在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a-c=$\frac {$\sqrt {6}$}{6}$b，sinB=$\sqrt {6}$sinC，则cosA与cos(2A-$\frac {π}{6}$)的值分别为( )
分析：
(Ⅰ)已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
(Ⅱ)由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：(Ⅰ)将sinB=$\sqrt {6}$sinC，利用正弦定理化简得：b=$\sqrt {6}$c，
代入a-c=$\frac {$\sqrt {6}$}{6}$b，得：a-c=c，即a=2c，
∴cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$=$\frac {6c_+c_-4c}{2$\sqrt {6}$c}$=$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$；
(Ⅱ)∵cosA=$\frac {$\sqrt {6}$}{4}$，A为三角形内角，
∴sinA=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {10}$}{4}$，
∴cos2A=2cos_A-1=-$\frac {1}{4}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac {$\sqrt {15}$}{4}$，
则cos(2A-$\frac {π}{6}$)=cos2Acos$\frac {π}{6}$+sin2Asin$\frac {π}{6}$=-$\frac {1}{4}$×$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$+$\frac {$\sqrt {15}$}{4}$×$\frac {1}{2}$=$\frac {$\sqrt {15}$-$\sqrt {3}$}{8}$，所以选A．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．则a和sin(A+$\frac {π}{4}$)的值分别为( )
分析：
(Ⅰ)利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；
(Ⅱ)求出sinA，cosA，即可求sin(A+$\frac {π}{4}$)的值．
解答：
解：(Ⅰ)∵A=2B，$\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$，b=3，
∴a=6cosB，
∴a=6•$\frac {a_+1-9}{2a}$，
∴a=2$\sqrt {3}$；
(Ⅱ)∵a=6cosB，
∴cosB=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，
∴sinB=$\frac {$\sqrt {6}$}{3}$，
∴sinA=sin2B=$\frac {2$\sqrt {2}$}{3}$，cosA=cos2B=2cos_B-1=-$\frac {1}{3}$，
∴sin(A+$\frac {π}{4}$)=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$(sinA+cosA)=$\frac {4-$\sqrt {2}$}{6}$，所以选A．
点评：
本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
若△ABC的内角满足sinA+$\sqrt {2}$sinB=2sinC，则cosC的最小值是( )
分析：
根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
解答：
解：由正弦定理得a+$\sqrt {2}$b=2c，得c=$\frac {1}{2}$(a+$\sqrt {2}$b)，
由余弦定理得cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$=$\frac {a_+b_-$\frac {1}{4}$(a+$\sqrt {2}$b)}{2ab}$=$\frac {$\frac {3}{4}$a_+$\frac {1}{2}$b_-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$ab}{2ab}$
=$\frac {$\frac {3}{4}$a_+$\frac {1}{2}$b}{2ab}$-$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$≥$\frac {2•$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a•$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$b}{2ab}$-$\frac {$\sqrt {2}$}{4}$=$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$，
当且仅当$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$a=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$b时，取等号，
故$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$≤cosC＜1，故cosC的最小值是$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$．
故答案为：$\frac {$\sqrt {6}$-$\sqrt {2}$}{4}$，所以选C．
点评：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键．
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．
分析：
由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．
解答：
解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=$\frac {5}{3}$b∵b+c=2a，∴c=$\frac {7}{3}$b∴cosC=$\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$=-$\frac {1}{2}$∵C∈(0，π)∴C=$\frac {2π}{3}$故答案为：$\frac {2π}{3}$
