《圆的切线问题》圆的切线问题 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《圆的切线问题》圆的切线问题

1填空题

过原点O作圆x+y-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为．

填空题答案仅供参考

题目答案

4

答案解析

分析：

如图：先求出圆心坐标和半径，直角三角形中使用边角关系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO$_1$Q，三角形PO$_1$Q中，

用余弦定理求出|PQ|．

解答：

解：圆x+y-6x-8y+20=0 可化为 (x-3)_+(y-4)_=5，

圆心(3，4)到原点的距离为5．故cosα=$\frac {$\sqrt {5}$}{5}$，

∴cos∠PO$_1$Q=2cos_α-1=-$\frac {3}{5}$，

∴|PQ|_=($\sqrt {5}$)_+($\sqrt {5}$)_+2×($\sqrt {5}$)_×$\frac {3}{5}$=16．∴|PQ|=4．

故答案为：4．

点评：

本题考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，以及用余弦定理求边长．

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2单选题

从圆x-2x+y-2y+1=0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（　　）

A
$\frac {1}{2}$
B
$\frac {3}{5}$
C
$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$
D
0

题目答案

B

答案解析

分析：

先求圆心到P的距离，再求两切线夹角一半的三角函数值，然后求出结果．

解答：

解：圆x-2x+y-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，

则点P到圆心M的距离等于$\sqrt {5}$，每条切线与PM的夹角的正切值等于$\frac {1}{2}$，

所以两切线夹角的正切值为tanθ=$\frac {2•$\frac {1}{2}$}{1-$\frac {1}{4}$}$=$\frac {4}{3}$，该角的余弦值等于$\frac {3}{5}$，

故选B．

点评：

本题考查圆的切线方程，两点间的距离公式，是基础题．

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3单选题

从原点向圆x+y-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（　　）

A
π
B
2π
C
4π
D
6π

题目答案

B

答案解析

分析：

先求出圆心和半径，结合图形求出两切线的夹角为2θ，进而求出劣弧对的圆心角，从而求出劣弧长．

解答：

解：圆x+y-12y+27=0 即 x+(y-6)_=9，

设两切线的夹角为2θ，

则有 sinθ=$\frac {3}{6}$=$\frac {1}{2}$，∴θ=30°，∴2θ=60°，

∴劣弧对的圆心角是120°，

∴劣弧长为 $\frac {120}{360}$×2π×3=2π，

故选 B．

点评：

本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求弧长的方法．

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4填空题

已知圆C：x+y-2x+4y-4=0，P为圆C外且在直线y-x-3=0上的点，过点P作圆C的两切线，则切线长的最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

3

答案解析

分析：

要使切线最短，需PC最小，故PC的最小值为圆心C到直线y-x-3=0的距离d，求得d的值，可得切线长的最小值$\sqrt {}$．

解答：

解：圆C：x+y-2x+4y-4=0即 (x-1)_+(y+2)_=9，

要使切线最短，需PC最小，故PC的最小值为圆心C(1，-2)到直线y-x-3=0的距离d，

且d=$\frac {|-2-1-3|}{$\sqrt {2}$}$=3$\sqrt {2}$，故切线长为 $\sqrt {}$=$\sqrt {}$=3，

故答案为：3．

点评：

本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．

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5单选题

从点P(3，3)向在圆C：(x+2)_+(y+2)_=1引切线，则切线长为（　　）

A
5
B
6
C
4
D
7

题目答案

D

答案解析

分析：

可得圆心C(-2，-2)，圆的半径r=1，由距离公式可得|PC|，由勾股定理可得．

解答：

解：由题意可得圆心C(-2，-2)，圆的半径r=1，

∴|PC|=$\sqrt {}$=5$\sqrt {2}$，

∴切线长为$\sqrt {}$=7

故选：D

点评：

本题考查圆的切线长，求出PC是解决问题的关键，属基础题．

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6填空题

过直线y=x上的一点P作圆(x-5)_+(y-1)_=2的两条切线l$_1$，l$_2$，A，B为切点，当直线l$_1$，l$_2$关于直线y=x对称时，∠APB=°．

填空题答案仅供参考

题目答案

60

答案解析

分析：

判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，P的方程，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．

解答：

解：显然圆心(5，1)不在直线y=x上．

由对称性可知，只有直线y=x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=x，从这点做切线才能关于直线y=x对称．

