《圆的参数方程》圆的参数方程

1单选题

曲线$\left\{\begin{matrix}x=-1+cosθ \ y=2+sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)的对称中心（　　）

在直线y=2x上

在直线y=-2x上

在直线y=x-1上

在直线y=x+1上

题目答案

答案解析

分析：

曲线$\left\{\begin{matrix}x=-1+cosθ \ y=2+sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)表示圆，对称中心为圆心，可得结论．

解答：

解：曲线$\left\{\begin{matrix}x=-1+cosθ \ y=2+sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)表示圆，圆心为(-1，2)，在直线y=-2x上，

故选：B．

点评：

本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．

2单选题

在平面直角坐标系中，倾斜角为$\frac {π}{4}$的直线l与曲线C：$\left\{\begin{matrix}x=2+cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$，(α为参数)交于A，B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是( )

ρ(cosθ-sinθ)=$\sqrt {2}$

ρ(cosθ-sinθ)=$\sqrt {3}$

ρ(cosθ-sinθ)=2

ρ(cosθ-sinθ)=1

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2，1)在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程．

解答：

解：设倾斜角为$\frac {π}{4}$的直线l的方程为y=x+b，

曲线C：$\left\{\begin{matrix}x=2+cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)，即 (x-2)_+(y-1)_=1，表示以(2，1)为圆心、半径等于1的圆．

由于弦长|AB|=2，正好等于直径，故圆心(2，1)在直线l上，故有1=2+b，解得b=-1，

故直线l的方程为 y=x-1，即x-y-1=0．

再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρcosθ-ρsinθ-1=0，即ρ(cosθ-sinθ)=1

故答案为：ρ(cosθ-sinθ)=1，所以选D．

点评：

本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题．

3填空题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C$_1$和C$_2$的参数方程分别为$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {5}$cosθ \ y=$\sqrt {5}$sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数，0≤θ≤$\frac {π}{2}$)和$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，则曲线C$_1$和C$_2$的交点坐标为(，)．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先把曲线C$_1$和C$_2$的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标

解答：

解：曲线C$_1$的普通方程为x+y_=5(0≤x≤$\sqrt {5}$)，曲线C$_2$的普通方程为y=x-1

联立方程$\left\{\begin{matrix}x+y_=5 \ y=x-1 \ \end{matrix}\right.$⇒x=2或x=-1(舍去)，

则曲线C$_1$和C$_2$的交点坐标为(2，1)．

故答案为：(2，1)

点评：

本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程

4单选题

若直线y=x-b与曲线$\left\{\begin{matrix}x=2+cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ∈[0，2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为(　　)．

(2-$\sqrt {2}$，1)

[2-$\sqrt {2}$，2+$\sqrt {2}$]

(-∞，2-$\sqrt {2}$)∪(2+$\sqrt {2}$，+∞)

(2-$\sqrt {2}$，2+$\sqrt {2}$)

题目答案

答案解析

分析：

由题意将参数方程化为普通方程，因为直线与圆有两个不同的交点，可得$\frac {|2-b|}{$\sqrt {2}$}$＜1，从而求出b的范围；

解答：

解：法一：$\left\{\begin{matrix}x=2+cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$化为普通方程(x-2)_+y_=1，表示圆，

因为直线与圆有两个不同的交点，所以$\frac {|2-b|}{$\sqrt {2}$}$＜1解得2-$\sqrt {2}$＜b＜2+$\sqrt {2}$

法二：利用数形结合进行分析得|AC|=2-b=$\sqrt {2}$，∴b=2-$\sqrt {2}$

同理分析，可知2-$\sqrt {2}$＜b＜2+$\sqrt {2}$．

故选D．

点评：

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

5单选题

直线y=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$x+$\sqrt {2}$与圆心为D的圆$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {3}$+$\sqrt {3}$cosθ \ y=1+$\sqrt {3}$sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ∈[0，2π))交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（　　）

