《正弦型函数在区间上的值域》正弦型函数在区间上的值域 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《正弦型函数在区间上的值域》正弦型函数在区间上的值域

1单选题

已知函数f(x)=2sinωx在区间[-$\frac {π}{3}$，$\frac {π}{4}$]上的最小值是-2，则实数ω的取值范围为(       )

A
(-∞，-2]∪[$\frac {3}{2}$，+∞)
B
(-∞，-2]∪[$\frac {5}{2}$，+∞)
C
(-∞，-1]∪[$\frac {3}{2}$，+∞)
D
(-∞，-1]∪[$\frac {5}{2}$，+∞)

题目答案

A

答案解析

分析：

首先，分两种情形进行讨论：ω＞0和ω＜0，然后，分别求解即可．

解答：

解：∵函数f(x)=2sinωx在区间[-$\frac {π}{3}$，$\frac {π}{4}$]上的最小值是-2，

∴当ω＞0时，$\frac {T}{4}$≥$\frac {π}{3}$，

∴ω≥$\frac {3}{2}$，

当ω＜0时，$\frac {T}{4}$≥$\frac {π}{4}$，

∴ω≤-2，

综上，符合条件的实数ω的取值范围为：(-∞，-2]∪[$\frac {3}{2}$，+∞)．

故答案为：(-∞，-2]∪[$\frac {3}{2}$，+∞)，选A．

点评：

本题重点考查了函数的单调性与周期性等知识，属于基础题．

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2单选题

已知函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，则b-a的值不可能是（　　）

A
$\frac {π}{3}$
B
$\frac {2π}{3}$
C
π
D
$\frac {4π}{3}$

题目答案

A

答案解析

分析：

先确定一个周期内满足题意的b和a的取值，再根据正弦函数的周期性求出整个定义域上的区间，由此进行判断．

解答：

解：由正弦曲线知，在一个周期内sin$\frac {π}{6}$=sin$\frac {5π}{6}$=$\frac {1}{2}$，sin$\frac {3π}{2}$=-1，

∴a=$\frac {5π}{6}$，$\frac {3π}{2}$≤b≤2π+$\frac {π}{6}$，∴|$\frac {2π}{3}$+2kπ|≤b-a≤|$\frac {4π}{3}$+2kπ|(k∈z)，

当k=0或-1时，则可能为B和D中的值，

由正弦曲线知，当a=$\frac {5π}{6}$，b=$\frac {11π}{6}$时，也满足条件．

故选A．

点评：

本题考查了正弦函数的曲线和周期性应用，根据正弦函数(余弦函数)的曲线和性质进行求解．

纠错重做

3单选题

将函数y=2sinx的图象先向右平移$\frac {π}{6}$个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的$\frac {1}{2}$倍(纵坐标不变)，得到函数y=f(x)的图象，若x∈[0，$\frac {π}{2}$]，则函数y=f(x)的值域为(       )

A
[-1，2]
B
[-2，2]
C
(-1，2)
D
(-2，2)

题目答案

A

答案解析

分析：


解答：


点评：

本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查正弦函数的单调性质，考查运算求解能力，属于中档题．

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4单选题

函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜$\frac {π}{2}$)的图象向左平移$\frac {π}{6}$个单位后关于原点对称，则函数f(x)在[0，$\frac {π}{2}$]上的最小值为（　　）

A
-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$
B
-$\frac {1}{2}$
C
$\frac {1}{2}$
D
$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$

题目答案

A

答案解析

分析：

由函数图象的平移得到y=sin[2(x+$\frac {π}{6}$)+φ]=sin(2x+$\frac {π}{3}$+φ)，再由函数为奇函数及φ的范围得到$\frac {π}{3}$+φ=0

，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f(x)在[0，$\frac {π}{2}$]上的最小值．

解答：

解：函数f(x)=sin(2x+φ)图象向左平移$\frac {π}{6}$个单位得y=sin[2(x+$\frac {π}{6}$)+φ]=sin(2x+$\frac {π}{3}$+φ)，

由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，

又|φ|＜$\frac {π}{2}$，∴$\frac {π}{3}$+φ=0，得φ=-$\frac {π}{3}$，

∴f(x)=sin(2x-$\frac {π}{3}$)，

由于0≤x≤$\frac {π}{2}$，∴0≤2x≤π，

∴-$\frac {π}{3}$≤2x-$\frac {π}{3}$≤$\frac {2π}{3}$，

当2x-$\frac {π}{3}$=-$\frac {π}{3}$，即x=0时，f(x)_min=sin(-$\frac {π}{3}$)=-$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$．

