《弦长问题》弦长问题

1单选题

直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1，1)，且该双曲线与直线y=$\frac {1}{2}$x-$\frac {3}{2}$相交所得弦长为$\frac {4$\sqrt {15}$}{3}$，则该双曲线方程为( )

$\frac {x}{4}$-y_=1

$\frac {x}{2}$-y_=1

$\frac {x}{3}$-$\frac {y}{3}$=1

x-y_=1

题目答案

答案解析

分析：

直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1，1)，可得$\frac {b}{a}$=1．设双曲线的方程为x-y_=m．与直线方程联立，利用弦长公式即可得出m．

解答：

解：∵直线y=kx与双曲线$\frac {x}{a}$-$\frac {y}{b}$=1的左右两支都有交点的充要条件是k∈(-1，1)，

∴$\frac {b}{a}$=1．

设双曲线的方程为x-y_=m．

联立$\left\{\begin{matrix}x-2y-3=0 \ x-y_=m \ \end{matrix}\right.$，化为3y+12y+9-m=0．

∵直线与双曲线有两个交点，∴△=12_-12(9-m)＞0，解得m＞-3．

∴y$_1$+y$_2$=-4，y$_1$y$_2$=3-$\frac {m}{3}$．

∴$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=$\frac {4$\sqrt {15}$}{3}$，

化为m=1．满足△＞0．

因此双曲线的方程为：x-y_=1．

故答案为：x-y_=1，所以选D．

点评：

本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

2单选题

过双曲线$\frac {x}{2}$-y_=1的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|=( )

4$\sqrt {2}$

2$\sqrt {2}$

$\sqrt {3}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得右焦点坐标，由直线的倾斜角可得斜率，进而可得直线的方程，与曲线方程联立消y可得关于x的方程，由根与系数关系可得x$_1$+x$_2$=4$\sqrt {3}$，x$_1$•x$_2$=8，代入弦长公式|AB|=$\sqrt {}$化简可得答案．

解答：

解：∵双曲线的方程为：$\frac {x}{2}$-y_=1，

∴a=$\sqrt {2}$，b=1，c=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$，

故双曲线的右焦点坐标为($\sqrt {3}$，0)

故直线AB的方程为y=x-$\sqrt {3}$，与$\frac {x}{2}$-y_=1联立，

消掉y并整理可得x-4$\sqrt {3}$x+8=0，(*)

显然△=(-4$\sqrt {3}$)_-4×1×8=16＞0，

故方程(*)有两个不等实根x$_1$，x$_2$，

由根与系数关系可得x$_1$+x$_2$=4$\sqrt {3}$，x$_1$•x$_2$=8，

故|AB|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=4$\sqrt {2}$

故答案为：A．

点评：

本题考查双曲线的性质，涉及弦长公式的应用，属中档题．

3单选题

已知直线y=x-4被抛物线y_=2mx(m≠0)截得的弦长为6$\sqrt {2}$，抛物线的标准方程是( )

y_=6x

y_=2x或y_=-18x

x_=2y或x_=-18x

x_=6y

题目答案

答案解析

分析：

设直线与抛物线相交于点A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，将直线方程与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由韦达定理得到x$_1$+x$_2$=2(4+m)，x$_1$x$_2$=16．根据两点的距离公式与直线的方程，将AB长表示成关于m的式子，结合题意建立关于m的等式，解之得到实数m的值，即可得到所求抛物线的标准方程．

解答：

解：设直线y=x-4与抛物线y_=2mx交于点A(x$_1$，y$_1$)、B(x$_2$，y$_2$)，

由$\left\{\begin{matrix}y=x-4 \ y_=2mx \ \end{matrix}\right.$消去y，可得x-2(4+m)x+16=0，

∴x$_1$+x$_2$=2(4+m)，x$_1$x$_2$=16，

可得(x$_1$-x$_2$)_=(x$_1$+x$_2$)_-4x$_1$x$_2$=4(4+m)_-4×16=4m_+32m，

(y$_1$-y$_2$)_=[(x$_1$-4)-(x$_2$-4)]_=(x$_1$-x$_2$)_=4m_+32m，

因此，|AB|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=6$\sqrt {2}$，

解之得m=1或-9，可得抛物线的标准方程是y_=2x或y_=-18x，所以选B．

点评：

本题给出抛物线被已知直线截得的弦长，求抛物线的标准方程．着重考查了两点间的距离公式、抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．

4单选题

椭圆与直线x+y=1交于A，B两点，点C是线段AB的中点，且|AB|=2$\sqrt {2}$，直线OC的斜率为$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，椭圆的标准方程为( )

$\frac {x}{36}$+$\frac {y}{20}$=1

$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{5}$=1

$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$}$=1

$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{3}$=1或$\frac {x}{36}$+$\frac {y}{20}$=1

