《用样本的数字特征估计总体的数字特征》用样本的数字特征估计总体的数字特征

1单选题

某公司10位员工的月工资(单位：元)为x$_1$，x$_2$，…，x$_1$0，其均值和方差分别为x和s_，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（　　）

x，s_+100_

x+100，s_+100_

x，s_

x+100，s_

题目答案

答案解析

分析：

根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．

解答：

解：由题意知y_i=x_i+100，

则y=$\frac {1}{10}$(x$_1$+x$_2$+…+x$_1$0+100×10)=$\frac {1}{10}$(x$_1$+x$_2$+…+x$_1$0)+100=x+100，

方差s_=$\frac {1}{10}$[(x$_1$+100-(x+100)_+(x$_2$+100-(x+100)_+…+(x$_1$0+100-(x+100)_]=$\frac {1}{10}$[(x$_1$-x)_+(x$_2$-x)_+…+(x$_1$0-x)_]=s_，

故选：D．

点评：

本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．

2单选题

设样本数据x$_1$，x$_2$，…，x$_1$0的均值和方差分别为1和4，若y_i=x_i+a(a为非零常数，i=1，2，…，10)，则y$_1$，y$_2$，…，y$_1$0的均值和方差分别为（　　）

1+a，4

1+a，4+a

1，4

1，4+a

题目答案

答案解析

分析：

方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．

方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．

解答：

解：方法1：∵y_i=x_i+a，

∴E(y_i)=E(x_i)+E(a)=1+a，

方差D(y_i)=D(x_i)+E(a)=4．

方法2：由题意知y_i=x_i+a，

则y=$\frac {1}{10}$(x$_1$+x$_2$+…+x$_1$0+10×a)=$\frac {1}{10}$(x$_1$+x$_2$+…+x$_1$0)=x+a=1+a，

方差s_=$\frac {1}{10}$[(x$_1$+a-(x+a)_+(x$_2$+a-(x+a)_+…+(x$_1$0+a-(x+a)_]=$\frac {1}{10}$[(x$_1$-x)_+(x$_2$-x)_+…+(x$_1$0-x)_]=s_=4．

故选：A．

点评：

本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a_Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算．

3填空题

为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．

解答：

点评：

本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．

4填空题

由正整数组成的一组数据x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$，其平均数和中位数都是2且标准差等于1，则这组数据为，，，(按从小到大顺序填写答案)．

填空题答案仅供参考

题目答案

1133

答案解析

分析：

由题意，可设x$_1$≤x$_2$≤x$_3$≤x$_4$，x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$∈N_，根据题设条件得出x$_1$+x$_2$+x$_3$+x$_4$=8，s=$\sqrt {}$=1，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值

解答：

解：不妨设x$_1$≤x$_2$≤x$_3$≤x$_4$，x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$∈N_，

依题意得x$_1$+x$_2$+x$_3$+x$_4$=8，

s=$\sqrt {}$=1，即(x$_1$-2)_+(x$_2$-2)_+(x$_3$-2)_+(x$_4$-2)_=4，所以x$_4$≤3

结合x$_1$+x$_2$+x$_3$+x$_4$=8，及中位数都是2，可得只能x$_1$=x$_2$=1，x$_3$=x$_4$=3，则这组数据为1，1，3，3

故答案为1，1，3，3

点评：

本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断，

5单选题

在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　）

众数

平均数

中位数

标准差

题目答案

答案解析

分析：

利用众数、平均数、中位数、标准差的定义，分别求出，即可得出答案．

解答：

解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．

B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90

众数分别为88，90，不相等，A错．

平均数86，88不相等，B错．

中位数分别为86，88，不相等，C错

A样本方差S_=$\frac {1}{10}$[(82-86)_+2×(84-86)_+3×(86-86)_+4×(88-86)_]=4，标准差S=2，

B样本方差S_=$\frac {1}{10}$[(84-88)_+2×(86-88)_+3×(88-88)_+4×(90-88)_]=4，标准差S=2，D正确

故选D．

点评：

本题考查众数、平均数、中位数、标准差的定义，属于基础题．

6单选题

某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．

解答：

解：由题意可得：

x+y=20，(x-10)_+(y-10)_=8，

设x=10+t，y=10-t，则2t_=8，解得t=±2，

∴|x-y|=2|t|=4，

故选D．

点评：

本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．

7单选题

若数据x$_1$，x$_2$，…，x_n的平均数为x，方差为s_，则3x$_1$+5，3x$_2$+5，…，3x_n+5的平均数和标准差分别为（　　）

x，s

3x+5，s

3x+5，3s

3x+5，$\sqrt {}$

题目答案

答案解析

分析：

利用平均数和标准差的性质求解．

解答：

解：∵数据x$_1$，x$_2$，…，x_n的平均数为x，方差为s_，

∴3x$_1$+5，3x$_2$+5，…，3x_n+5的平均数为3x+5，标准差为3s．

故选：C．

点评：

本题考查标准差和平均数的求法，解题时要认真审题，是基础题．

8填空题

已知一组数据为-2，0，4，x，y，6，15，且这组数据的众数为6，平均数为5，则这组数的中位数为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由已知条件，先求出x，y，然后按从小到在的顺序排列，能求出中位数．

