《半圆和直线的问题》半圆和直线的问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《半圆和直线的问题》半圆和直线的问题

1单选题

若不等式$\sqrt {}$≤k(x+1)的解集为区间[a，b]，且b-a=1，则k的值为(        )

A
$\frac {1}{2}$
B
$\frac {3}{2}$
C
$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$
D
$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

D

答案解析

分析：

画出y=$\sqrt {}$，直线y=k(x+1)的图象，可知曲线在直线下方，不等式$\sqrt {}$≤k(x+1)的解集为区间[a，b]，且b-a=1，推出直线y=k(x+1)过点(1，$\sqrt {3}$)，求出k的值．

解答：

解：由数形结合，直线y=k(x+1)恒过(-1，0)，

半圆y=$\sqrt {}$在直线y=k(x+1)之下必须x$_2$=2，x$_1$=1，

则直线y=k(x+1)过点(1，$\sqrt {3}$)，

则k=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

故答案为$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，选D．

点评：

本题考查无理不等式的解法，考查数形结合的思想，是中档题．

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2单选题

若不等式$\sqrt {}$≤k(x+2)-$\sqrt {2}$的解集为区间[a，b]，且b-a=2，则k的取值为(        )

A
$\sqrt {2}$
B
8$\sqrt {2}$
C
6$\sqrt {3}$
D
4$\sqrt {6}$

题目答案

A

答案解析

分析：

此不等式属根式不等式，两边平方后再解较繁，可以从数形结合寻求突破．

解答：

解：设y$_1$=$\sqrt {}$，y$_2$=k(x+2)-$\sqrt {2}$，

则在同一直角坐标系中作出其图象草图如所示

y$_1$图象为一圆心在原点，半径为3的圆的上半部分，

y$_2$图象为过定点A(-2，-$\sqrt {2}$)的直线．

据此，原不等式解集可理解为：半圆上圆弧位于直线下方时圆弧上点的横坐标x所对应的集合．

观察图形，结合题意知b=3，

又b-a=2，所以a=1，即直线与半圆交点N的横坐标为1，

代入y$_1$=$\sqrt {}$=2$\sqrt {2}$，所以N(1，2$\sqrt {2}$)

由直线过定点A知直线斜率k=$\frac {2$\sqrt {2}$-(-$\sqrt {2}$)}{1-(-2)}$=$\sqrt {2}$．

故答案为：$\sqrt {2}$，选A．

点评：

数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是：掌握形与数的对应关系．基本思路是：①构造函数f(x)(或f(x)与g(x))，②作出f(x) (或f(x)与g(x))的图象，③找出满足题意的曲线(部分)，曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点．

纠错重做

3单选题

直线y=kx-k+1与曲线y=$\sqrt {}$恰有两个公共点，则k的取值范围（　　）

A
($\frac {1}{2}$，+∞)
B
(0，$\frac {1}{2}$]
C
(0，2]
D
k=0或k∈(-1，1]

题目答案

B

答案解析

分析：

直线y=kx-k+1过点(1，1)，曲线y=$\sqrt {}$表示一个半圆，利用特殊位置求出k，即可确定k的取值范围．

解答：

解：直线y=kx-k+1过点(1，1)，曲线y=$\sqrt {}$表示一个半圆，

k=0时，直线y=kx-k+1与曲线y=$\sqrt {}$相切；

(-1，0)代入直线y=kx-k+1，可得k=$\frac {1}{2}$，

∴直线y=kx-k+1与曲线y=$\sqrt {}$恰有两个公共点，k的取值范围是(0，$\frac {1}{2}$]．

故选：B．

点评：

本题考查了直线与圆的相交与相切的位置关系等基础知识与基本方法，考查了推理能力和计算能力．

纠错重做

4单选题

若直线y=x-m与曲线y=$\sqrt {}$有两个不同的交点，则实数m的取值范围是(        )

A
(-∞，-1)
B
(-∞，-2)
C
(-$\sqrt {2}$，-1]
D
(-$\frac {7}{6}$，$\frac {2}{3}$)

题目答案

C

答案解析

分析：

y=$\sqrt {}$表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，把斜率是1的直线平行移动，即可求得结论

解答：

解：∵y=$\sqrt {}$表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．

作出曲线y=$\sqrt {}$的图象，在同一坐标系中，再作出直线y=x-m，平移过程中，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，

直线与曲线相切时，可得，$\frac {|-m|}{$\sqrt {2}$}$=1

∴m=-$\sqrt {2}$

当直线y=x-m经过点(-1，0)时，m=-1，直线y=x+1，而该直线也经过(0，1)，即直线y=x+1与半圆有2个交点

故答案为：(-$\sqrt {2}$，-1]，选C

点评：

本题考查直线与曲线的交点问题，在同一坐标系中，分别作出函数的图象，借助于数形结合是求解的关键

纠错重做

5单选题

当曲线y=1+$\sqrt {}$与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）

A
(0，$\frac {5}{12}$)
B
($\frac {1}{3}$，$\frac {3}{4}$]
C
($\frac {5}{12}$，$\frac {3}{4}$]
D
($\frac {5}{12}$，+∞)