故选：A．

点评：

本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质，考查了三角函数值域的求法，是中档题．

纠错重做

5单选题

函数y=2sinx(0＜x≤$\frac {2π}{3}$)的值域是（　　）

A
(0，$\sqrt {3}$]
B
[-$\sqrt {3}$，2]
C
[-2，2]
D
(0，2]

题目答案

D

答案解析

分析：

由0＜x≤$\frac {2π}{3}$可得0＜sinx≤1，可得0＜2sinx≤2，可得答案．

解答：

解：∵0＜x≤$\frac {2π}{3}$，

∴0＜sinx≤1，

∴0＜2sinx≤2，

∴函数的值域为(0，2]

故选：D

点评：

本题考查三角函数的值域，属基础题．

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6单选题

已知函数y=sinx的定义域为[$\frac {}{6}$，b]，值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，则b-$\frac {}{6}$的值不可能是( )

A
$\frac {5π}{6}$
B
$\frac {}{6}$
C
$\frac {}{3}$
D
$\frac {}{2}$

题目答案

D

答案解析

分析：


解答：


点评：


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7单选题

函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域是[-1，$\frac {1}{2}$]，则b-a的最大值与最小值之和是（　　）

A
$\frac {4}{3}$π
B
2π
C
$\frac {8}{3}$π
D
4π

题目答案

B

答案解析

分析：

结合y=sinx的图象求出使值域为[-1，$\frac {1}{2}$]时，定义域是[-$\frac {7π}{6}$，$\frac {π}{6}$]的子集，其中必须含-$\frac {π}{2}$．

解答：

解：∵值域为[-1，$\frac {1}{2}$]

由y=sinx的图象

b-a的最大值为$\frac {π}{6}$-(-$\frac {7π}{6}$)=$\frac {4π}{3}$；

最小值为$\frac {π}{6}$-(-$\frac {π}{2}$)=$\frac {2π}{3}$

∴$\frac {4π}{3}$+$\frac {2π}{3}$=$\frac {6π}{3}$=2π

故选B

点评：

本题考查通过正弦函数的图象求定义域、值域间的关系．

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8单选题

设函数y=sinx的定义域为[a，b]，值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，则以下结论中错误的是（　　）

A
b-a的最小值为$\frac {2π}{3}$
B
b-a的最大值为$\frac {4π}{3}$
C
a不可能等于2kπ-$\frac {π}{6}$，k∈Z
D
b不可能等于2kπ-$\frac {π}{6}$，k∈Z

题目答案

D

答案解析

分析：

作出正弦函数 y=sinx的图象，并加以观察，并根据函数的单调性对A、B、C、D各项的结论进行推理论证，结合取特殊的a、b值检验，可得A、B、C都正确，而D项错误，由此得到答案．

解答：

解：作出正弦函数 y=sinx的图象，加以观察得

对于A，当a=-$\frac {π}{2}$且b=$\frac {π}{6}$时，函数在区间[a，b]上单调增，

可得函数的最小值为sin(-$\frac {π}{2}$)=-1；函数的最大值为sin$\frac {π}{6}$=$\frac {1}{2}$

此时函数的值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，b-a的达到最小值$\frac {2π}{3}$，故A正确；．

对于B，当a=-$\frac {7π}{6}$且b=$\frac {π}{6}$时，函数在区间[a，b]上先单调递减，

再单调递增，

函数的最小值为sin(-$\frac {π}{2}$)=-1；且最大值为sin(-$\frac {7π}{6}$)=sin$\frac {π}{6}$=$\frac {1}{2}$，

此时函数的值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，b-a的达到最大值$\frac {4π}{3}$，故B正确；．

对于C，如果a=2kπ-$\frac {π}{6}$(k∈Z)，由于sina=-$\frac {1}{2}$没有达到最小值1，则b≥2kπ+$\frac {3π}{2}$

才能出现函数的最小值1，而此时函数的最大值为1而不是$\frac {1}{2}$，与题设矛盾

因此a不可能等于2kπ-$\frac {π}{6}$(k∈Z)，可得C正确；

对于D，当a=-$\frac {7π}{6}$且b=-$\frac {π}{6}$时，根据函数图象可得函数的值域为[-1，$\frac {1}{2}$]，

说明b值可能等于2kπ-$\frac {π}{6}$(k∈Z)，故D不正确

故选：D

点评：

本题给出正弦函数的几个结论，要求找出其中的假命题，考查了正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．

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