解答：

解：∵一组数据为-2，0，4，x，y，6，15，

且这组数据的众数为6，平均数为5，

∴x，y中至少有一个数是6，设x=6，

则$\frac {1}{7}$(-2+0+4+6+y+6+15)=5，

解得y=6．

∴这组数为-2，0，4，6，6，6，15，

∴这组数的中位数为6．

故答案为：6．

点评：

本题考查一组数的中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、众数的合理运用．

9单选题

如果一组数x$_1$，x$_2$，…，x_n的平均数是x，方差是s_，则另一组数$\sqrt {3}$x$_1$+$\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$x$_2$+$\sqrt {2}$，…，$\sqrt {3}$x_n+$\sqrt {2}$的平均数和方差分别是（　　）

$\sqrt {3}$x，s_

$\sqrt {3}$x+$\sqrt {2}$，s_

$\sqrt {3}$x+$\sqrt {2}$，3s_

$\sqrt {3}$x+$\sqrt {2}$，3s_+2$\sqrt {6}$s+2

题目答案

答案解析

分析：

根据一组数$\sqrt {3}$x$_1$+$\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$x$_2$+$\sqrt {2}$，…，$\sqrt {3}$x_n+$\sqrt {2}$是前一组数x$_1$，x$_2$，…，x_n扩大$\sqrt {3}$倍后，再增大$\sqrt {2}$，故其中平均数也要扩大$\sqrt {3}$倍后，再增大$\sqrt {2}$，而其方差扩大($\sqrt {3}$)_倍，由此不难得到答案．

解答：

解：∵x$_1$，x$_2$，…，x_n的平均数是x，方差是s_，

∴$\sqrt {3}$x$_1$+$\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$x$_2$+$\sqrt {2}$，…，$\sqrt {3}$x_n+$\sqrt {2}$的平均数为$\sqrt {3}$x+$\sqrt {2}$，

$\sqrt {3}$x$_1$+$\sqrt {2}$，$\sqrt {3}$x$_2$+$\sqrt {2}$，…，$\sqrt {3}$x_n+$\sqrt {2}$的方差为3s_

故选C

点评：

本题考查的知识点是平均数，方差，其中一组数扩大a倍后，平均数也扩大a倍，方差扩大扩大a_倍，一组数增加b后，平均数也增加b，方差不变是解答本题的关键．

10单选题

已知两组样本数据x$_1$，x$_2$，…x_n的平均数为h，y$_1$，y$_2$，…y_m的平均数为k，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为（　　）

$\frac {h+k}{2}$

$\frac {nh+mk}{m+n}$

$\frac {nk+mh}{m+n}$

$\frac {h+k}{m+n}$

题目答案

答案解析

分析：

首先根据所给的两组数据的个数和平均数求出这两组数据的和，把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，要求两组数据合成一组的平均数，只要用两组数据的和除以数据的个数即可．

