《余弦定理》余弦定理

1单选题

在△ABC中，∠ABC=$\frac {π}{4}$，AB=$\sqrt {2}$，BC=3，则sin∠BAC=（　　）

$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {10}$}{5}$

$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$

$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

由AB，BC及cos∠ABC的值，利用余弦定理求出AC的长，再由正弦定理即可求出sin∠BAC的值．

解答：

解：∵∠ABC=$\frac {π}{4}$，AB=$\sqrt {2}$，BC=3，

∴由余弦定理得：AC_=AB_+BC_-2AB•BC•cos∠ABC=2+9-6=5，

∴AC=$\sqrt {5}$，

则由正弦定理$\frac {AC}{sin∠ABC}$=$\frac {BC}{sin∠BAC}$得：sin∠BAC=$\frac {3×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}{$\sqrt {5}$}$=$\frac {3$\sqrt {10}$}{10}$．

故选C

点评：

此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．

2填空题

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a_+ab+b_-c_=0，则角C的大小是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$

答案解析

分析：

利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．

解答：

解：∵a_+ab+b_-c_=0，即a_+b_-c_=-ab，

∴cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {-ab}{2ab}$=-$\frac {1}{2}$，

∵C为三角形的内角，

∴C=$\frac {2π}{3}$．

故答案为：$\frac {2π}{3}$

点评：

此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

3填空题

在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据余弦定理b_=a_+c_-2accosB，代入题中的数据得b_=25+64-2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7．

解答：

解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°，

∴根据余弦定理，得

b_=a_+c_-2accosB=25+64-2×5×8×cos60°=49

解之得b=7(舍负)

故答案为：7

点评：

本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．

4填空题

设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$

答案解析

分析：

利用已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．

解答：

解：由已知条件(a+b-c)(a+b+c)=ab可得a_+b_-c_+2ab=ab

即a_+b_-c_=-ab

由余弦定理得：cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=-$\frac {1}{2}$

又因为0＜B＜π，所以C=$\frac {2π}{3}$．

故答案为：$\frac {2π}{3}$

点评：

本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目．

5单选题

若△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（　　）

$\frac {$\sqrt {15}$}{4}$

$\frac {3}{4}$

$\frac {3$\sqrt {15}$}{16}$

$\frac {11}{16}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值．

解答：

解：△ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，

所以由余弦定理：b_=a_+c_-2accosB，所以cosB=$\frac {11}{16}$，

故选D．

点评：

本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．

6单选题

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=$\sqrt {6}$+$\sqrt {2}$，且∠A=75°，则b=（　　）

4+2$\sqrt {3}$

4-2$\sqrt {3}$

$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．

解答：

解：如图所示．在△ABC中，

由正弦定理得：$\frac {b}{sin30°}$=$\frac {$\sqrt {6}$+$\sqrt {2}$}{sin75°}$=$\frac {$\sqrt {6}$+$\sqrt {2}$}{sin(45°+30°)}$=4，

∴b=2．

故选A

点评：

本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形；运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．

7单选题

如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（　　）

$\frac {5}{18}$

$\frac {3}{4}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

$\frac {7}{8}$

题目答案

答案解析

分析：

先得到3边之间的关系，再由余弦定理可得答案．

解答：

解：设顶角为C，因为l=5c，∴a=b=2c，

由余弦定理得cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {4c_+4c_-c}{2×2c×2c}$=$\frac {7}{8}$，

故选D．

点评：

本题主要考查余弦定理的应用．余弦定理在解三角形中应用很广泛，应熟练掌握．

8填空题

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则a：b：c=：：，∠B的大小是°．

填空题答案仅供参考

题目答案

57860

答案解析

分析：

先通过正弦定理求出a，b，c的关系，设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理，求出cos∠B的值，进而求出∠B．

解答：

解：由正弦定理得sinA：sinB：sinC=5：7：8

∴a：b：c=5：7：8

设a=5k，b=7k，c=8k，

由余弦定理cos∠B=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {25k_+64k_-49k}{2•5k•8k}$=$\frac {1}{2}$

∴∠B=$\frac {π}{3}$．

故答案为：5：7：8，$\frac {π}{3}$

点评：

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解三角形的问题时，要灵活运用这两个定理．

9填空题

在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {π}{3}$

答案解析

分析：

根据sinA：sinB：sinC=5：7：8，利用正弦定理可求得a，b，c的关系，进而设a=5k，b=7k，c=8k，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．

解答：

解：sinA：sinB：sinC=5：7：8∴a：b：c=5：7：8设a=5k，b=7k，c=8k，由余弦定理可得cosB=$\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$=$\frac {1}{2}$；∴∠B=$\frac {π}{3}$．故答案为$\frac {π}{3}$．

