设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（ ）
分析：
令a=1，b=4代入选项中，分别求得 a，$\sqrt {ab}$，$\frac {a+b}{2}$，b的值，进而可比较它们的大小
解答：
解：令a=1，b=4
则 $\sqrt {ab}$=2，$\frac {a+b}{2}$=$\frac {5}{2}$，
∵1＜2＜$\frac {5}{2}$＜4
∴a＜$\sqrt {ab}$＜$\frac {a+b}{2}$＜b．
故选B．
点评：
本题主要考查了不等式的基本性质．对于选择题可以用特值法简便解题过程．
已知t＞0，则函数y=$\frac {t_-4t+1}{t}$的最小值为．
分析：
将函数y=$\frac {t_-4t+1}{t}$变为t+$\frac {1}{t}$-4，用基本不等式求解即可．
解答：
解：y=$\frac {t_-4t+1}{t}$=t+$\frac {1}{t}$-4≥-2(∵t＞0)，
当且仅当t=1时等号成立，
故y_min=-2．
点评：
考查灵活变形的能力及基本不等式．
设a，b，c为正实数，则$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$+abc的最小值是( )
分析：
先根据平均值不等式证明 $\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$+abc≥$\frac {3}{abc}$+abc，再证 $\frac {3}{abc}$+abc≥2$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$．
解答：
证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 $\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$≥3$\sqrt {}$，
即 $\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$≥$\frac {3}{abc}$，
所以，$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$+abc≥$\frac {3}{abc}$+abc，
而 $\frac {3}{abc}$+abc≥2$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$，
所以，$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$+abc≥2$\sqrt {3}$
点评：
本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数$\frac {a$_1$+a$_2$+…+a_n}{n}$ 大于或等于它们的几何平均数 $\sqrt {}$．
下列结论正确的是（ ）
分析：
本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．
A中不满足“正数”，C中“=”取不到．
解答：
解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+$\frac {1}{lgx}$≥2不成立；由基本不等式B正确；
C中“=”取不到；D中x-$\frac {1}{x}$在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．
故选B
点评：
本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，在解题中要牢记．
下列各式中，最小值等于2的是（ ）
分析：
A不正确，例如 x，y的符号相反时；
B不正确，由于 $\frac {x+5}{$\sqrt {}$}$=$\frac {(x+4)+1}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {}$+$\frac {1}{$\sqrt {}$}$≥2，但等号不可能成立；
C不正确，当tanθ＜0时，它的最小值显然不是2；
D正确，因为 2_+2_=2_+$\frac {1}{2}$≥2，当且仅当x=0时，等号成立．
解答：
解：A不正确，例如 x，y的符号相反时，式子的最小值不可能等于2．
B不正确，∵$\frac {x+5}{$\sqrt {}$}$=$\frac {(x+4)+1}{$\sqrt {}$}$=$\sqrt {}$+$\frac {1}{$\sqrt {}$}$≥2，但等号不可能成立，故最小值不是2．
C不正确，当tanθ＜0时，它的最小值显然不是2．
D正确，∵2_+2_=2_+$\frac {1}{2}$≥2，当且仅当 x=0时，等号成立，
故选D．
点评：
本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
已知2a＞c，2b＞c且a+b-c=1，则(2a-c)(2b-c)的最大值为（ ）
分析：
依题意，利用基本不等式(2a-c)(2b-c)≤($\frac {2a-c+2b-c}{2}$)_即可求得答案．
解答：
解：∵2a＞c，2b＞c，a+b-c=1，
∴2a-c＞0，2b-c＞0，
∴(2a-c)(2b-c)≤($\frac {2a-c+2b-c}{2}$)_=($\frac {2}{2}$)_=1，
故选A．
点评：
本题考查基本不等式，考查分析与灵活应用的能力，属于中档题．
