《立体几何中的计数问题》立体几何中的计数问题

1单选题

如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=(　　)

题目答案

答案解析

分析：

判断CE与EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．

解答：

解：由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，

直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．

故选A．

点评：

本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．

2单选题

正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（　　）

题目答案

答案解析

分析：

抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．

解答：

解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，

故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．

故选D

点评：

本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．

3单选题

到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(　　)．

只有1个

恰有3个

恰有4个

有无穷多个

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点是空间中点到直线的距离，要判断到两互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数，我们可以借助熟悉的正方体模型，在正方体中找到两条异面直线，然后进行分析，可用排除法得到答案．

解答：

解：放在正方体中研究，显然，线段OO$_1$、EF、FG、GH、

HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，

同时亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等．

所以排除A、B、C，

故选D．

点评：

判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．

4单选题

过正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA$_1$所成的角都相等，这样的直线L可以作(　　)

1条

2条

3条

4条

题目答案

答案解析

分析：

直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A的直线进行分类，分两类，第一类：通过点A位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，进行讨论即可．

解答：

解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC$_1$，

第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．

故选D．

点评：

本题主要考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、化归转化的能力，属于基础题．

5单选题

与正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的三条棱AB、CC$_1$、A$_1$D$_1$所在直线的距离相等的点（　　）

有且只有1个

有且只有2个

有且只有3个

有无数个

题目答案

答案解析

分析：

由于点D、B$_1$显然满足要求，猜想B$_1$D上任一点都满足要求，然后想办法证明结论．

解答：

解：在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$上建立如图所示空间直角坐标系，

并设该正方体的棱长为1，连接B$_1$D，并在B$_1$D上任取一点P，

因为$\xrightarrow[""]{DB$_1$}$=(1，1，1)，

所以设P(a，a，a)，其中0≤a≤1．

作PE⊥平面A$_1$D，垂足为E，再作EF⊥A$_1$D$_1$，垂足为F，

则PF是点P到直线A$_1$D$_1$的距离．

所以PF=$\sqrt {}$；

同理点P到直线AB、CC$_1$的距离也是$\sqrt {}$．

所以B$_1$D上任一点与正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的三条棱AB、CC$_1$、A$_1$D$_1$所在直线的距离都相等，

所以与正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$的三条棱AB、CC$_1$、A$_1$D$_1$所在直线的距离相等的点有无数个．

故选D．

点评：

本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法．

6单选题

在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，E，F分别为棱AA$_1$，CC$_1$的中点，则在空间中与三条直线A$_1$D$_1$，EF，CD都相交的直线（　　）

不存在

有且只有两条

有且只有三条

有无数条

题目答案

答案解析

分析：

先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线A$_1$D$_1$，EF，CD都相交的直线，从而发现结论．

解答：

解：在EF上任意取一点M，

直线A$_1$D$_1$与M确定一个平面，

这个平面与CD有且仅有1个交点N，

当M取不同的位置就确定不同的平面，

从而与CD有不同的交点N，

而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：

故选D．

点评：

本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，同时考查学生的空间想象能力．

7填空题

如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是；

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

先考虑6个表面，每一个表面有四条棱与之垂直；再考虑6个对角面，每个对角面又有两条面对角线与之垂直．

解答：

解：正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；

而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，

所以共有36个“正交线面对”；

故答案为36．

点评：

画出图形，分类讨论．

8填空题

过三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB$_1$A$_1$平行的直线共有条．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题考查的知识点为空间中直线与平面之间的位置关系，要判断过三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB$_1$A$_1$平行的直线，我们可以利用数型结合的思想，画出满足条件的三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$，结合图象分析即可得到答案．

解答：

解：如下图示，在三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，

过三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$的任意两条棱的中点作直线，

其中与平面ABB$_1$A$_1$平行的直线有：

DE、DG、DF、EG、EF、FG共有6条．

故答案为：6

点评：

要判断空间中直线与平面的位置关系，要有良好的空间想像能力，熟练掌握空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行或垂直的判定定理及性质定理，并能利用教室、三棱锥、长方体等实例举出满足条件的例子或反例是解决问题的重要条件．