解答：

解：∵样本数据x$_1$，x$_2$，…x_n的平均数为h，

y$_1$，y$_2$，…y_m的平均数为k，

∴第一组数据的和是nh，

第二组数据的和是mk，

把两组数据合成一组以后，数据的个数是m+n，

所有数据的和是nh+mk，

∴这组数据的平均数是$\frac {nh+mk}{m+n}$，

故选B．

点评：

本题考查两组数据的平均数，考查平均数的求法和意义，实际上这是一个加权平均数的求法，本题是一个基础题．

11单选题

已知一个样本1、3、2、x、5，其平均数是3，则这个样本的标准差是（　　）

$\sqrt {10}$

$\sqrt {2}$

题目答案

答案解析

分析：

先运用平均数的公式求出x的值，然后再代入方差的公式，求出方差，再开方后即可得出标准差．

解答：

解：因为样本平均数是3，

所以x=3×5-1-3-2-5，即x=4，

所以s_=$\frac {1}{5}$×[(1-3)_+(3-3)_+(2-3)_+(4-3)_+(5-3)_)=2，

则标准差为$\sqrt {2}$．

故选：D．

点评：

本题考查的是方差和标准差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．属于基础题．

12单选题

在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是（　　）

总体容量越大，估计越精确

总体容量越小，估计越精确

样本容量越大，估计越精确

样本容量越小，估计越精确

题目答案

答案解析

分析：

用样本频率估计总体分布的过程中，估计的是否准确与总体的数量无关，只与样本容量在总体中所占的比例有关，对于同一个总体，样本容量越大，估计的越准确．

解答：

解：∵用样本频率估计总体分布的过程中，

估计的是否准确与总体的数量无关，

只与样本容量在总体中所占的比例有关，

∴样本容量越大，估计的越准确，

故选C．

点评：

本题考查抽样和样本估计总体的实际应用，注意在一个总体中抽取一定的样本估计总体，估计的是否准确，只与样本在总体中所占的比例有关．

13填空题

已知一组数据x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$，x$_5$，x$_6$的平均数是2，标准差是$\frac {1}{5}$，则另一组数据5x$_1$-8，5x$_2$-8，5x$_3$-8，5x$_4$-8，5x$_5$-8，5x$_6$-8的标准差为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先表示出数据x$_1$，x$_2$，x$_3$，x$_4$，x$_5$，x$_6$的平均数，方差；然后表示新数据的平均数和方差，通过代数式的变形即可求得新数据的平均数和方差，进而根据标准差的概念得到新数据的标准差．

解答：

解：由题意知，原数据的平均数x=$\frac {1}{6}$(x$_1$+x$_2$+…+x$_6$)=2，

方差S_=$\frac {1}{6}$[(x$_1$-2)_+(x$_2$-2)_+…+(x$_6$-2)_]=($\frac {1}{5}$)_=$\frac {1}{25}$，

另一组数据的平均数x′=$\frac {1}{6}$[(5x$_1$-8)+(5x$_2$-8)+…+(5x$_6$-8)]

=$\frac {1}{6}$[5(x$_1$+x$_2$+…+x$_6$)-6×8]

=$\frac {1}{6}$×5(x$_1$+x$_2$+…+x$_5$)-8

=5x-8=2，

方差S$_2$_=$\frac {1}{6}$[(5x$_1$-8-2)_+(5x$_2$-8-2)_+…+(5x$_6$-8-2)_]

=$\frac {1}{6}$×5_×[(x$_1$-2)_+(x$_2$-2)_+…+(x$_5$-2)_]=25S_=25×$\frac {1}{25}$=1，

即标准差为：$\sqrt {}$=1．

故答案为：1．

点评：

本题考查了平均数、方差的计算．关键是熟悉计算公式，会将所求式子变形，再整体代入．

14填空题

样本数据18，16，15，16，20的方差S_=．

填空题答案仅供参考

题目答案

3.2

答案解析

分析：

欲求“方差”，根据题意，先求出这组数据的平均数，再利用方差公式S_=$\frac {1}{n}$[(x$_1$-x)_+(x$_2$-x)_+…+(x_n-x)_]计算即得．

解答：

解：平均数 x=$\frac {1}{5}$(18+16+15+16+20)=17，

方差S_=$\frac {1}{5}$[(18-17)_+(16-17)_+(15-17)_+(16-17)_+(20-17)_]=3.2．

故答案为：3.2．

点评：

本题求数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．考查最基本的知识点．本题主要考查方差的定义．

15填空题

将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的平均数是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

利用加权平均数的计算公式进行计算．用20个数的总和除以20即可．

解答：

解：这两组数据的总和为10×50+10×40=900，

那么这20个数的平均数是$\frac {900}{20}$=45．

故答案为：45．

点评：

本题考查加权平均数的计算方法．一组数据的平均数等于所有数据的和除以数据的个数．

16单选题

如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是(　　)

12.5 12.5

12.5 13

13 12.5

13 13

题目答案

答案解析

分析：

根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线与x轴交点的横坐标，进行解题即可．

解答：

解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，

∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线与x轴交点的横坐标

第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可

∴中位数是13

故选B．

点评：

用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×$\frac {频率}{组距}$=频率，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

17单选题

某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|，利用换元法来解出结果．

解答：

解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，(x-10)_+(y-10)_=8，

设x=10+t，y=10-t，由(x-10)_+(y-10)_=8得t_=4；

∴|x-y|=2|t|=4，

故选D．

点评：

本题是一个平均数和方差的综合题，根据所给的平均数和方差，代入方差的公式进行整理，本题是一个基础题，可以作为选择题和填空题出现．

18单选题

甲乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲乙两人的平均成绩分别用x_甲、x_乙表示，则(　　)

x_甲＞x_乙，且甲比乙稳定

x_甲＞x_乙，且乙比甲稳定

x_甲＜x_乙，且甲比乙稳定

x_甲＜x_乙，且乙比甲稳定

题目答案

答案解析

分析：

根据茎叶图看出两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均分比乙的平均分要高，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中．

