设a，b，m，n∈R，且a_+b_=5，ma+nb=5，则$\sqrt {}$的最小值为( )
分析：
根据柯西不等式(a_+b_)(c_+d_)≥(ac+bd)_当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．
解答：
解：由柯西不等式得，
(ma+nb)_≤(m_+n_)(a_+b_)
∵a_+b_=5，ma+nb=5，
∴(m_+n_)≥5
∴$\sqrt {}$的最小值为$\sqrt {5}$
故答案为：D．
点评：
本题主要考查了柯西不等式，属于中档题．
设x，y，z∈R，且满足：x+y+z_=1，x+2y+3z=$\sqrt {14}$，则x+y+z=( )
分析：
根据柯西不等式，算出(x+2y+3z)_≤14(x+y+z)=14，从而得到x+2y+3z恰好取到最大值$\sqrt {14}$，由不等式的等号成立的条件解出x=$\frac {$\sqrt {14}$}{14}$、y=$\frac {$\sqrt {14}$}{7}$且z=$\frac {3$\sqrt {14}$}{14}$，由此即可得到x+y+z的值．
解答：
解：根据柯西不等式，得
(x+2y+3z)_≤(1_+2_+3_)(x+y+z)=14(x+y+z)
当且仅当$\frac {x}{1}$=$\frac {y}{2}$=$\frac {z}{3}$时，上式的等号成立
∵x+y+z_=1，∴(x+2y+3z)_≤14，
结合x+2y+3z=$\sqrt {14}$，可得x+2y+3z恰好取到最大值$\sqrt {14}$
∴$\frac {x}{1}$=$\frac {y}{2}$=$\frac {z}{3}$=$\frac {$\sqrt {14}$}{14}$，可得x=$\frac {$\sqrt {14}$}{14}$，y=$\frac {$\sqrt {14}$}{7}$，z=$\frac {3$\sqrt {14}$}{14}$
因此，x+y+z=$\frac {$\sqrt {14}$}{14}$+$\frac {$\sqrt {14}$}{7}$+$\frac {3$\sqrt {14}$}{14}$=$\frac {3$\sqrt {14}$}{7}$
故答案为：A．
点评：
本题给出x、y、z的平方和等于1，在x+2y+3z恰好取到最大值$\sqrt {14}$的情况下求x+y+z的值．着重考查了运用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．抓住柯西不等式的等号成立的条件，是本题得以解决的关键．
已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a_+4b_+9c_的最小值为．
分析：
根据柯西不等式，得(a+2b+3c)_=(1×a+1×2b+1×3c)_≤(1_+1_+1_)(a_+4b_+9c_)=3(a_+4b_+9c_)，化简得a_+4b_+9c_≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=$\frac {2}{3}$时，a_+4b_+9c_的最小值为12．
解答：
解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得(a+2b+3c)_=(1×a+1×2b+1×3c)_≤(1_+1_+1_)[a_+(2b)_+(3c)_]
化简得6_≤3(a_+4b_+9c_)，即36≤3(a_+4b_+9c_)
∴a_+4b_+9c_≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=$\frac {2}{3}$时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=$\frac {2}{3}$时，a_+4b_+9c_的最小值为12
故答案为：12
点评：
本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a_+4b_+9c_的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．
已知实数x，y，z满足：(x-1)_+y+z_=1，则2x+2y+z的最大值是．
分析：
换元：设x-1=w，得w_+y+z_=1，利用柯西不等式得(2w+2y+z)_≤(2_+2_+1_)(w_+y+z)．因此当且仅当w=y=$\frac {2}{3}$，z=$\frac {1}{3}$时，2w+2y+z的最大值为3，进而得到2x+2y+z的最大值为3+2=5．
解答：
解：设x-1=w，得(x-1)_+y+z_=w_+y+z_=1
∴2x+2y+z=2w+2y+z+2
∵(2w+2y+z)_≤(2_+2_+1_)(w_+y+z)=9
∴-3≤2w+2y+z≤3，
当且仅当$\frac {2}{w}$=$\frac {2}{y}$=$\frac {1}{z}$，即w=y=$\frac {2}{3}$，z=$\frac {1}{3}$时，2w+2y+z的最大值为3
由此可得：2x+2y+z的最大值为3+2=5
故答案为：5
点评：
本题给出关于x、y、z的二次等式，求2x+2y+z的最大值．着重考查了柯西不等式的应用，考查了换元的数学思想，属于中档题．
已知x，y，z∈R，且x-2y-3z=4，则x+y+z_的最小值为．
分析：
利用题中条件：“x-2y-3z=4”构造柯西不等式：[x+(-2)y+(-3)z]_≤[1_+(-2)_+(-3)_](x+y+z)，利用这个条件进行计算即可．
解答：
解：由柯西不等式，得[x+(-2)y+(-3)z]_≤[1_+(-2)_+(-3)_](x+y+z)，
即(x-2y-3z)_≤14(x+y+z)，…(5分)
即16≤14(x+y+z)．
∴x+y+z_的≥$\frac {8}{7}$，
即x+y+z_的最小值为$\frac {8}{7}$．
故答案为：$\frac {8}{7}$．
点评：
本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：[x+(-2)y+(-3)z]_≤[1_+(-2)_+(-3)_](x+y+z)．