题目答案

C

答案解析

分析：

将曲线方程化简，可得曲线表示以C(0，1)为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A(2，4)且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(-2，1)，当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．

解答：

解：化简曲线y=1+$\sqrt {}$，得x+(y-1)_=4(y≥1)

∴曲线表示以C(0，1)为圆心，半径r=2的圆的上半圆．

∵直线kx-y-2k+4=0可化为y-4=k(x-2)，

∴直线经过定点A(2，4)且斜率为k．

又∵半圆y=1+$\sqrt {}$与直线kx-y-2k+4=0有两个相异的交点，

∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(-2，1)，

当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，

直线与半圆有两个相异的交点．

由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足$\frac {|-1-2k+4|}{$\sqrt {}$}$=2，

解之得k=$\frac {5}{12}$，即k_AD=$\frac {5}{12}$．

又∵直线AB的斜率k_AB=$\frac {4-1}{2+2}$=$\frac {3}{4}$，∴直线的斜率k的范围为k∈($\frac {5}{12}$，$\frac {3}{4}$]．

故选：C

点评：

本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．

纠错重做

6单选题

若直线l：x+y=m与曲线c：y=$\sqrt {}$有且只有两个公共点，则m的取值范围是（　　）

A
(-$\sqrt {2}$，$\sqrt {2}$)
B
[-$\sqrt {2}$，$\sqrt {2}$]
C
[1，$\sqrt {2}$)
D
(1，$\sqrt {2}$]

题目答案

C

答案解析

分析：

画出图象，当直线l经过点A，B时，求出m的值；当直线l与曲线相切时，求出m即可．

解答：

解：画出图象，当直线l经过点A，B时，m=1，此时直线l与曲线y=$\sqrt {}$有两个公共点；

当直线l与曲线相切时，m=$\sqrt {2}$．

因此当1≤m＜$\sqrt {2}$时，直线l：y=x+m与曲线y=$\sqrt {}$有两个公共点．

故选：C．

点评：

正确求出直线与圆相切时的m的值及其数形结合思想的运用等是解题的关键．

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7单选题

直线y=x+b与曲线x=$\sqrt {}$有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（　　）

A
|b|=$\sqrt {2}$
B
-1＜b≤1或b=-$\sqrt {2}$
C
-1≤b≤$\sqrt {2}$
D
$\sqrt {2}$＜b＜1

题目答案

B

答案解析

分析：

把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲线于(0，-1)和另一个点，及与曲线交于点(0，1)，分别求出b，则b的范围可得．

解答：

解：x=$\sqrt {}$化简得x+y_=1

注意到x≥0

所以这个曲线应该是半径为1，圆心是(0，0)的半圆，且其图象只在一四象限．

这样很容易画出图来，这样因为直线与其只有一个交点，

那么很容易从图上看出其三个极端情况分别是：

直线在第四象限与曲线相切，

交曲线于(0，-1)和另一个点，

及与曲线交于点(0，1)．

分别算出三个情况的b值是：-$\sqrt {2}$，-1，1．

因为b就是直线在y轴上的截距了，

所以看图很容易得到b的范围是：-1＜b≤1或b=-$\sqrt {2}$

故选B

点评：

本题主要考查了直线与圆相交的性质．对于此类问题除了用联立方程转化为方程的根的问题之外，也可用数形结合的方法较为直观．

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8单选题

方程$\sqrt {}$-k(x-3)-4=0有两个不同的解时，实数k的取值范围是（　　）

A
(0，$\frac {7}{24}$)
B
($\frac {7}{24}$，+∞)
C
($\frac {1}{3}$，$\frac {2}{3}$)
D
($\frac {7}{24}$，$\frac {2}{3}$]

题目答案

D

答案解析

分析：

先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．

解答：

解：将方程 $\sqrt {}$-k(x-3)-4=0转化为：

半圆 y=$\sqrt {}$，与直线y=k(x-3)+4有两个不同交点．

当直线与半圆相切时，有 $\frac {|4-3k|}{$\sqrt {}$}$=3，即解得：k=$\frac {7}{24}$

当半圆y=$\sqrt {}$与直线y=k(x-3)+4有两个不同交点时，

因为直线y=k(x-3)+4一定过点(3，4)，

所以由图象知直线过(-3，0)时直线的斜率k取最大值为 $\frac {2}{3}$，



所以k∈($\frac {7}{24}$，$\frac {2}{3}$]．

故选D．

点评：

本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况，关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解．

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