所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y-1=-(x-5)即 y=6-x

与 y=x联立可求出该点坐标为(3，3)，

所以该点到圆心的距离为$\sqrt {}$=2$\sqrt {2}$

切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为$\sqrt {2}$

所以夹角的一半的正弦值为$\frac {$\sqrt {2}$}{2$\sqrt {2}$}$=$\frac {1}{2}$

所以夹角∠APB=60°

故答案为：60°

点评：

本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．

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7单选题

过点P(2，3)做圆C：(x-1)_+(y-1)_=1的切线，设T为切点，则切线长|PT|=（　　）

A
$\sqrt {5}$
B
5
C
1
D
2

题目答案

D

答案解析

分析：

由圆的标准方程知圆心和半径，求出点P到圆心的距离，即可求出切线长．

解答：

解：∵圆C：(x-1)_+(y-1)_=1，

∴圆心C为(1，1)，半径r=1；

∴点P到圆心的距离为|PC|，则|PC|_=(2-1)_+(3-1)_=5，

∵圆的切线垂直于过切点的直径，

∴切线长|PT|=$\sqrt {}$=$\sqrt {5-1}$=2．

故选：D．

点评：

本题考查了圆的标准方程以及两点间的距离公式的应用问题，是中档题．

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8单选题

过点P(0，-1)作圆C：x+y-2x-4y+4=0的切线，则切线的方程为(        )

A
4x-3y-3=0或x=0
B
3x-4y-5=0或x=0
C
4x-3y-3=0或x=2
D
3x-4y-5=0或x=2

题目答案

A

答案解析

分析：

结合题意设出切线方程，由点到直线的距离等于半径，求出切线的斜率，判断斜率不存在是否满足题意，即可得到答案．

解答：

解：设切线的斜率为k，则切线方程为：-kx+y+1=0，

由点到直线的距离公式可得：$\frac {|-k+2+1|}{$\sqrt {}$}$=1，

解得：k=$\frac {4}{3}$，

所以切线方程为：4x-3y-3=0．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=0，满足题意．

所以切线方程为：4x-3y-3=0或x=0，选A．

点评：

本题主要考查由圆的一般方程求圆的圆心与半径，以及点到直线的距离公式，切线方程的求法，此题属于中档题．

纠错重做

9填空题

由直线l：x+2y+4=0上的动点P引圆C：(x-2)_+(y-2)_=4的两切线，切点为A、B，则四边形PACB的面积最小值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

8

答案解析

分析：

由切线的性质可得△CAP≌△CBP，要使四边形PACB的面积取得最小值，只需△CAP的面积取得最小值即可．而S_△CAP=$\frac {1}{2}$|PA|•R=|PA|，因此要求切线长|PA|取得最小值即可．又|PA|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，当且仅当CP⊥l时，|CP|取得最小值，即|PA|取得最小值．

解答：

解：如图所示，

由切线的性质可得△CAP≌△CBP，

因此要使四边形PACB的面积取得最小值，要求△CAP的面积取得最小值即可．而S_△CAP=$\frac {1}{2}$|PA|•R=|PA|，因此要求切线长|PA|取得最小值即可．又|PA|=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$，要求|CP|取得最小值即可．

当且仅当CP⊥l时，|CP|取得最小值．

圆心C(2，2)到直线l的距离d=$\frac {|2+2×2+4|}{$\sqrt {}$}$=2$\sqrt {5}$．

∴|PA|=$\sqrt {}$=4．

∴四边形PACB的面积的最小值=2×4=8．

故答案为：8．

点评：

本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、勾股定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

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10单选题

从点(2，0)引圆x+y_=1的切线，则切线长为(      )

A
2
B
$\sqrt {2}$
C
$\sqrt {3}$
D
$\sqrt {5}$

题目答案

C

答案解析

分析：

根据切线长公式进行求解即可．

解答：

解：圆心坐标为O(0，0)，半径r=1，P(2，0)

则OP=2，

则切线长为$\sqrt {4−1}$=$\sqrt {3}$，

故答案为：$\sqrt {3}$，故选C．

点评：

本题主要考查直线和圆相切的性质，根据切弦长公式是解决本题的关键．比较基础．

纠错重做

11单选题

设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x+y-2x-2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（　　）

A
1
B
$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$
C
2$\sqrt {3}$
D
$\sqrt {3}$

题目答案

D

答案解析

分析：

由圆的方程为求得圆心C(1，1)、半径r为：1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．

解答：

解：∵圆的方程为：x+y-2x-2y+1=0

∴圆心C(1，1)、半径r为：1

根据题意，若四边形面积最小

当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，

切线长PA，PB最小

圆心到直线的距离为d=2

∴|PA|=|PB|=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$

∴s_PACB=2|PA|r=$\sqrt {3}$

故选D．

点评：

本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时，还考查了转化思想．此题属中档题．

纠错重做