《切线方程和切点弦方程》切线方程和切点弦方程

1单选题

过点(3，1)作圆(x-1)_+y_=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

2x+y-3=0

2x-y-3=0

4x-y-3=0

4x+y-3=0

题目答案

答案解析

分析：

由题意判断出切点(1，1)代入选项排除B、D，推出另一个切点判断切线斜率，得到选项即可．

解答：

解：因为过点(3，1)作圆(x-1)_+y_=1的两条切线，切点分别为A，B，

所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为(1，1)，显然B、D选项不过(1，1)，B、D不满足题意；

另一个切点的坐标在(1，-1)的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．

故选A．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．

2填空题

已知过点P(2，2)的直线l与圆(x-1)_+y_=5相切，且与直线ax-y+1=0平行，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

由题意判断点在圆上，求出切点与圆心连线与直线ax-y+1=0垂直，然后求出a的值即可．

解答：

解：因为点P(2，2)满足圆(x-1)_+y_=5的方程，所以P在圆上，

又过点P(2，2)的直线与圆(x-1)_+y_=5相切，且与直线ax-y+1=0平行，

所以切点与圆心连线与直线ax-y+1=0垂直，

所以直线ax-y+1=0的斜率为：a=-$\frac {2-1}{2-0}$=-$\frac {1}{2}$．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的平行，考查转化思想与计算能力．

3填空题

已知过点P(2，2)的直线l与圆(x-1)_+y_=5相切，且与直线ax-y+1=0垂直，则a=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意判断点在圆上，直接写出切线方程(2-1)(x-1)+2y=5，根据两条直线垂直的条件，求出a．

解答：

解：因为点P(2，2)满足圆(x-1)_+y_=5的方程，所以P在圆上，

可得过P点的切线方程为x-1+2y=5，

所以切线的斜率k=-$\frac {1}{2}$；

因为切线与直线ax-y+1=0垂直；

所以斜率相乘得-1；

故a=2．

点评：

本题考查圆上一点的切线方程．

4单选题

过点(3，3)作圆(x-1)_+y_=10的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

2x+3y-3=0

2x-y-5=0

2x+3y-12=0

4x+y-3=0

题目答案

答案解析

分析：

如果点在圆外，把坐标带进去，就能求出切点弦方程，AB就是切点弦．

解答：

解：因为过点(3，3)不在圆上，所以利用公式求出切点弦方程为：

(3-1)(x-1)+3y=10，

化简得2x+3y-12=0；

故选C．

点评：

利用圆上一点得切点弦方程的快捷算法，能够减少计算量．

5填空题

过点A(1，-3)的圆x+y_=10的切线的方程是．

填空题答案仅供参考

题目答案

x-3y-10=0

答案解析

分析：

判断点A在圆上，即A是切点，即可求出切线方程．

解答：

解：∵点A(1，-3)满足圆x+y_=10，

∴点A是切点，

则OA的斜率k=-3，

则切线的斜率k=$\frac {1}{3}$，

故所求的切线方程为y+3=$\frac {1}{3}$(x-1)，即x-3y-10=0，

故答案为：

点评：

本题主要考查圆的切线的求解，根据条件确定A是切点是解决本题的关键．

6填空题

过圆x+y_=5上一点M(1，2)的圆的切线方程为．

填空题答案仅供参考

题目答案

x+2y-5=0

答案解析

分析：

由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出M与圆心的距离判断出M在圆上即M为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和M的坐标求出OM确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1，求出切线的斜率，根据M坐标和求出的斜率写出切线方程即可．

解答：

解：由圆x+y_=5，得到圆心A的坐标为(0，0)，圆的半径r=$\sqrt {5}$，

而|AM|=$\sqrt {5}$=r，所以M在圆上，则过M作圆的切线与AM所在的直线垂直，

又M(1，2)，得到AM所在直线的斜率为2，所以切线的斜率为-$\frac {1}{2}$，

则切线方程为：y-2=-$\frac {1}{2}$(x-1)即x+2y-5=0．

故答案为：x+2y-5=0．

点评：

此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．

7填空题

过点P(3，1)作圆C：(x-2)_+y_=1的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为．

填空题答案仅供参考

题目答案

x+y-3=0

答案解析

分析：

求出以(3，1)、C(2，0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．

解答：

解：圆(x-2)_+y_=1的圆心为C(2，0)，半径为1，

以(3，1)、C(2，0)为直径的圆的方程为(x-2.5)_+(y-0.5)_=0.5，

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程x+y-3=0，

故答案为：x+y-3=0．

点评：

本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

8填空题

过点P(2，3)作圆x+y_=1的两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB的方程为．

填空题答案仅供参考

题目答案

2x+3y-1=0

答案解析

分析：

P连接坐标原点O，则OP可求得，OA、OB分别垂直PA、PB，OP与OA的夹角为α，则可求得cosα，进而根据圆心到直线的距离求得圆心到直线的距离d，根据O，P坐标求得OP的斜率，则直线AB的斜率可求，进而设出该直线方程，根据点到直线的距离建立等式求得b，则直线AB的方程可得．

解答：

解：如图所示，点P连接坐标原点O，则OP=$\sqrt {9+4}$=$\sqrt {13}$

OA、OB分别垂直PA、PB，OP与OA的夹角为α，则cosα=$\frac {1}{$\sqrt {13}$}$

圆心到直线AB的距离：d=OH=AOcosα=$\frac {1}{$\sqrt {13}$}$

直线OP的斜率 k'=$\frac {3}{2}$

则直线AB的斜率 k=-$\frac {2}{3}$，设该直线方程为

y=-$\frac {2}{3}$x+b，即 2x+3y-3b=0

由点到直线距离公式可得圆心(0，0)到直线AB的距离，即

$\frac {|0+0-3b|}{$\sqrt {9+4}$}$=d=$\frac {1}{$\sqrt {13}$}$

解得 b=$\frac {1}{3}$ 或 b=-$\frac {1}{3}$(舍去)

所以直线AB方程为：2x+3y-1=0

故答案为：2x+3y-1=0．

点评：

本题主要考查了直线与圆的位置关系．圆的切线方程的求法，考查了学生的数形结合的思想和基本的运算能力．

9填空题

过点P(3，4)作圆(x-1)_+y_=1的切线，切点为A，B，则直线AB的方程为．

填空题答案仅供参考

题目答案

2x+4y-3=0

答案解析

分析：

求出以(3，4)、C(1，0)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程．

解答：

解：圆(x-1)_+y_=1的圆心为C(1，0)，半径为1，

以(3，4)、C(1，0)为直径的圆的方程为(x-2)_+(y-2)_=5，

将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+4y-3=0，

故答案为：2x+4y-3=0．

点评：

本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．

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