若a，b，c均为正实数，则三个数a+$\frac {1}{b}$，b+$\frac {1}{c}$，c+$\frac {1}{a}$（ ）
分析：
根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定a+$\frac {1}{b}$，b+$\frac {1}{a}$，c+$\frac {1}{a}$至少有一个不小于2，从而可以得结论．
解答：
解：由题意，∵a，b均为正实数，
∴a+$\frac {1}{b}$+b+$\frac {1}{a}$+c+$\frac {1}{a}$≥6
当且仅当a=b=c时，取“=”号
若a+$\frac {1}{b}$＜2，b+$\frac {1}{a}$＜2，c+$\frac {1}{a}$＜2，则结论不成立，
∴a+$\frac {1}{b}$，b+$\frac {1}{a}$，c+$\frac {1}{a}$至少有一个不小于2
∴a+$\frac {1}{b}$，b+$\frac {1}{a}$，c+$\frac {1}{a}$至少有一个不小于2
故选D．
点评：
本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大
(1)$\frac {b}{a}$+$\frac {a}{b}$≥2成立当且仅当a，b均为正数．
(2)y=2x+$\frac {3}{x}$，(x＞0)的最小值是3$\sqrt {4}$．
(3)y=x(a-2x)_，(0＜x＜$\frac {a}{2}$)的最大值是$\frac {2a}{27}$．
(4)|a+$\frac {1}{a}$|≥2成立当且仅当a≠0．
以上命题是真命题的是( )
分析：
由于当a，b均为负数时，不等式仍成立，故(1)不正确；
(2)不正确，因为利用基本不等式求得函数的最小值等于3$\sqrt {}$．
(3)正确，由基本不等式可求得函数的最大值是$\frac {2a}{27}$．
(4)正确 )|a+$\frac {1}{a}$|≥2成立当且仅当|a|+$\frac {1}{|a|}$≥2，当且仅当 a≠0．
解答：
解：(1)不正确，因为当a，b均为负数时，不等式仍成立．
(2)不正确，因为 当x＞0时，y=2x_ +$\frac {3}{x}$=2x_ +$\frac {3}{2x}$+$\frac {3}{2x}$≥3$\sqrt {}$，故函数的最小值等于3$\sqrt {}$．
(3)正确，∵y = x(a-2x)_ = $\frac {4x(a-2x)(a-2x)}{4}$≤$\frac {1}{4}$ ($\frac {4x+(a-2x)+(a-2x)}{3}$)_=$\frac {1}{4}$•$\frac {8a}{27}$=$\frac {2a}{27}$，
(4)|a+$\frac {1}{a}$|≥2成立当且仅当|a|+$\frac {1}{|a|}$≥2，当且仅当 a≠0，故(4)正确．
故答案为C．
点评：
本题考查基本不等式在最值中的应用，要注意使用条件以及检验等号能否成立．
已知x，y，z均为正数，$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$+$\frac {1}{z}$=1，则$\frac {x}{yz}$+$\frac {y}{xz}$+$\frac {z}{xy}$的最小值是（ ）
分析：
由x，y，z均为正数，$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$+$\frac {1}{z}$=1，可知，$\frac {xy+xz+zy}{xyz}$=1①，$\frac {x}{yz}$+$\frac {y}{xz}$+$\frac {z}{xy}$=$\frac {x+y+z}{xyz}$，利用基本不等式结合①可得结论．
解答：
解：∵x，y，z均为正数，$\frac {1}{x}$+$\frac {1}{y}$+$\frac {1}{z}$=1，
∴$\frac {xy+xz+zy}{xyz}$=1①，
∴xyz=xy+xz+yz(x，y，z均为正数)；
又$\frac {x}{yz}$+$\frac {y}{xz}$+$\frac {z}{xy}$=$\frac {x+y+z}{xyz}$
=$\frac {$\frac {1}{2}$( x+y) +$\frac {1}{2}$( x+z)+$\frac {1}{2}$(y+z)}{xyz}$
≥$\frac {xy+xz+zy}{xyz}$=1(当且仅当x=y=z=3时取“=”)．
故选A．
点评：
本题考查均值不等式的应用，将条件转化为$\frac {xy+xz+zy}{xyz}$=1，即xyz=xy+xz+yz(x，y，z均为正数)是应用不等式的关键，属于中档题．
设二次函数f(x)=ax-4x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则$\frac {1}{c}$+$\frac {9}{a}$的最小值为（ ）
分析：
先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．
解答：
解：由题意知，a＞0，△=1-4ac=0，∴ac=4，c＞0，
则$\frac {1}{c}$+$\frac {9}{a}$≥2×$\sqrt {}$=3，当且仅当$\frac {1}{c}$=$\frac {9}{a}$时取等号，
则$\frac {1}{c}$+$\frac {9}{a}$的最小值是 3．
故选A．
点评：
本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是拆项，属于基础题．
