《用an的符号判断Sn的最值》用an的符号判断Sn的最值

1填空题

若等差数列{a_n}满足a$_7$+a$_8$+a_9＞0，a$_7$+a$_1$0＜0，则当n=时，{a_n}的前n项和最大．

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题目答案

答案解析

分析：

可得等差数列{a_n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．

解答：

解：由等差数列的性质可得a$_7$+a$_8$+a_9=3a$_8$＞0，

∴a$_8$＞0，又a$_7$+a$_1$0=a$_8$+a_9＜0，∴a_9＜0，

∴等差数列{a_n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴等差数列{a_n}的前8项和最大，

故答案为：8．

点评：

本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．

2单选题

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a$_1$=-11，a$_4$+a$_6$=-6，则当S_n取最小值时，n等于（　　）

题目答案

答案解析

分析：

条件已提供了首项，故用“a$_1$，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．

解答：

解：设该数列的公差为d，则a$_4$+a$_6$=2a$_1$+8d=2×(-11)+8d=-6，解得d=2，

所以S_n=-11n+$\frac {n(n-1)}{2}$×2=n_-12n=(n-6)_-36，所以当n=6时，S_n取最小值．

故选A

点评：

本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．

3单选题

已知{a_n}为等差数列，a$_1$+a$_3$+a$_5$=105，a$_2$+a$_4$+a$_6$=99，以S_n表示{a_n}的前n项和，则使得S_n达到最大值的n是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直接的思路，但注意n取正整数这一条件．

解答：

点评：

求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．

4填空题

已知数列{a_n}为等差数列，若$\frac {a$_5$}{a$_6$}$＜-1，则数列{|a_n|}的最小项是第项．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

利用等差数列的单调性，判明正负项的分界位置(5、6之间)，再比较最靠近的0的两项a$_5$、a$_6$的绝对值的大小．

解答：

解：∵$\frac {a$_5$}{a$_6$}$＜-1＜0

∴a$_5$和a$_6$异号，即a$_5$和a$_6$是正负项的分界位置

∴数列{|a_n|}的最小项应是靠近0较近的那项，a$_5$或a$_6$，

∵$\frac {a$_5$}{a$_6$}$＜-1

∴$\frac {|a$_5$|}{|a$_6$|}$＞1，|a$_5$|＞|a$_6$|

∴数列{|a_n|}的最小项是第6项．

故答案为：6

点评：

本题主要考查了等差中项的性质．即在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，

5单选题

若数列{a_n}是等差数列，首项a$_1$＞0，a$_2$003+a$_2$004＞0，a$_2$003．a$_2$004＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

4005

4006

4007

4008

题目答案

答案解析

分析：

对于首项大于零的递减的等差数列，第2003项与第2004项的和大于零，积小于零，说明第2003项大于零且第2004项小于零，且第2003项的绝对值比第2004项的要大，由等差数列前n项和公式可判断结论．

解答：

解：∵a$_1$＞0，a$_2$003+a$_2$004＞0，a$_2$003．a$_2$004＜0，

∴首项大于零的递减的等差数列，

∴S$_4$006=$\frac {(a$_1$+a$_4$006)×4006}{2}$

=$\frac {a$_2$003+a$_2$004}{2}$×4006

＞0，

故选B

解析：

解法1：由a$_2$003+a$_2$004＞0，a$_2$003•a$_2$004＜0，知a$_2$003和a$_2$004两项中有一正数一负数，又a$_1$＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a$_2$003＞a$_2$004，即a$_2$003＞0，a$_2$004＜0．

∴S$_4$006=$\frac {4006(a$_1$+a$_4$006)}{2}$=$\frac {4006(a$_2$003+a$_2$004)}{2}$＞0，

∴S$_4$007=$\frac {4_007}{2}$•(a$_1$+a$_4$007)=4007•a$_2$004＜0，

故4006为S_n＞0的最大自然数．选B．

解法2：由a$_1$＞0，a$_2$003+a$_2$004＞0，a$_2$003•a$_2$004＜0，同解法1的分析得a$_2$003＞0，a$_2$004＜0，

∴S$_2$003为S_n中的最大值．

∵S_n是关于n的二次函数，如草图所示，

∴2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，

∴$\frac {4_007}{2}$在对称轴的右侧．

根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点B的左侧，4007，4008都在其右侧，S_n＞0的最大自然数是4006．

点评：

本题没有具体的数字运算，它考查的是等差数列的性质，有数列的等差中项，等差数列的前n项和，实际上这类问题比具体的数字运算要困难，对同学们来说有些抽象．

6单选题

已知等差数列{a_n}中，有$\frac {a$_1$1}{a$_1$0}$+1＜0，且该数列的前n项和S_n有最大值，则使得S_n＞0 成立的n的最大值为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得$\frac {a$_1$1+a$_1$0}{a$_1$0}$＜0，公差d＜0，进而可得S$_1$9＞0，S$_2$0＜0，可得答案．

