《分段函数的值域（下）》分段函数的值域（下）

1单选题

已知函数f(x)满足f(x)=x-2(a+2)x+a_，g(x)=-x+2(a-2)x-a_+8．设H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}，H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}(max(p，q)表示p，q中的较大值，min(p，q)表示p，q中的较小值)，记H$_1$(x)的最小值为A，H$_2$(x)的最大值为B，则A-B=（　　）

a_-2a-16

a_+2a-16

-16

题目答案

答案解析

分析：

本选择题宜采用特殊值法．取a=-2，则f(x)=x+4，g(x)=-x-8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H$_1$(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H$_2$(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．

解答：

解：取a=-2，则f(x)=x+4，g(x)=-x-8x+4．画出它们的图象，如图所示．

则H$_1$(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H$_2$(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标，

由$\left\{\begin{matrix}x+4=y \ -x-8x+4=y \ \end{matrix}\right.$

解得$\left\{\begin{matrix}x=0 \ y=4 \ \end{matrix}\right.$或$\left\{\begin{matrix}x=-4 \ y=20 \ \end{matrix}\right.$，

∴A=4，B=20，A-B=-16．

故选C．

点评：

本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．

2单选题

已知函数f(x)=x-2(a+2)x+a_，g(x)=-x+2(a-2)x-a_+8．设H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}，H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}，(max{p，q})表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H$_1$(x)的最小值为A，H$_2$(x)的最大值为B，则A-B=（　　）

-16

-16a_-2a-16

16a_+2a-16

题目答案

答案解析

分析：

先作差得到h(x)=f(x)-g(x)=2(x-a)_-8．分别解出h(x)=0，h(x)＞0，h(x)＜0．画出图形，利用新定义即可得出H$_1$(x)，H$_2$(x)．进而得出A，B即可．

解答：

解：令h(x)=f(x)-g(x)=x-2(a+2)x+a_-[-x+2(a-2)x-a_+8]=2x-4ax+2a_-8=2(x-a)_-8．

①由2(x-a)_-8=0，解得x=a±2，此时f(x)=g(x)；

②由h(x)＞0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此时f(x)＞g(x)；

③由h(x)＜0，解得a-2＜x＜a+2，此时f(x)＜g(x)．

综上可知：(1)当x≤a-2时，则H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=f(x)=[x-(a+2)]_-4a-4，

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=g(x)=-[x-(a-2)]_-4a+12，

(2)当a-2≤x≤a+2时，H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=g(x)，H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=f(x)；

(3)当x≥a+2时，则H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=f(x)，

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=g(x)，

故A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]_-4a+12=-4a-4，B=g(a-2)=-4a+12，

∴A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16．

故选B．

点评：

熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．

3单选题

对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{matrix}a，a≥b \ b，a＜b \ \end{matrix}\right.$，函数f(x)=max{|x+1|，|x-2|}(x∈R)的最小值是（　　）

$\frac {1}{2}$

$\frac {3}{2}$

题目答案

答案解析

分析：

根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x-2|哪一个更大先求出f(x)的解析式，再求出f(x)的最小值．

解答：

解：当x＜-1时，|x+1|=-x-1，|x-2|=2-x，因为(-x-1)-(2-x)=-3＜0，所以2-x＞-x-1；

当-1≤x＜$\frac {1}{2}$时，|x+1|=x+1，|x-2|=2-x，因为(x+1)-(2-x)=2x-1＜0，x+1＜2-x；

当$\frac {1}{2}$≤x＜2时，x+1$_2$-x；

当x≥2时，|x+1|=x+1，|x-2|=x-2，显然x+1＞x-2；

故f(x)=$\left\{\begin{matrix}2-x x∈(-∞$\frac {1}{2}$) \ x+1 x∈[$\frac {1}{2}$，+∞) \ \end{matrix}\right.$

据此求得最小值为$\frac {3}{2}$．

故选C．

点评：

本题主要考查给条件求函数解析式的问题．这种先给出定义，让根据条件求解析式是常考点．

4填空题

对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{matrix}a，a≥b \ b，a＜b \ \end{matrix}\right.$函数f(x)=max{|x+1|，|x-2|}(x∈R)的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {3}{2}$

答案解析

分析：

本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据|x+1|和|x-2|的大小关系，结合新定义给出函数f(x)的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答．