$\frac {7}{6}$π

$\frac {5}{4}$π

$\frac {4}{3}$π

$\frac {5}{3}$π

题目答案

答案解析

分析：

根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．

解答：

解：数形结合，∠1=α-30°，∠2=30°+π-β，

由圆的性质可知∠1=∠2，∴α-30°=30°+π-β，

故α+β=$\frac {4}{3}$π，

故选C．

点评：

本题主要考查了圆的参数方程，以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用，属于基础题．

6单选题

参数方程$\left\{\begin{matrix}x=cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)化成普通方程为( )

x+y_=1

(x+1)_+y_=2

x+(y-1)_=1

x+y_=2

题目答案

答案解析

分析：

欲将参数方程$\left\{\begin{matrix}x=cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)化成普通方程，只须消去参数即可，利用三角函数的同角公式中的平方关系即得．

解答：

解：∵$\left\{\begin{matrix}x=cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)

∴x+(y-1)_=cos_α+sin_α=1．

即：参数方程$\left\{\begin{matrix}x=cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)化成普通方程为：

x+(y-1)_=1．

故答案为：x+(y-1)_=1，所以选C．

点评：

本小题主要考查参数方程的概念的应用、圆的参数方程的概念、三角函数的同角公式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

7单选题

曲线C：$\left\{\begin{matrix}x=cosθ-1. \ y=sinθ+1 \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)的普通方程为（　　）

(x-1)_+(y+1)_=1

(x+1)_+(y+1)_=1

(x+1)_+(y-1)_=1

(x-1)_+(y-1)_=1

题目答案

答案解析

分析：

已知曲线C：$\left\{\begin{matrix}x=cosθ-1. \ y=sinθ+1 \ \end{matrix}\right.$化简为$\left\{\begin{matrix}x+1=cosx \ y-1=sinx \ \end{matrix}\right.$然后两个方程两边平方相加，从而求解．

解答：

解：∵曲线C：$\left\{\begin{matrix}x=cosθ-1. \ y=sinθ+1 \ \end{matrix}\right.$，

∴$\left\{\begin{matrix}x+1=cosθ \ y-1=sinθ \ \end{matrix}\right.$

∴cos_θ+sin_θ=(x+1)_+(y-1)_=1，

故选C．

点评：

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．

8单选题

若圆的方程为$\left\{\begin{matrix}x=-1+2cosθ \ y=3+2sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ为参数)，直线的方程为$\left\{\begin{matrix}x=2t-1 \ y=6t-1 \ \end{matrix}\right.$(t为参数)，则直线与圆的位置关系是（　　）

相交过圆心

相交而不过圆心

相切

相离

题目答案

答案解析

分析：

把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．

解答：

解：把圆的参数方程化为普通方程得：(x+1)_+(y-3)_=4，

∴圆心坐标为(-1，3)，半径r=2，

把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3(x+1)，即3x-y+2=0，

∴圆心到直线的距离d=$\frac {|-3-3+2|}{\sqrt {}}$=$\frac {2\sqrt {10}}{5}$＜r=2，

又圆心(-1，3)不在直线3x-y+2=0上，

则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心．

故选B

点评：

此题考查了参数方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系为：(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)0≤d＜r，直线与圆相交；d=r，直线与圆相切；d＞r，直线与圆相离．

9单选题

参数方程$\left\{\begin{matrix}x=\frac {1}{t} \ y=\frac {1}{t}\sqrt {}$ \ \end{matrix}\right.$(t为参数)所表示的曲线是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据$\left\{\begin{matrix}x=\frac {1}{t} \ y=\frac {1}{t}\sqrt {} \ \end{matrix}\right.$可知x与y同号(t=±1除外)，将t=$\frac {1}{x}$代入y=$\frac {1}{t}$$\sqrt {}$消掉参数t后即可判断．

解答：

解：∵$\left\{\begin{matrix}x=\frac {1}{t} \ y=\frac {1}{t}\sqrt {} \ \end{matrix}\right.$，∴x与y同号(t=±1除外)，