题目答案

答案解析

分析：

设椭圆的方程为mx+ny_=1，将椭圆方程与直线x+y=1联解消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系与弦长公式，结合题意建立m、n的关系式，化简得m-mn+n=(m+n)_．再由点C是线段AB的中点，利用中点坐标公式和斜率公式，列式并化简得到$\frac {m}{n}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，联解得到m、n的值，即可得到所求椭圆的标准方程．

解答：

解：根据题意，设椭圆的方程是：mx+ny_=1，(m、n为不相等的正数)．

由$\left\{\begin{matrix}mx+ny_=1 \ x+y=1 \ \end{matrix}\right.$，消去y得：(m+n)x-2nx+n-1=0；

设A(x$_1$，y$_1$)，B(x$_2$，y$_2$)，可得x$_1$+x$_2$=$\frac {2n}{m+n}$，x$_1$x$_2$=$\frac {n-1}{m+n}$，

∴|x$_1$-x$_2$|=$\sqrt {}$=$\frac {$\sqrt {m-mn+n}$}{m+n}$

∵|AB|=2$\sqrt {2}$，直线OC的斜率k=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$，

∴|AB|=$\sqrt {}$|x$_1$-x$_2$|=$\frac {2$\sqrt {2}$•$\sqrt {m-mn+n}$}{m+n}$=2$\sqrt {2}$，

化简得m-mn+n=(m+n)_…①，

∵点C是线段AB的中点，

∴设C(λ，μ)，可得λ_ =$\frac {1}{2}$(x$_1$+x$_2$)=$\frac {n}{m+n}$，μ_ =1-x_C=$\frac {m}{m+n}$

因此，OC的斜率k_OC=$\frac {μ_}{λ_}$=$\frac {m}{n}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$…②

联解①②，可得m=$\frac {1}{3}$，n=$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$，

∴所求椭圆标准方程为$\frac {1}{3}$x+$\frac {$\sqrt {2}$}{3}$y_=1，化简得$\frac {x}{3}$+$\frac {y}{$\frac {3$\sqrt {2}$}{2}$}$=1，所以选C．

点评：

本题着重考查了椭圆的标准方程、直线的斜率公式、一元二次方程根与系数的关系和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．

5填空题

F$_1$、F$_2$是椭圆$\frac {x^2}{2}$+$y^{2}$=1的两个焦点，过F$_2$作倾斜角为$\frac {π}{4}$的弦AB，则△F$_1$AB的面积为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {4}{3}$

答案解析

分析：

解答：

点评：

6单选题

过椭圆$\frac {x}{5}$+$\frac {y}{4}$=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则弦AB的长为( )

$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

$\frac {3}{2}$

$\frac {5$\sqrt {5}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

求出椭圆的右焦点F$_2$(1，0)，从而设直线方程y=2x-2，将椭圆方程与直线方程联解得出A、B两点的坐标，最后用两点距离公式，即可得出弦AB的长度．

解答：

解：∵椭圆方程为$\frac {x}{5}$+$\frac {y}{4}$=1，

∴a_=5，b_=4，得c=$\sqrt {}$=1，可得右焦点F$_2$(1，0)，

设过椭圆的右焦点且斜率为2的直线为l，

得l方程为y=2(x-1)即y=2x-2

由$\left\{\begin{matrix}$\frac {x}{5}$+$\frac {y}{4}$=1 \ y=2x-2 \ \end{matrix}\right.$联解，得$\left\{\begin{matrix}x=0 \ y=2 \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {5}{3}$ \ y=-$\frac {4}{3}$ \ \end{matrix}\right.$

∴A(0，2)，B($\frac {5}{3}$，-$\frac {4}{3}$)

由两点距离公式，得|AB|=$\sqrt {}$=$\frac {5$\sqrt {5}$}{3}$

故答案为：D．

点评：

本题给出椭圆方程，求经过其焦点且斜率等于2的弦长，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．

7单选题

过双曲线$\frac {x}{3}$-$\frac {y}{6}$=1的右焦点F$_2$，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|=( )

$\frac {$\sqrt {23}$}{2}$

$\frac {$\sqrt {21}$}{3}$

$\frac {9}{2}$

$\frac {16$\sqrt {3}$}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

确定直线AB的方程，代入双曲线方程，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．

解答：

解：由双曲线的方程得F$_1$(-3，0)，F$_2$(3，0)，直线AB的方程为y=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$(x-3)①

将其代入双曲线方程消去y得，5x+6x-27=0，解之得x$_1$=-3，x$_2$=$\frac {9}{5}$．

将x$_1$，x$_2$代入①，得y$_1$=-2$\sqrt {3}$，y$_2$=-$\frac {2$\sqrt {3}$}{5}$

故|AB|=$\frac {16}{5}$$\sqrt {3}$．

故答案为：$\frac {16}{5}$$\sqrt {3}$，选D．

点评：

本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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