解答：

解：由|x+1|≥|x-2|⇒(x+1)_≥(x-2)_⇒x≥$\frac {1}{2}$，

故f(x)=$\left\{\begin{matrix}|x+1|(x≥$\frac {1}{2}$) \ |x-2|(x＜$\frac {1}{2}$) \ \end{matrix}\right.$，

其图象如右，

则f_min(x)=f($\frac {1}{2}$)=|$\frac {1}{2}$+1|=$\frac {3}{2}$．

故答案为：$\frac {3}{2}$．

点评：

本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．

5单选题

用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值．设f(x)=min{2x-1，$\frac {1}{x}$}(x＞0)，则f(x)的最大值为（　　）

-1

不存在

题目答案

答案解析

分析：

先根据符号：min{a，b}的含义化简函数f(x)的表达式，变成分段函数的形式，再画出函数的图象，观察图象的最高点即可得f(x)的最大值．

解答：

解：由方程2x-1=$\frac {1}{x}$，(x＞0)，

得：x=1，

∴f(x)=$\left\{\begin{matrix}2x-1，0＜x≤1 \ $\frac {1}{x}$，x＞1 \ \end{matrix}\right.$，

画出此函数的图象，如图，

由图可知：当x=1时，

f(x)的值最大，最大值为1．

故选B．

点评：

本小题主要考查函数单调性的应用、函数的最值及其几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．

6填空题

对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{matrix}a(a＜b) \ b(a≥b) \ \end{matrix}\right.$，函数f(x)=max{|x+1|，|x-1|}(x∈R)的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x-1|哪一个更大，先画出f(x)的图象，再求出f(x)的最小值．

解答：

解：根据题意，

max{|x+1|，|x-1|}表示|x+1|，|x-1|中的较大者，

据此画出函数f(x)的图象，

由图求得最小值为 1．

故答案为：1．

点评：

本题主要考查函数的最值及其几何意义．这种先给出定义，让根据条件求解析式是经常考到点．数形结合是关键．

7填空题

对a，b∈R，记max(a，b)=$\left\{\begin{matrix}a，a≥b \ b，a＜b \ \end{matrix}\right.$，函数f(x)=max(|x+1|，-x+1)的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

在解答时应先根据|x+1|和-x+1的大小关系，结合新定义给出函数f(x)的图象即可获得问题的解答．

解答：

解：分别画出函数y=|x+1|和y=-x+1的图象，由于f(x)=max(|x+1|，-x+1)表示上述两个函数值中最大者，

故函数f(x)=max(|x+1|，-x+1)的简图所图所示．其图象如右，

则f_min(x)=f(-1)=0．

故答案为：0．

点评：

本题考查新定义函数的理解和分段函数的解析式求法及其图象的作法等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．

8填空题

对a，b∈R，记max{a，b}=$\left\{\begin{matrix}a，a≥b \ b，a＜b \ \end{matrix}\right.$，函数f(x)=max{x_，2x+3，-x+1}(x∈R)的最小值是．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {5}{3}$

答案解析

分析：

在同一坐标系内作出函数的图象，利用新定义，即可求得函数的最小值．

解答：

解：由题意，函数为同一区间内，函数值的较大者，图象为同一区间最上方的图象，

根据图象，由2x+3=-x+1，可得x=-$\frac {2}{3}$，此时2x+3=$\frac {5}{3}$

故答案为：$\frac {5}{3}$

点评：

本题考查新定义，考查数形结合的数学思想，正确理解新定义是关键．

9单选题

已知y$_1$=x-3x+2，y$_2$=2x+8，设函数H=max{y$_1$，y$_2$}，G=min{y$_1$，y$_2$}．( max{a，b}表示a，b中较大的数，min{a，b}表示a，b中较小的数．比如max{-1，3}=3，min{-1，3}=-1)．则下列结论中正确的是（　　）

H有最大值20

H有最小值6

G有最小值6

G有最大值20

题目答案

答案解析

分析：

首先求出两函数交点坐标，进而利用函数图象得出交点，即可得出H的最小值．

解答：

解：y$_1$=(x-$\frac {3}{2}$)_-$\frac {1}{4}$，y$_1$的图象是顶点为($\frac {3}{2}$，-$\frac {1}{4}$)，

对称轴为x=$\frac {3}{2}$，开口向上的抛物线，

解方程组$\left\{\begin{matrix}y=2x+8 \ y=x-3x+2 \ \end{matrix}\right.$，

得$\left\{\begin{matrix}x$_1$=-1 \ y$_1$=6 \ \end{matrix}\right.$，$\left\{\begin{matrix}x$_2$=6 \ y$_2$=20 \ \end{matrix}\right.$，