将t=$\frac {1}{x}$代入y=$\frac {1}{t}$$\sqrt {}$消掉参数t得：x+y_=1(xy≥0，x≠0)；

故选D．

点评：

本题考查圆的参数方程，易错点在于对“x与y同号(t=±1除外)”的判断与应用，也是本题的难点，属于中档题．

10填空题

设曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=m-4cosθ \ y=1+4sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ是参数，m＞0)，若曲线C与直线3x+4y-5=0只有一个交点，则实数m的值是或(按从小到大顺序填写答案)．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {19}{3}$7

答案解析

分析：

利用直线与相切的性质即可得出．

解答：

解：由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=m-4cosθ \ y=1+4sinθ \ \end{matrix}\right.$(θ是参数，m＞0)，消去θ可得：(x-m)_+(y-1)_=16．

可得圆心(m，1)，半径r=4．

∴圆心到直线3x+4y-5=0的距离d=$\frac {|3m+4-5|}{\sqrt {}}$=$\frac {|3m-1|}{5}$．

∵曲线C与直线3x+4y-5=0只有一个交点，∴$\frac {|3m-1|}{5}$=4．

解得m=7或-$\frac {19}{3}$．

故答案为7或-$\frac {19}{3}$．

点评：

熟练掌握直线与相切的性质是解题的关键．

11单选题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C$_1$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(其中α为参数)．在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，曲线C$_2$的极坐标方程为ρcos(θ-$\frac {π}{4}$)=$\frac {\sqrt {2}}{2}$．则曲线C$_1$与C$_2$交点间的距离为( )

$\sqrt {3}$-1

$\sqrt {2}$

$\frac {\sqrt {3}}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

把曲线C$_1$的参数方程消去参数化为直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式把曲线C$_2$的方程极坐标化为普通方程，再利用点到直线的距离公式和勾股定理即可得出弦长为2 $\sqrt {}$，(d为圆心到直线的距离)即可得出．

解答：

解：曲线C$_1$的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1+cosα \ y=1+sinα \ \end{matrix}\right.$(α为参数)，消去参数α，化为(x-1)_+(y-1)_=1，圆心为C$_1$(1，1)，半径r=1．

由曲线C$_2$的方程为ρcos(θ-$\frac {π}{4}$)=$\frac {\sqrt {2}}{2}$=0，展开为$\frac {\sqrt {2}}{2}$ρcosθ+$\frac {\sqrt {2}}{2}$ρsinθ=$\frac {\sqrt {2}}{2}$，∴C$_2$的直角坐标方程为x-y-1=0．

∴圆心为C$_1$(1，1)到直线C$_2$的距离d=$\frac {|1-1-1|}{\sqrt {2}}$=$\frac {\sqrt {2}}{2}$．

则两曲线交点之间的距离=2$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$．

故答案为：$\sqrt {2}$，所以选C．

点评：

本题考查了把参数方程化为直角坐标方程、极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式和勾股定理、弦长为2$\sqrt {}$等基础知识与基本技能方法

12单选题

参数方程$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{\frac {2m}{1+m}} \\ y=\sqrt{\frac {1-m}{1+m}}\end{matrix}\right.$(m是参数)表示的曲线的普通方程是( )

x²+y²=1

(x+1)²+y²=2

(x+1)²+(y+1)²=2

x²+y²=2

题目答案

答案解析

分析：

根据参数方程，化简 x²+y²的结果等于1，从而求得曲线的普通方程．

解答：

解：∵参数方程$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt{\frac {2m}{1+m}} \\ y=\sqrt{\frac {1-m}{1+m}}\end{matrix}\right.$(m是参数)，∴x²+y²=$\frac {(2m)}{(1+m_)}$+$\frac {(1-m_)}{(1+m_)}$=1，故曲线的普通方程是 x²+y²=1，故答案为 x²+y²=1，所以选A．

点评：

本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，圆的参数方程，属于基础题．

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