点评：
本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos_A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）
分析：
利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出cosA的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．
解答：
解：∵23cos_A+cos2A=23cos_A+2cos_A-1=0，即cos_A=$\frac {1}{25}$，A为锐角，
∴cosA=$\frac {1}{5}$，
又a=7，c=6，
根据余弦定理得：a_=b_+c_-2bc•cosA，即49=b_+36-$\frac {12}{5}$b，
解得：b=5或b=-$\frac {13}{5}$(舍去)，
则b=5．
故选D
点评：
此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
在△ABC中，sin_A≤sin_B+sin_C-sinBsinC，则A的取值范围是（ ）
分析：
先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边的值，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围．
解答：
解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵sin_A≤sin_B+sin_C-sinBsinC，
∴a_≤b_+c_-bc
∴cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$≥$\frac {1}{2}$
∴A≤$\frac {π}{3}$
∵A＞0
∴A的取值范围是(0，$\frac {π}{3}$]
故选C
点评：
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边且满足4cos_$\frac {A}{2}$-cos2(B+C)=$\frac {7}{2}$，则角A=°；若b+c=3，则a的最小值为．
分析：
(Ⅰ)由三角形的内角和定理得到B+C=π-A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦公式化简已知的等式，得到关于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
(Ⅱ)由余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入得到一个关系式，变形后将b+c的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．
解答：
解：(Ⅰ)∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴4cos_$\frac {A}{2}$-cos2(B+C)=2(1+cosA)-cos2A=-2cos_A+2cosA+3=$\frac {7}{2}$，
∴2cos_A-2cosA+$\frac {1}{2}$=0，
∴cosA=$\frac {1}{2}$，
又0＜A＜π，
∴A=60°；
(Ⅱ)由余弦定理cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$得：bc=b_+c_-a_，
∴a_=(b+c)_-3bc=9-3bc≥9-3($\frac {b+c}{2}$)_=$\frac {9}{4}$，
∴a≥$\frac {3}{2}$，
则a的最小值为$\frac {3}{2}$，当且仅当b=c=$\frac {3}{2}$时取等号．
点评：
此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的余弦公式，余弦定理，基本不等式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
在△ABC中，已知sin_A=sin_C+ sin_B+$\sqrt {3}$sin CsinB，则角A的值为．
分析：
由正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosA，把得到的关系式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
解答：
解：根据正弦定理 $\frac {a}{sinA}$=$\frac {b}{sinB}$=$\frac {c}{sinC}$化简已知等式得：
a_=b_+c_+$\sqrt {3}$bc，
∴cosA=$\frac {b_+c_-a}{2bc}$=-$\frac {$\sqrt {3}$bc}{2bc}$=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，又A为三角形的内角，
则A=150°．
故答案为：$\frac {5π}{6}$．
点评：
此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a_+b_=2c_，则cosC的最小值等于．
分析：
通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．
解答：
解：因为a_+b_=2c_，
所以由余弦定理可知，c_=2abcosC，
cosC=$\frac {c}{2ab}$=$\frac {1}{2}$×$\frac {a_+b}{2ab}$≥$\frac {1}{2}$．
故答案为：$\frac {1}{2}$．
点评：
本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．
在△ABC中，若a_-c_=2b，$\frac {tanA}{tanC}$=3，则b等于（ ）
分析：
由 $\frac {tanA}{tanC}$=3=$\frac {sinAcosC}{cosAsinC}$，可得sinB=4cosAsinC，再由正弦定理可得$\frac {b}{c}$=$\frac {sinB}{sinC}$=4cosA=4×$\frac {b_+c_-a}{2bc}$，化简可得 b_=2(b_+c_-a_)．再根据 a_-c_=2b 求得b的值．
解答：