9单选题

不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（　　）

3个

4个

6个

7个

题目答案

答案解析

分析：

根据题意画出构成的几何体，根据平面两侧的点的个数进行分类，利用三棱锥的结构特征进行求解．

解答：

解：空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥D-ABC，

①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换低，则三棱锥由四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个，

②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，

所以满足条件的平面共有7个，

故选D．

点评：

本题考查了三棱锥的结构特征的应用，根据题意画出对应的几何体，再由题意和结构特征进行求解，考查了空间想象能力．

10单选题

过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（　　）

18对

24对

30对

36对

题目答案

答案解析

分析：

直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．

解答：

解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．

上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．

(其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线)．

故选D．

点评：

本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，排列组合的实际应用，是难题．

11填空题

从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有对．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，所以共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，所以正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对．

解答：

解：如图，在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，与上平面A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中一条对角线A$_1$C$_1$成60°的直线有：

A$_1$D，B$_1$C，A$_1$B，D$_1$C，BC$_1$，AD$_1$，C$_1$D，B$_1$A共八对直线，总共12条对角线；

∴共有12×8=96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；

∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对．

故答案为：48．

点评：

考查正方体面对角线的关系，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键．

12单选题

长方体AC$_1$中，AB=BC=1，AA$_1$=2，过顶点D$_1$在空间作直线l，使l与直线AC和BC$_1$所成的角都等于$\frac {π}{3}$，这样的直线最多可作(　　)条．

题目答案

答案解析

分析：

连接A$_1$C$_1$、A$_1$B，可得∠A$_1$C$_1$B(或其补角)就是直线AC和BC$_1$所成的角．在△A$_1$C$_1$B中用余弦定理，算出直线AC和BC$_1$所成的角为arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$．设△A$_1$C$_1$B确定的平面为α，直线A$_1$C$_1$是直线m，直线BC$_1$是直线n，得经过m、n的交点O的直线l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．在此情况下讨论这个所成角的范围，结合直线l的平移，可得满足条件的直线最多可以作出4条．

解答：

解：连接A$_1$C$_1$、A$_1$B，

∵长方体AC$_1$中，A$_1$A∥C$_1$C且A$_1$A=C$_1$C

∴四边形AA$_1$C$_1$C是平行四边形，得A$_1$C$_1$∥AC

∴∠A$_1$C$_1$B(或其补角)就是直线AC和BC$_1$所成的角

△A$_1$C$_1$B中，A$_1$C$_1$=AC=$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$，同理可得A$_1$B=BC$_1$=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$

∴cos∠A$_1$C$_1$B=$\frac {2+5-5}{2×$\sqrt {2}$×$\sqrt {5}$}$=$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，

由此可得直线AC和BC$_1$所成的角为arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$＞$\frac {π}{3}$=arccos$\frac {1}{2}$

设△A$_1$C$_1$B确定的平面为α，直线A$_1$C$_1$是直线m，直线BC$_1$是直线n，

得m、n所成的锐角为arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，是大于$\frac {π}{3}$的角

经过m、n的交点O作直线l，当l在α内的射影在m、n所成角的平分线上时，l与m、n所成的角相等．

∵m、n所成的锐角为arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$＞$\frac {π}{3}$

∴当l在α内的射影在m、n所成钝角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为($\frac {π}{2}$-$\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，$\frac {π}{2}$]，所成角的最小值大于$\frac {π}{2}$-$\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，

并且无限接近$\frac {π}{2}$-$\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，而$\frac {π}{3}$＞$\frac {π}{2}$-$\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，

所以此种情况有两个位置满足l与m、n所成角等于$\frac {π}{3}$；

当l在α内的射影在m、n所成锐角的角平分线上时，l与m、n所成角的范围为($\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$，$\frac {π}{2}$]，

因为$\frac {1}{2}$arccos$\frac {$\sqrt {10}$}{10}$＜$\frac {π}{3}$，所以直线l也有两个位置满足与m、n所成角都等于$\frac {π}{3}$．

综上所述，经过m、n的交点O，有4条直线l满足与m、n所成角等于$\frac {π}{3}$，

再将直线l平移至经过点D$_1$，可得经过顶点D$_1$在空间作直线l，

使l与直线AC和BC$_1$所成的角都等于$\frac

13填空题

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中直角三角形有个．(要求：只需填直角三角形的个数，不需要具体指出三角形名称)