解答：

解：甲的平均成绩是 (88+89+90+91+92)÷5=90，

甲的方差是[(88-90)_+(89-90)_+(90-90)_+(91-90)_+(92-90)_]÷5=2

乙的平均成绩是 (83+88+89+89+91)÷5=88

乙的方差是[(83-88)_+(88-88)_+(89-88)_+(89-88)_+(91-88)_]÷5=7.2

因为2＜7.2

所以甲稳定

故选A．

点评：

本题考查茎叶图，茎叶图的优点是可以保存数据的原始状态，没有数据损失，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度．

19单选题

用样本估计总体，下列说法正确的是（　　）

样本的结果就是总体的结果

样本容量越大，估计就越精确

样本容量越小，估计就越精确

样本的方差可以近似地反映总体的平均状态

题目答案

答案解析

分析：

用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，可以用样本的标准差，平均数，方差来估计总体的，样本的标准差可以近似地反映总体的波动状态，数据的方差越大，说明数据越不稳定．

解答：

解：用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，

样本的平均值可以近似地反映总体的平均状态，

样本的标准差可以近似地反映总体的波动状态，数据的方差越大，说明数据越不稳定，

样本的结果可以粗略的估计总体的结果，但不就是总体的结果．

故选B．

点评：

本题考查总体分布的估计，是一个基础题，用样本估计总体，样本的容量越大，估计的越准确，这种题目若出现是一个送分题目．

20单选题

用样本估计总体，下列说法正确的个数是（　　）①样本的概率与实验次数有关；②样本容量越大，估计就越精确；③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；④数据的方差越大，说明数据越不稳定．

题目答案

答案解析

分析：

样本的概率与实验次数无关；用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，可以用样本的标准差，平均数，方差来估计总体的，样本的标准差可以近似地反映总体的波动状态，数据的方差越大，说明数据越不稳定．据此进行判断即可．

解答：

解：①样本的概率与实验次数无关，故①错；②用样本估计总体时，样本容量越大，估计就越精确，②正确；样本的标准差可以近似地反映总体的波动状态，数据的方差越大，说明数据越不稳定，故③不对，④对．故选B．

点评：

本题考查总体分布的估计，是一个基础题，用样本估计总体，样本的容量越大，估计的越准确，这种题目若出现是一个送分题目．

21单选题

用样本的频率分布来估计总体情况时，下列选项中正确的是（　　）

估计准确与否与样本容量无关

估计准确与否只与总体容量有关

样本容量越大，估计结果越准确

估计准确与否只与所分组数有关

题目答案

答案解析

分析：

题目给出的四个选项都是描述用样本频率分布估计总体情况的，只要理解样本频率分布估计总体情况的实质，结合教材内容，逐一核对四个选项，就能得到正确答案．

解答：

解：用样本的频率分布估计总体情况时，所取得的样本的容量越大，分组时组数越多，对应的组距越小，得到的频率折线图越接近总体密度曲线，总体密度曲线反映了总体在这个范围内的取之的百分比．所以样本容量越大估计的结果越准确．

故选C．

点评：

本题考查了用样本频率分布估计总体分布，考查了频率分布折线图和总体密度曲线的关系，也考差了对课本知识的记忆，是基础题．

读趣百科

《用样本的数字特征估计总体的数字特征》用样本的数字特征估计总体的数字特征

1单选题

题目答案

您的答案

答案解析

2单选题

题目答案

您的答案

答案解析

3填空题

题目答案

您的答案

答案解析

4填空题

题目答案

您的答案

答案解析

5单选题

题目答案

您的答案

答案解析

6单选题

题目答案

您的答案

答案解析

7单选题

题目答案

您的答案

答案解析

8填空题

题目答案

您的答案

答案解析

9单选题

题目答案

您的答案

答案解析

10单选题

题目答案

您的答案

答案解析

11单选题

题目答案

您的答案

答案解析

12单选题

题目答案

您的答案

答案解析

13填空题

题目答案

您的答案

答案解析

14填空题

题目答案

您的答案

答案解析

15填空题

题目答案

您的答案

答案解析

16单选题

题目答案

您的答案

答案解析

17单选题

题目答案

您的答案

答案解析

18单选题

题目答案

您的答案

答案解析

19单选题

题目答案

您的答案

答案解析

20单选题

题目答案