即函数y$_1$与y$_2$的图象的交点为(-1，6)，(6，20)，

函数max{y$_1$，y$_2$}的图象如图所示，当x=-1时，y$_1$=y$_2$=6，

故H有最小值6．

故选：B．

点评：

此题主要考查了二次函数最值以及一次函数与二次函数交点坐标求法，利用数形结合得出是解题关键．

10单选题

已知函数f(x)=x-6x+1，g(x)=-x-2x+7，设H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}，H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}(其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值)记H$_1$(x)的最小值为A，H$_2$(x)的最大值为B，则A-B=（　　）

-17

-16

题目答案

答案解析

分析：

化简f(x)-g(x)=2x-4x-6=2(x-3)(x+1)；从而分段写出H$_1$(x)，H$_2$(x)；从而求函数的最大值与最小值，从而求函数的最值．

解答：

解：由题意，f(x)-g(x)=2x-4x-6=2(x-3)(x+1)；

故H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}

=$\left\{\begin{matrix}x-6x+1，x≥3或x≤-1 \ -x-2x+7，-1＜x＜3 \ \end{matrix}\right.$，

结合二次函数的性质可得，

H$_1$(x)在(-∞，3)上是减函数，在(3，+∞)上是增函数；

从而可得A=H$_1$(3)=3_-6×3+1=-8；

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}

=$\left\{\begin{matrix}x-6x+1，-1≤x≤3 \ -x-2x+7，x＞3或x＜-1 \ \end{matrix}\right.$，

H$_2$(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，+∞)上是减函数；

从而可得B=H$_2$(-1)=1+6+1=8；

故A-B=-16．

故选C．

点评：

本题考查了分段函数的最值的求法及应用，属于中档题．

11单选题

已知函数f(x)=x-2(a+m)x+a_，g(x)=-x+2(a-m)x-a_+2m_，(a，m∈R)，定义H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}，H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}(其中max{p，q}表示p、q中较大值，min{p，q}表示p、q中的较小值)记H$_1$(x)的最小值为A，H$_2$(x)的最大值为B，则A-B=（　　）

-4m_

4m_

a_-2a-4m_

a_-2a+4m_

题目答案

答案解析

分析：

先作差，得到h(x)=f(x)-g(x)=2(x-a)_-2m_．分别解出h(x)=0，h(x)＞0，h(x)＜0，利用新定义即可得出H$_1$(x)，H$_2$(x)．进而得出A，B即可．

解答：

解：令h(x)=f(x)-g(x)=x-2(a+m)x+a_-[-x+2(a-m)x-a_+2m_]

=2x-4ax+2a_-2m_=2(x-a)_-2m_．(设m＞0)，

①由2(x-a)_-2m_=0，解得x=a±m，此时f(x)=g(x)；

②由h(x)＞0，解得x＞a+m，或x＜a-m，此时f(x)＞g(x)；

③由h(x)＜0，解得a-m＜x＜a+m，此时f(x)＜g(x)．

综上可知：

(1)当x≤a-m时，则H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=f(x)=[x-(a+m)]_-2am-m_

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=g(x)=-[x-(a-m)]_-2am+3m_，

(2)当a-m≤x≤a+m时，H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=g(x)，

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=f(x)；

(3)当x≥a+m时，则H$_1$(x)=max{f(x)，g(x)}=f(x)，

H$_2$(x)=min{f(x)，g(x)}=g(x)，

故A=g(a+m)=-[(a+m)-(a-m)]_-2am+3m_=-2am-m_，B=g(a-m)=-2am+3m_，

∴A-B=-2am-m_-(-2am+3m_)=-4m_．

故选：A．

点评：

熟练掌握作差法、二次函数图象及其单调性、一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法是解题的关键．

12填空题

用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-2对称，则t=．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

特值法：由y=|x|，y=|x+t|可知，当x=0时，它们的最小值都为零，可得到函数f(x)=min{|x|，|x+t|}的最小值为零，再根据图象关于x=-2对称求解．

解答：

解：∵f(0)=min{|0|，|0+t|}=0，

又f(x)的图象关于直线x=-2对称，

∴f(-4)=0=min{|-4|，|-4+t|}，

∴|-4+t|=0，∴t=4．

故答案为：4．

点评：

本题是一道新定义题，这类题目关键是通过条件将问题转化为已知的问题去解决，本题通过转化主要考查两个基本函数的最值及对称性．

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