若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（ ）
分析：
利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可判断出答案．
解答：
解：∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴4=a+b≥2$\sqrt {ab}$，∴$\sqrt {ab}$≤2，即ab≤4．
A．∵ab≤4，∴$\frac {1}{ab}$≥$\frac {1}{4}$，故A不恒成立；
B．∵ab≤4=a+b，∴$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$≥1，故B不恒成立；
C．∵$\sqrt {ab}$≤2，∴C不恒成立；
D．∵a_+b_≥$\frac {(a+b)}{2}$=$\frac {4}{2}$=8．∴D恒成立．
故选D．
点评：
熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式的性质是解题的关键．
在下列函数中，最小值是2$\sqrt {2}$的是（ ）
分析：
利用基本不等式的性质即可判断出，注意使用法则“一正、二定、三相等”．
解答：
解：A．当0＜x＜1时，lgx＜0，此时y＜0，最小值不是2$\sqrt {2}$；
B．∵x∈(0，π)，∴0＜sinx≤1，∴y=sinx+$\frac {2}{sinx}$≥2$\sqrt {2}$，但是等号不成立，因此最小值不是2$\sqrt {2}$；
C.y=$\sqrt {}$+$\frac {2}{$\sqrt {}$}$≥2$\sqrt {2}$，但是等号不成立，因此最小值不是2$\sqrt {2}$；
D．y=e_+2e_≥2$\sqrt {}$=2$\sqrt {2}$，当且仅当e_=$\sqrt {2}$，即x=$\frac {1}{2}$ln2时取等号．
故选：D．
点评：
本题考查了基本不等式的性质，注意使用法则“一正二定三相等”，属于基础题．
若a，b，c∈R_，且a+b+c=1，则$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$+$\sqrt {c}$的最大值是( )
分析：
将$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$+$\sqrt {c}$两边平方，利用基本不等式，即可求得结论．
解答：
解：∵($\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$+$\sqrt {c}$)_=a+b+c+2($\sqrt {ab}$+$\sqrt {bc}$+$\sqrt {ca}$)…(3分)
≤1+2($\frac {a+b}{2}$+$\frac {b+c}{2}$+$\frac {c+a}{2}$)=1+2(a+b+c)=3．…(6分)
∴$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$+$\sqrt {c}$≤$\sqrt {3}$，当且仅当a=b=c=$\frac {1}{3}$时取“=”号．…(8分)
∴a=b=c=$\frac {1}{3}$时，$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$+$\sqrt {c}$的最大值为$\sqrt {3}$，所以选D．…(10分)
点评：
本题考查最值问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
若a、b、c为实数，且a+b+c=1，则a_+b_+c_的最小值为．
分析：
把条件 a+b+c=1平方，再利用基本不等式求得a_+b_+c_的最小值．
解答：
解：∵a+b+c=1，平方可得 a_+b_+c_+2ab+2bc+2ac=1，
再根据 a_+b_≥2ab，a_+c_≥2ac，b_+c_≥2bc，
可得 1≤3(a_+b_+c_)，当且仅当a=b=c=$\frac {1}{3}$时，取等号．
∴a_+b_+c_的最小值为$\frac {1}{3}$，
故答案为：$\frac {1}{3}$．
点评：
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
a＞0，b＞0，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A，G大小关系是（ ）
分析：
由等差中项和等比中项的概念把A和G用含有a，b的代数式表示，然后利用基本不等式比较大小．
解答：
解：∵a＞0，b＞0，且A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，
∴A=$\frac {a+b}{2}$，G=$\sqrt {ab}$．
由基本不等式可得：A=$\frac {a+b}{2}$≥$\sqrt {ab}$=G．
故选：A．
点评：
本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差中项和等比中项的概念，训练了利用基本不等式进行实数的大小比较，是基础题．
若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
分析：
利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出．
