，

两个曲线的交点坐标为(1，$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$)，

故选：C．

点评：

本题重点考查了椭圆和抛物线的参数方程，参数方程和普通方程的互化等知识，属于中档题．

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