《函数的周期性》函数的周期性

1填空题

设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)=x-2，则f(-1)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

-1

答案解析

分析：

利用函数的周期，求出f(-1)=f(1)，代入函数的解析式求解即可．

解答：

解：因设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1，3)时，f(x)=x-2，则f(-1)=f(1)=1-2=-1．故答案为：-1．

点评：

本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，值域函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．

2单选题

设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，则y=f(x)的图象可能是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

由定义知，函数为偶函数，先判断A、C两项，图象对应的函数为奇函数，不符合题意；再取特殊值x=0，可得f(2)=f(0)，可知B选项符合要求．

解答：

解：∵f(-x)=f(x)

∴函数图象关于y轴对称，排除A、C两个选项

又∵f(x+2)=f(x)

∴函数的周期为2，取x=0可得f(2)=f(0)

排除D选项，说明B选项正确

故答案为B

点评：

利用函数图象的对称性是判断一个函数为奇函数或偶函数的一个重要指标，周期性与奇偶性相结合是函数题的一种常规类型．

3单选题

f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0．则方程f(x)=0在区间(0，6)内解的个数的最小值是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

根据题意，由f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)=0，可得f(-2)=0，重复利用函数的周期性，看在区间(0，6)内，还能推出哪些数的函数值等于0．

解答：

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且周期是3，f(2)=0，∴f(-2)=0，

∴f(5)=f(2)=0，f(1)=f(-2)=0，f(4)=f(1)=0．

即在区间(0，6)内，

f(2)=0，f(5)=0，f(1)=0，f(4)=0，

故答案：B

点评：

本题考查函数的奇偶性、根的存在性及个数判断．

4单选题

已知定义在R上以2为周期的奇函数f(x)满足当x∈(0，1]时，f(x)=$\frac {1-x}{x}$，则f(-$\frac {5}{2}$)+f(0)=（　　）

不存在

-$\frac {7}{5}$

$\frac {3}{5}$

-1

题目答案

答案解析

分析：

结合已知中函数f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，可得f(0)=0，f(-$\frac {5}{2}$)=f(-$\frac {1}{2}$)=-f($\frac {1}{2}$)=-1，进而得到答案．

解答：

解：∵函数f(x)是定义在R上以2为周期的奇函数，

∴f(0)=0，

f(-$\frac {5}{2}$)=f(-$\frac {1}{2}$)=-f($\frac {1}{2}$)，

∵当x∈(0，1]时，f(x)=$\frac {1-x}{x}$，

∴f($\frac {1}{2}$)=1，

故f(-$\frac {5}{2}$)+f(0)=-1+0=-1，

故选：D

点评：

本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大，属于基础题．

5填空题

设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[-2，0)∪(0，2]，f(x)=$\left\{\begin{matrix}ax+b，-2≤x＜0 \ ax-1，0＜x≤2 \ \end{matrix}\right.$，则f(2015)=．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

先根据奇偶性求出b，然后根据周期性可求出a的值，从而可求出f(2015)的值．

解答：

解：设0＜x≤2，则-2≤-x＜0，

f(-x)=-ax+b，f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，

所以f(-x)=-f(x)=-ax+1=-ax+b，

∴b=1，而f(-2)=f(2)，

∴-2a+1=2a-1，即a=$\frac {1}{2}$，

所以f(2015)=f(-1)=-1×$\frac {1}{2}$+1=$\frac {1}{2}$．

故答案为：$\frac {1}{2}$．

点评：

本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及运算求解的能力．

6单选题

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x均有f(x+2)=-$\frac {1}{2}$f(x)，且f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=-x+2x，则函数f(x)在区间[-3，-2]上的表达式为( )．

f(x)=-4(x-2)(x+4)

f(x)=-4(x+2)(x+4)

f(x)=-4(x+2)(x-4)

f(x)=-4(x-2)(x-4)

题目答案

答案解析

分析：

设x∈[-3，-2]，则x+4∈[1，2]，由f(x+2)=-$\frac {1}{2}$f(x)，可得f(x)=4f(x+4)，由f(x)在区间[0，2]上的表达式f(x)=-x+2x，可求f(x+4)，从而解出答案．

解答：

解：设x∈[-3，-2]，则x+4∈[1，2]，由f(x+2)=-$\frac {1}{2}$f(x)，得f(x)=-2f(x+2)=-2[-2f(x+4)]=4f(x+4)，

因为f(x)在区间[0，2]上有表达式f(x)=-x+2x，所以f(x)=4f(x+4)=4[-(x+4)_+2(x+4)]=-4(x+2)(x+4)．

故答案为：f(x)=-4(x+2)(x+4)，选B．

点评：

本题考查函数解析式的求法，解决本题的关键是通过对自变量转化后利用已知表达式．

7单选题

设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(-2，1]上的图象，则f(2013)+f(2014)=(　　)

题目答案

答案解析

分析：

利用函数的周期是3，将f(2013)，f(2014)转化为图象中对应的已知点的数值上即可求值．

解答：

解：因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2013)=f(671×3)=f(0)，f(2014)=f(671×3+1)=f(1)，

由图象可知f(0)=0，f(1)=1，

所以f(2013)+f(2014)=1．

故选C．

点评：

本题主要考查函数周期性的应用，以及利用函数图象确定函数值，考查函数性质的综合应用．

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