点评：

本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．作为解三角形中常用的公式，应熟练掌握正弦定理和余弦定理及其变形公式．

10单选题

边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是( )

90°

120°

135°

150°

题目答案

答案解析

分析：

设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°-θ，即可得答案．

解答：

点评：

本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．

11填空题

设△ABC的内角，A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，则A=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {2π}{3}$

答案解析

分析：

由条件可得b_+c_-a_=-bc，再由余弦定理可得 cosA=-$\frac {1}{2}$，再由A的范围，求出A的大小．

解答：

解：∵(a+c)(a-c)=b(b+c)，∴b_+c_-a_=-bc，

由余弦定理可得 cosA=$\frac {b_ +c_ -a}{2bc}$=-$\frac {1}{2}$．

又 0＜A＜π，∴A=$\frac {2π}{3}$，

故答案为 $\frac {2π}{3}$．

点评：

本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

12填空题

在△ABC中，a=3，b=5，C=120°，则c=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由余弦定理c_=a_+b_-2abcosC，代入可求．

解答：

解：由余弦定理c_=a_+b_-2abcosC，

=9+25-2×3×5×(-$\frac {1}{2}$)=49，

∴c=7．

故答案为：7．

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础试题．

13单选题

在△ABC中，已知a_+b_=c_+$\sqrt {2}$ba，则∠C=（　　）

30°

150°

45°

135°

题目答案

答案解析

分析：

利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．

解答：

解：∵a_+b_=c_+$\sqrt {2}$ba，即a_+b_-c_=$\sqrt {2}$ab，

∴由余弦定理得：cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

∴∠C=45°．

故选：C．

点评：

此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

14单选题

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若sinA：sinB：sinC=6：5：4，则最大角为( )

arccos$\frac {1}{4}$

arcsin$\frac {1}{4}$

arccos$\frac {1}{8}$

arcsin$\frac {1}{8}$

题目答案

答案解析

分析：

已知比例式利用正弦定理化简，求出三边之比，利用余弦定理求出cosA的值，即可确定出最大角A的度数．

解答：

解：利用正弦定理化简sinA：sinB：sinC=6：5：4，得a：b：c=6：5：4，

∴cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$=$\frac {25+16-36}{40}$=$\frac {1}{8}$，

则A=arccos$\frac {1}{8}$．

故答案为：arccos$\frac {1}{8}$，选C．

点评：

此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

15单选题

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(b+c)：(c+a)：(a+b)=4：5：6，则最大内角为（　　）

150°

120°

135°

90°

题目答案

答案解析

分析：

设比例式中一份为k，表示出b+c，c+a以及a+b，进而表示出a，b，c，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．

解答：

解：根据题意得：b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k，

解得：a=$\frac {7}{2}$k，b=$\frac {5}{2}$k，c=$\frac {3}{2}$k，

利用余弦定理得：cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$=$\frac {$\frac {25}{4}$k_+$\frac {9}{4}$k_-$\frac {49}{4}$k}{$\frac {15}{2}$k}$=-$\frac {1}{2}$，

则最大角A的度数为120°．

故选B

点评：

此题考查了余弦定理，以及比例的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

16单选题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a_+ab=c_-b_，则角C等于（　　）

$\frac {π}{6}$

$\frac {π}{3}$

$\frac {2π}{3}$

$\frac {π}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

通过已知条件，直接利用余弦定理求出C的余弦值，然后求出C的大小．

解答：

解：因为在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且a_+ab=c_-b_，

由余弦定理可知，cosC=-$\frac {1}{2}$，

所以C=$\frac {2π}{3}$．

故选C．

点评：

本题考查余弦定理的应用，三角形的角的求法，考查计算能力．

17填空题

在△ABC中，(sinB+sinC)：(sinC+sinA)：(sinA+sinB)=4：5：6，则△ABC的最大内角的度数是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据比例分别设出b+c，c+a，a+b，三式相加即可表示出a+b+c，进而表示出a，b，c，判断得到A为最大内角，利用余弦定理即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．

解答：

点评：

此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．根据比例设出k是解本题的关键．

18单选题

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，则cosA的值是（　　）

-$\frac {1}{4}$

$\frac {1}{4}$

-$\frac {2}{3}$

$\frac {2}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，进而设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．

解答：

解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：3：2，

利用正弦定理化简得：a：b：c=4：3：2，

设a=4k，b=3k，c=2k，

∴cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$=$\frac {9k_+4k_-16k}{12k}$=-$\frac {1}{4}$．