解：在△ABC中，∵$\frac {tanA}{tanC}$=3=$\frac {sinAcosC}{cosAsinC}$，∴sinAcosC=3cosAsinC，
∴sin(A+C)=4cosAsinC，∴sinB=4cosAsinC，
∴$\frac {b}{c}$=$\frac {sinB}{sinC}$=4cosA=4×$\frac {b_+c_-a}{2bc}$，化简可得 b_=2(b_+c_-a_)．
再根据 a_-c_=2b，可得b_-4b=0，解得 b=4，
故选：B．
点评：
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
在△ABC中，若$\frac {sinC}{sinA}$=3，b_-a_=$\frac {5}{2}$ac，则cosB的值为（ ）
分析：
已知第一个等式利用正弦定理化简，得到c=3a，代入第二个等式变形出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b与c代入即可求出值．
解答：
解：将$\frac {sinC}{sinA}$=3利用正弦定理化简得：$\frac {c}{a}$=3，即c=3a，
把c=3a代入b_-a_=$\frac {5}{2}$ac，得：b_-a_=$\frac {5}{2}$ac=$\frac {15}{2}$a_，即b_=$\frac {17}{2}$a_，
则cosB=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {a_+9a_-$\frac {17}{2}$a}{6a}$=$\frac {1}{4}$．
故选：D．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b=a+c，则B的取值最大是．
分析：
由已知等式变形表示出b，利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b代入并利用基本不等式变形求出cosB的范围，即可确定出B的范围．
解答：
解：∵2b=a+c，即b=$\frac {a+c}{2}$，
∴cosB=$\frac {a_+c_-b}{2ac}$=$\frac {a_+c_-$\frac {(a+c)}{4}$}{2ac}$=$\frac {3(a_+c_)-2ac}{8ac}$≥$\frac {4ac}{8ac}$=$\frac {1}{2}$，
则B的范围为(0，$\frac {π}{3}$]．
故答案为：$\frac {π}{3}$．
点评：
此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
设f(x)=a_x-(a_-b_)x-4c_，其中a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，若f(2)=0，则角C的最大取值是．
分析：
通过f(2)=0，得到a，b，c的关系式，利用基本不等式推出a_+b_=2c_≥2ab，通过余弦定理求出C的范围．
解答：
解：∵f(x)=a_x-(a_-b_)x-4c_，f(2)=0
∴4a_-(a_-b_)2-4c_=0
∴a_+b_-2c_=0
∴a_+b_=2c_≥2ab
当且仅当a=b=c时等号成立
∵cosC=$\frac {a_+b_-c}{2ab}$
∴cosC=$\frac {c}{2ab}$≥$\frac {ab}{2ab}$=$\frac {1}{2}$
∴0＜C≤$\frac {π}{3}$
∴角C的取值范围为(0，$\frac {π}{3}$]；
故答案为：(0，$\frac {π}{3}$]．
点评：
本题是中档题，考查函数与余弦定理、基本不等式的应用，注意三角函数的范围的确定．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=$\frac {1}{4}$，$\xrightarrow[""]{AC}$•$\xrightarrow[""]{CB}$=-2且a+b=5，则c等于（ ）
分析：
由已知cosC=$\frac {1}{4}$，$\xrightarrow[""]{AC}$•$\xrightarrow[""]{CB}$=-2，利用数量积公式得到ab=8，再利用余弦定理可得，c_=a_+b_-2abcosC可先求c．
解答：
解：由已知cosC=$\frac {1}{4}$，$\xrightarrow[""]{AC}$•$\xrightarrow[""]{CB}$=-2，
得b•a•cos(π-C)=-2，⇒b•a•cosC=2，
∴ab=8，
利用余弦定理可得，c_=a_+b_-2abcosC=(a+b)_-2ab-2abcosC=5_-2×8-4=5
∴c=$\sqrt {5}$
故选A．
点评：
本题主要考查了平面向量的综合题，考查了余弦定理的应用，熟练掌握公式是解决此题的关键．
在钝角△ABC中，∠B＞90°，a=2x-5，b=x+1，c=4，则x的取值范围是( )
分析：
根据∠B＞90°，结合三角形的边角的关系，得到不等式组，解出即可．
解答：
解：因∠B＞90°，
故a、b、c满足下列条件：
$\left\{\begin{matrix}a＞0 \ b＞0 \ a+c＞b \ a_+c_＜b_ \ \end{matrix}\right.$即$\left\{\begin{matrix}2x-5＞0 \ x+1＞0 \ 2x-5+4＞x+1 \ (2x-5)_+4_＜(x+1)_ \ \end{matrix}\right.$，
即$\left\{\begin{matrix}x＞$\frac {5}{2}$ \ x＞-1 \ x＞2 \ $\frac {10}{3}$＜x＜4 \ \end{matrix}\right.$，
故$\frac {10}{3}$＜x＜4，
故答案为：$\frac {10}{3}$＜x＜4，所以选A．
点评：
解决本题的关键在于合理、充分、灵活运用条件∠B≥90_，其中由b_＞a_+c_可得b＞a，b＞c，这样自然有a+b＞c，b+c＞a，故b＞a、b＞c、a+b＞c、b+c＞a，本题属于中档题．
在锐角△ABC中，已知某两边a=1，b=3，那么第三边的变化范围是（ ）
分析：
题中已知△ABC是锐角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c的变化范围．
解答：
解：①∵当∠C是最大角时，有∠C＜90°，
∴c＜$\sqrt {}$，∴c＜$\sqrt {10}$，
②当∠B是最大角时，有∠B＜90°
∴b_＜a_+c_
∴9＜1+c_
∴c＞2$\sqrt {2}$，
∴第三边c的变化范围：2$\sqrt {2}$＜c＜$\sqrt {10}$，
故选：D．
点评：
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用，关键是确定最大角．