《锥体的体积》锥体的体积 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《锥体的体积》锥体的体积

1填空题

如图，在长方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，AB=AD=3cm，AA$_1$=2cm，则四棱锥A-BB$_1$D$_1$D的体积为cm3．

填空题答案仅供参考

题目答案

6

答案解析

分析：

过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．

解答：

解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=$\frac {3×3}{3\sqrt {2}}$=$\frac {3\sqrt {2}}{2}$，所以四棱锥A-BB$_1$D$_1$D的体积为V=$\frac {1}{3}$×2×3$\sqrt {2}$×$\frac {3\sqrt {2}}{2}$=6．故答案为：6．

点评：

本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．

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2单选题

三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于(       )

A
2$\sqrt {2}$
B
$\sqrt {3}$
C
2$\sqrt {3}$
D
3$\sqrt {2}$

题目答案

B

答案解析

分析：

由题意求出底面面积，然后求出三棱锥的体积．

解答：

解：三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，所以底面面积为：$\sqrt {3}$；

三棱锥的体积为：$\frac {1}{3}$×$\sqrt {3}$×3=$\sqrt {3}$

故答案为：$\sqrt {3}$，选B．

点评：

本题是基础题，考查三棱锥的体积的计算，注意三棱锥的特征是解题的关键．

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3填空题

已知四棱椎P-ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，则该四棱椎的体积是．

填空题答案仅供参考

题目答案

96

答案解析

分析：

四棱锥的高已知，先求底面面积，再利用棱锥的体积公式求体积．

解答：

解：底面是边长为6的正方形，故其底面积为36，

又侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=8，故棱锥的高为8

由棱锥体积公式得V=$\frac {1}{3}$×36×8=96．

故答案为96．

点评：

本题考点是锥体的体积公式，考查空间想象能力与应用公式求解的能力．

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4填空题

若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {8π}{3}$

答案解析

分析：

根据圆锥的体积公式直接计算即可．

解答：

解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．

V=$\frac {1}{3}$S•h=$\frac {1}{3}$πR_•h

=$\frac {1}{3}$π×2_×2=$\frac {8π}{3}$．

故答案为：$\frac {8π}{3}$

点评：

本题考查圆锥的体积公式，是基础题．

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5单选题

已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（　　）

A
$\sqrt {2}$
B
6$\sqrt {2}$
C
$\frac {1}{3}$
D
2$\sqrt {2}$

题目答案

D

答案解析

分析：

由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积．

解答：

解：一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，

则四棱锥的底面面积为：2$\sqrt {2}$，所以四棱锥的体积为：$\frac {1}{3}$×2$\sqrt {2}$×3=2$\sqrt {2}$；

故选D．

点评：

本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比为2$\sqrt {2}$，是需要牢记的结论，也是解题的根据．

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6单选题

三角形ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=1，以边AB所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A
$\frac {π}{3}$
B
π
C
2π
D
3π

题目答案

B

答案解析

分析：

由题意可知旋转体可以看作是由BC为半径，AB为高的圆锥，利用底面半径，高，即可求出圆锥的体积．

解答：

解：∵∠B=90°，AB=3，BC=1，以边AB所在直线为旋转轴将Rt△ABC旋转一周，

∴形成图形为：由BC为半径，AB为高的圆锥，

∴所围成的几何体的体积为：$\frac {1}{3}$π×1_×3=π．

故选：B．

点评：

此题主要考查了旋转体的体积，考查学生计算能力，比较基础．

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7单选题

一个圆锥的侧面展开是半径为R的圆的一半，则它的体积为(       )

A
$\frac {$\sqrt {3}$}{12}$πR_
B
$\frac {$\sqrt {2}$}{24}$πR_
C
$\frac {$\sqrt {3}$}{24}$πR_
D
$\frac {$\sqrt {2}$}{12}$πR_

题目答案

C

答案解析

分析：

一个圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于底面圆的周长．由此可得底面圆的半径r=$\frac {1}{2}$R，从而得到圆锥的高h=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$R，最后用锥体的体积公式得到这个无底圆锥的体积．

解答：

解：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为r，则底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长

∴2πr=πR，可得r=$\frac {1}{2}$R，圆锥的高h=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$R

根据圆锥的体积公式，可得V=$\frac {1}{3}$S_底•h=$\frac {1}{3}$π($\frac {1}{2}$R)_•$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$R=$\frac {$\sqrt {3}$}{24}$πR_

故答案为：$\frac {$\sqrt {3}$}{24}$πR_，选C．

点评：

本题根据侧面展开图是一个半圆的圆锥，求该圆锥的体积，着重考查了旋转体的侧面展开和锥体的体积公式等知识，属于基础题．

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8单选题

已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（　　）

A
$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$π
B
$\sqrt {3}$π
C
$\frac {$\sqrt {5}$}{3}$π
D
$\sqrt {5}$π

题目答案

A

答案解析

分析：

通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面母线，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．

解答：

解：圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，

所以圆锥的底面周长为：2π，

圆锥的母线长为：2，圆锥的高为：$\sqrt {3}$；

圆锥的体积为：$\frac {1}{3}$π×1_×$\sqrt {3}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$π．

故选A．

点评：

本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．

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9单选题

将半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的表面积和体积分别为(      )

A
3π，$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$π
B
2π，$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$π
C
π，$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$π
D
5π，$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$π

题目答案

A

答案解析

分析：

圆锥的表面积是圆锥的侧面积与底面积的和，而侧面积便是原来半圆的面积．要求圆锥底面圆的面积，先求底面圆的半径：根据底面圆的周长等于原来半圆的周长求解即可，半径求出了，再根据原来半圆的半径即可求出圆锥的高，而根据圆锥的体积公式即可求出该圆锥的体积．

解答：

解：半径为2的半圆以及将该半圆卷成的圆锥如下图所示：



设圆锥的底面半径是r，高是h，则：

2πr=2π；

∴r=1，h=$\sqrt {3}$；

该圆锥的表面积S为：圆锥的侧面积+圆锥底面面积；

∴S=2π+π=3π；

圆锥的体积V=$\frac {1}{3}$•π•1_•$\sqrt {3}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$π，选A．

点评：

考查圆的周长公式，圆的面积公式，以及圆锥的体积公式．

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