故选：A．

点评：

此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

19填空题

已知△ABC的周长为9，且sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{4}$

答案解析

分析：

由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4，可设a=3k，b=2k，c=4k，由余弦定理可得，cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$可求

解答：

解：由正弦定理可知，sinA：sinB：sinC=a：b：c=3：2：4

∴可设a=3k，b=2k，c=4k

由余弦定理可得，cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {9k_+4k_-16k}{2•3k•2k}$=-$\frac {1}{4}$

故答案为：-$\frac {1}{4}$

点评：

本题主要考查了正弦定理a：b：c=sinA：sinB：sinC，及余弦定理的应用，属于基础试题

20单选题

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c_＜a_+b_+2abcos2C，则∠C的可能取值为（　　）

$\frac {5π}{6}$

$\frac {π}{2}$

$\frac {π}{3}$

$\frac {π}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

利用余弦定理和已知不等式可求得关于cosC的一元二次不等式，进而求得cosC的范围，则C的范围可得，对四个选项验证即可．

解答：

解：∵c_＜a_+b_+2abcos2C，

∴cos2C＞-$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=-cosC，

∴2cos_C-1+cosC＞0，

∴cosC＞$\frac {1}{2}$或cosC＜-1(舍去)，

∴0＜C＜$\frac {π}{3}$，

∴只有D项符合．

故选D．

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用．解题过程中结合了二倍角公式和一元二次不等式的相关知识，综合性较强．

21单选题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos(A+B)=$\frac {1}{3}$，则c=（　　）

$\sqrt {15}$

$\sqrt {17}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．

解答：

解：∵cos(A+B)=$\frac {1}{3}$，

∴cosC=-$\frac {1}{3}$，

在△ABC中，a=3，b=2，cosC=-$\frac {1}{3}$，

∴c_=a_+b_-2abcosC=9+4-2×3×2×(-$\frac {1}{3}$)=17，

∴c=$\sqrt {17}$．

故选：D．

点评：

本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．

22单选题

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=2$\sqrt {2}$，C=$\frac {π}{12}$，则内角A的值为（　　）

$\frac {π}{3}$或$\frac {2π}{3}$

$\frac {π}{6}$或$\frac {5π}{6}$

$\frac {π}{3}$

$\frac {π}{6}$

题目答案

答案解析

分析：

由余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，即可求解A的大小．

解答：

解：在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，b=2$\sqrt {2}$，C=$\frac {π}{12}$，

∴c_=a_+b_-2abcosC=4+8-8$\sqrt {2}$×$\frac {$\sqrt {2}$+$\sqrt {6}$}{4}$=8-4$\sqrt {3}$，

由正弦定理$\frac {a}{sinA}$=$\frac {c}{sinC}$可知sinA=$\frac {asinC}{c}$=$\frac {2×$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$}{$\sqrt {}$}$=$\frac {1}{2}$，

∵a=2，b=2$\sqrt {2}$，∴a＜b，∴A＜B，

∴A=$\frac {π}{6}$．

故选：D．

点评：

本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．

23填空题

在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=$\frac {13}{14}$，则最大角的余弦值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先利用余弦定理求得边c的长度，进而根据大角对大边的原则推断出B为最大角，最后利用余弦定理求得cosB的值．

解答：

点评：

本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是判断出三角形中的最大角．

24单选题

在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（　　）

$\frac {2}{3}$

$\frac {1}{4}$

-$\frac {2}{3}$

-$\frac {1}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

根据正弦定理化简已知的比例式，得到a：b：c的比值，根据比例设出a，b及c，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入，化简即可求出值．

解答：

解：由正弦定理$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$=$\frac {c}{sinC}$化简已知的比例式得：

a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，

根据余弦定理得cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {(3k)_+(2k)_-(4k)}{12k}$=-$\frac {1}{4}$．

故选D

点评：

此题考查了余弦定理，正弦定理及比例的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．

读趣百科

《余弦定理》余弦定理

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2填空题

题目答案

您的答案

答案解析

3填空题

题目答案

您的答案

答案解析

4填空题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8填空题

题目答案

您的答案

答案解析

9填空题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11填空题

题目答案

您的答案

答案解析

12填空题

题目答案

您的答案

答案解析

13单选题

题目答案

您的答案

答案解析

14单选题

题目答案

您的答案

答案解析

15单选题

题目答案

您的答案

答案解析

16单选题

题目答案

您的答案

答案解析

17填空题

题目答案

您的答案

答案解析

18单选题

题目答案

您的答案

答案解析

19填空题

题目答案

您的答案

答案解析

20单选题

题目答案