解答：

解：由$\frac {a$_1$1}{a$_1$0}$+1＜0可得$\frac {a$_1$1+a$_1$0}{a$_1$0}$＜0

又∵数列的前n项和S_n有最大值，

∴可得数列的公差d＜0，

∴a$_1$0＞0，a$_1$1+a$_1$0＜0，a$_1$1＜0，

∴a$_1$+a$_1$9=2a$_1$0＞0，a$_1$+a$_2$0=a$_1$1+a$_1$0＜0．

∴S$_1$9＞0，S$_2$0＜0

∴使得S_n＞0的n的最大值n=19，

故选B

点评：

本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用，属基础题．

7填空题

设数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，已知a$_1$+a$_7$=66，a$_2$+a$_8$=62，若对任意n∈N_，都有S_n≤S_k成立，则正整数k=．

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题目答案

答案解析

分析：

根据a$_1$+a$_7$=66，a$_2$+a$_8$=62，求得数列的首项与公差，从而可得数列前n项和，求其最值，即可得到结论．

解答：

解：设等差数列的公差为d，则

∵a$_1$+a$_7$=66，a$_2$+a$_8$=62，

∴2a$_1$+6d=66，2a$_1$+8d=62，

∴d=-2，a$_1$=39

∴S_n=39n+$\frac {n(n-1)}{2}$•(-2)=-n_+40n=-(n-20)_-400

∴n=20时，S_n取得最大值

∵对任意n∈N_，都有S_n≤S_k成立，

∴正整数k=20

故答案为：20

点评：

本题考查等差数列的通项与求和，考查数列前n项和的最值，属于基础题．

8单选题

已知{$a_n$}为等差数列，若$\frac {a_{15}}{a_14}$＜-1，且它的前n项和$S_n$有最小值，那么当$S_n$取到最小正值时，n=（　　）

题目答案

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分析：

解答：

点评：

本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，解答的关键是明确数列从第几项开始取得正值，是中档题．

9单选题

等差数列{$a_n$}中，$\frac {a_{11}}{a_{10}}$＜-1，它的前n项和$S_n$有最大值，则当$S_n$取得最小正值时，n=（　　）

题目答案

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分析：

解答：

点评：

本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题．

10填空题

设公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a$_1$=1，-$\frac {2}{17}$＜d＜-$\frac {1}{9}$，则当S_n取最大值时，n的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由题意可得数列通项公式，由d的范围可得a_9＞0，a$_1$0＜0，进而可得答案．

解答：

解：由等差数列的通项公式可得

a_n=a$_1$+(n-1)d=1+(n-1)d，

∵-$\frac {2}{17}$＜d＜-$\frac {1}{9}$，

∴a_9＞0，a$_1$0＜0，

故数列的前9项为正数，从第10项开始为负数，

∴当S_n取最大值时，n的值为9

故答案为：9

点评：

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．

11单选题

数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-37，当S_n取最小值时，n为（　　）

题目答案

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分析：

解答：

点评：

本题考查了等差数列的前n项和的最值与通项公式的关系，属于基础题．

12单选题

等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-19，当S_n取到最小时，n=（　　）

题目答案

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分析：

由题意可得，此等差数列为递增数列，令a_n≤0，求得自然数n的最大值，即可得出结论．

解答：

解：∵等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-19，故此等差数列为递增数列，令a_n≤0，

求得n≤9.5，故n的最大值为9，故前9项的和最小，

故选C．

点评：

本题主要考查数列的函数特性，对于递增的等差数列，它的所有的非正项的和最小，属于基础题．

13单选题

已知等差数列{a_n}满足，a$_1$＞0，5a$_8$=8a$_1$3，则前n项和S_n取最大值时，n的值为（　　）

题目答案

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分析：

解答：

点评：

本题考查等差数列的前n项和公式，从数列的项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．

14填空题

在公差为正数的等差数列{a_n}中，a$_1$0+a$_1$1＜0，且a$_1$0a$_1$1＜0，S_n是其前n项和，则使S_n取最小值的n是．

填空题答案仅供参考

题目答案

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分析：

根据a$_1$0+a$_1$1＜0，且a$_1$0a$_1$1＜0，利用等差数列的性质得到等差数列{a_n}的前10项都为负数，从第11项开始变为正数，

即可求出使S_n取最小值的n是10．

解答：

解：由a$_1$0+a$_1$1=2a$_1$0+d＜0，且d＞0，得到a$_1$0＜0；

又a$_1$0a$_1$1＜0，得到a$_1$1＞0，

得到等差数列{a_n}的前10项都为负数，从第11项开始变为正数，

所以使S_n取最小值的n是10．

故答案为：10

点评：

此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n项和公式，是一道基础题．

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