解答：
解：∵a＞b＞0，
∴a＞$\frac {a+b}{2}$＞$\sqrt {ab}$＞b，
故选：D．
点评：
本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，属于基础题．
若a、b、c、d、x、y 是正实数，且P=$\sqrt {ab}$+$\sqrt {cd}$，Q=$\sqrt {ax+cy}$•$\sqrt {}$，则（ ）
分析：
平方作差，利用基本不等式的性质即可得出．
解答：
解：∵a、b、c、d、x、y 是正实数，
∴Q_-P_=ab+cd+($\frac {bcy}{x}$+$\frac {adx}{y}$)-(ab+cd+2$\sqrt {abcd}$)
=($\frac {bcy}{x}$+$\frac {adx}{y}$)-2$\sqrt {abcd}$
≥2$\sqrt {abcd}$-2$\sqrt {abcd}$=0，
∴Q≥P，选D．
点评：
本题考查了基本不等式的性质、作差法，属于中档题．
已知a，b∈R，且ab≠0，则在下列四个不等式中，不恒成立的是（ ）
分析：
A．∀a，b∈R，a_+b_≥2ab；
B．ab＜0时不成立；
C．由(a+b)_≥4ab，可得($\frac {a+b}{2}$)_≥ab；
D．由a_+b_≥2ab，可得2(a_+b_)≥(a+b)_，($\frac {a_+b}{2}$)_≥$\frac {a_+b}{2}$．
解答：
解：A．∀a，b∈R，a_+b_≥2ab，因此正确；
B．ab＜0时不成立；
C．(a-b)_≥0，可得(a+b)_≥4ab，∴($\frac {a+b}{2}$)_≥ab，成立；
D．∵a_+b_≥2ab，∴2(a_+b_)≥(a+b)_，∴($\frac {a_+b}{2}$)_≥$\frac {a_+b}{2}$．
故选：B．
点评：
本题考查了重要不等式与基本不等式的应用，考查了变形的能力，属于基础题．
a，b为不相等的正数，x=$\frac {$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$}{$\sqrt {2}$}$，y=$\sqrt {a+b}$，则x，y的大小关系是（ ）
分析：
基于式子的特点，考虑比较其平方的大小，而 x_=$\frac {a+b+2$\sqrt {ab}$}{2}$，y_=a+b=$\frac {a+b+a+b}{2}$结合基本不等式 $\frac {a+b}{2}$≥$\sqrt {ab}$(当且仅当a=b时取等号)及a，b都为正可进行比较
解答：
解 x_=$\frac {a+b+2$\sqrt {ab}$}{2}$，y_=a+b=$\frac {a+b+a+b}{2}$
∵a+b＞2$\sqrt {ab}$(a≠b)
∴x_＜y_
∵x＞0，y＞0∴x＜y
故选C．
点评：
本题主要考查了基本不等式 $\frac {a+b}{2}$≥$\sqrt {ab}$在比较代数式的大小中的应用，是对基本公式的考查．属于基础试题
已知a，b∈R_且a≠b，x=$\frac {$\sqrt {a}$+$\sqrt {b}$}{2}$，y=$\sqrt {a+b，}$则x，y的大小关系是（ ）
分析：
平方作差即可比较出大小．
解答：
解：∵a，b∈R_且a≠b，
∴y，x＞0．
∴y-x_=a+b-$\frac {a+b+2$\sqrt {ab}$}{4}$=$\frac {2a+2b+($\sqrt {a}$-$\sqrt {b}$)}{4}$＞0，
∴y＞x．
故选：A．
点评：
本题考查了利用“平方作差法”比较两个数的大小，属于基础题．
已知a，b，c为正数，且a≠b，若x=$\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$，y=$\frac {1}{$\sqrt {ab}$}$+$\frac {1}{$\sqrt {bc}$}$+$\frac {1}{$\sqrt {ca}$}$，则x与y的大小关系是（ ）
分析：
令$\frac {1}{$\sqrt {a}$}$=m，$\frac {1}{$\sqrt {b}$}$=n，$\frac {1}{$\sqrt {c}$}$=p，然后根据a_+b_≥2ab即可作出解答．
解答：
解：令$\frac {1}{$\sqrt {a}$}$=m，$\frac {1}{$\sqrt {b}$}$=n，$\frac {1}{$\sqrt {c}$}$=p 那么2x=2m_+2n_+2p_≥2mn+2np+2mp=2y，
只有当a=b=c时取得等号，
而由题意得a≠b，
∴x＞y．
故选A．
点评：
本题考查了二次根式的混合运算及不等式的性质，有一定的难度，在解答本题时注意通过假设将原式变形．
已知a，b，c为正实数，则(a+b+c)($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$)的最小值是．
分析：
利用三元均值不等式即可求解．
解答：
(a+b+c)($\frac {1}{a}$+$\frac {1}{b}$+$\frac {1}{c}$)≥3$\sqrt {abc}$▪3$\sqrt {}$=9；
当且仅当a=b=c的时候等号成立；
故答案是9．
点评：
本题考查三元均值不等式，注意取等条件，简单题．
已知a，b，c为正实数，则a+b+$\frac {1}{ab}$的最小值是．
分析：
利用三元均值不等式即可求解．
解答：
a+b+$\frac {1}{ab}$)≥3$\sqrt {}$=3；
当且仅当a=b=1的时候等号成立；
故答案是3．
点评：
本题考查三元均值不等式，注意取等条件，简单题．