《正四面体》正四面体 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《正四面体》正四面体

1单选题

各棱长为1的正四棱锥的体积V=(      )

A

$\frac {\sqrt {2}}{6}$

B

$\frac {\sqrt {3}}{4}$

C

$\frac {1}{3}$

D

$\frac {\sqrt {7}}{5}$

题目答案

A

答案解析

分析：

先求出正四棱锥的斜高，再求出它的高，然后利用体积公式求解即可．

解答：

解：由题知斜高h′=$\frac {\sqrt {3}}{2}$，则h=$\frac {\sqrt {2}}{2}$，故V=$\frac {1}{3}$Sh=$\frac {1}{3}$•1•$\frac {\sqrt {2}}{2}$=$\frac {\sqrt {2}}{6}$．故答案为：$\frac {\sqrt {2}}{6}$，选A．

点评：

本题考查棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

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2单选题

如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为(　　)

A
O-ABC是正三棱锥
B
直线OB∥平面ACD
C
直线AD与OB所成的角是45°
D
二面角D-OB-A为45°

题目答案

B

答案解析

分析：

结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．

解答：

解：①如图ABCD为正四面体，

∴△ABC为等边三角形，

又∵OA、OB、OC两两垂直，

∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，

过O作底面ABC的垂线，垂足为N，

连接AN交BC于M，

由三垂线定理可知BC⊥AM，

∴M为BC中点，

同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，

∴N为底面△ABC中心，

∴O-ABC是正三棱锥，故A正确．

②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．

则答案B不正确，

故本题答案选B．

点评：

结合图形分析答案，增强直观性．

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3填空题

将一个钢球置于由6根长度为$\sqrt {2}$m的钢管焊接成的正四面体的钢架内，那么，这个钢球的最大体积为m_．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {π}{2}$

答案解析

分析：

这个钢球的最大体积是钢球和正四面体框架相切，对棱之间的距离为球的直径，然后再求体积即可．

解答：

解：设正四面体为P-ABC，如图连接AB、CP的中点E、F，易得AE=$\frac {1}{2}$×$\sqrt {2}$，AF=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$×$\sqrt {2}$

EF是AB、CP的公垂线，

相对两条棱间的距离为：$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$×$\sqrt {2}$=1.

内切球的直径为1.

这个钢球的最大体积：4π($\frac {1}{2}$)_=$\frac {π}{2}$．

故答案为：$\frac {π}{2}$

点评：

本题考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，球的体积，是基础题．

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4单选题

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(　　)

A
$\frac {4$\sqrt {3}$π}{27}$
B
$\frac {$\sqrt {6}$π}{2}$
C
$\frac {$\sqrt {6}$π}{8}$
D
$\frac {$\sqrt {6}$π}{24}$

题目答案

C

答案解析

分析：

判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积．

解答：

解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，

故外接球半径为$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$，外接球的体积为$\frac {4}{3}$π($\frac {$\sqrt {6}$}{4}$)_=$\frac {$\sqrt {6}$}{8}$π，

故选C．

点评：

本题考查球的外接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

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5单选题

一个三棱锥铁框架的棱长均为2，其内置一气球，使其充气至尽可能地膨胀(保持球的形状)，则此球的表面积为（　　）

A
$\frac {2π}{3}$
B
2π
C
3π
D
6π

题目答案

B

答案解析

分析：

画出图形，通过求解AE，OS，OE，求出正四面体的内接球的半径，即可求解球的表面积．

解答：

解：∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，几何体为正四面体，

如图：球的球心O在底面ABC的中心E与S的连线上，并且AO=OS，

∵一个三棱锥铁框架的棱长均为2，∴SA=SB=SC=AB=AC=BC=2，

∴D为BC的中点，AD=$\sqrt {3}$，AE=$\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$，SE=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {2$\sqrt {6}$}{3}$；

球的半径为r，OA=$\sqrt {}$，OE=SE-OS=SE-OA=$\frac {2$\sqrt {6}$}{3}$-$\sqrt {}$，

AO_=OE_+AE_，

∴1+r_=($\frac {2$\sqrt {6}$}{3}$-$\sqrt {}$)_+($\frac {2$\sqrt {3}$}{3}$)_，

解得r=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

∴所求球的表面积S=4πr_=4π×($\frac {$\sqrt {2}$}{2}$)_=2π．

故选：B．

点评：

本题考查球的表面积的求法，几何体的结构特征，考查空间想象能力以及计算能力．

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6单选题

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为(        )

A

$\frac {\sqrt {6}π}{8}$

B

$\frac {\sqrt {3}π}{4}$

C

$\frac {\sqrt {3}π}{5}$

D

$\frac {\sqrt {3}π}{4}$

题目答案

A

答案解析

分析：

判定三棱锥的形状，确定外接球的球心位置，找出半径并求解，然后求出球的体积．

解答：

解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P-DCE各边长度均为1∴三棱锥P-DCE为正三棱锥 P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=$\frac {\sqrt {3}}{3}$在直角△POD中：OP2=PD2-OD2=$\frac {2}{3}$OP=$\frac {\sqrt {6}}{3}$∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2+(OP-O'P)2+OD2=O'D2+($\frac {\sqrt {6}}{3}$-R)2+($\frac {\sqrt {3}}{3}$)2=$\frac {\sqrt {6}}{4}$∴体积为$\frac {4}{3}$πR3=$\frac {\sqrt {6}π}{8}$故答案为：$\frac {\sqrt {6}π}{8}$，选A．

点评：

本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生空间想象能力，是中档题．

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