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

AB是圆O的直径，得出三角形ABC是直角三角形，由于PA垂直于圆O所在的平面，根据线面垂直的性质定理得出PA垂直于AC，BC，从而得出两个直角三角形，可以证明BC垂直于平面PAC，从而得出三角形PBC也是直角三角形，从而问题解决．

解答：

证明：∵AB是圆O的直径

∴∠ACB=90°即BC⊥AC，三角形ABC是直角三角形

又∵PA⊥圆O所在平面，

∴△PAC，△PAB是直角三角形．

且BC在这个平面内，

∴PA⊥BC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，

∴BC⊥平面PAC，

∴△PBC是直角三角形．

从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是：4．

故答案为：4．

点评：

本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．

14单选题

设a，b是夹角为30_的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（　　）

不存在

有且只有一对

有且只有两对

有无数对

题目答案

答案解析

分析：

先任意做过a的平面α，然后在b上任取一点M，过M作α的垂线，可以得到面面垂直；再结合平面α有无数个，即可得到结论．

解答：

解：任意做过a的平面α，可以作无数个．

在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α．

故选D．

点评：

本题主要考查立体几何中平面的基本性质及推论，同时考查学生的空间想象能力．

15填空题

如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．

解答：

解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，

所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．

故答案为：4

点评：

本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．

16单选题

设a、b是一对异面直线，则与a、b都垂直的直线有（　　）

0条

1条

2条

无数条

题目答案

答案解析

分析：

异面直线a、b必有一条公垂线，与公垂线平行的直线都与a、b垂直

解答：

解：异面直线a、b 必有一条公垂线，与公垂线平行的直线都与a、b垂直，所以与a、b都垂直的直线有无数条．

故答案为 D

点评：

此题考查了垂直与平行的特征及性质，要牢记定义，灵活解答各种题型的问题，掌握解答此类题目的基本方法．

17填空题

如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有个．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

本题宜作出图象来判断三条直线可确定平面的个数．

解答：

解：如右图，空间三条直线中的一条直线与其它两条异面直线都相交，

那么由这三条直线可确定平面的个数是两个．

故答案为：2．

点评：

本题考查平面的基本性质及推论，求解本题的关键是要有一定的空间想象能力，属于基础题．

18单选题

直线a、b、c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面共有（　　）

0个

1个

3个

6个

题目答案

答案解析

分析：

由于公理2及其推论可得正确结论．

解答：

解：由于过两平行的直线有且只有一个平面则经过其中两条直线的平面有3个．故答案为 C

点评：

本题考查平面的基本性质及推论，属于基础题．

19单选题

如图所示，是一个几何体的三视图，则在此几何体中，直角三角形的个数是（　　）

．

题目答案

答案解析

分析：

由题意知几何体是一个三棱锥，底面是一个直角三角形，一条侧棱与底面垂直，画出几何体的图形如图，共有3个直角三角形，得到结论．

解答：

解：由题意知几何体是一个三棱锥，底面是一个直角三角形，

一条侧棱与底面垂直，

画出几何体的图形如图，共有3个直角三角形，

故选C．

点评：

本题考查简单的空间图形的三视图，本题解题的关键是看出图形中有两两垂直的三条棱，本题是一个基础题．

20单选题

若直线a上的所有点到两条直线m、n的距离都相等，则称直线a为“m、n的等距线”．在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，E、F、G、H分别是所在棱中点，M、N分别为EH、FG中点，则在直线MN，EG，FH，B$_1$D中，是“A$_1$D$_1$、AB的等距线”的条数为(　　)

题目答案

答案解析

分析：

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD$_1$为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答：

解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD$_1$为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中棱长为2，

∵E、F、G、H分别是所在棱中点，M、N分别为EH、FG中点，

∴M(1，0，1)，N(1，2，1)，E(2，0，1)，G(0，2，1)，

F(2，2，1)，H(0，0，1)，B$_1$(2，2，2)，D(0，0，0)，

A$_1$(2，0，2)，D$_1$(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，

则MN到AB的距离为AM=$\sqrt {1+1}$=$\sqrt {2}$，

$\xrightarrow[""]{A$_1$D$_1$}$=(-2，0，0)，$\xrightarrow[""]{MN}$=(0，2，0)，$\xrightarrow[""]{A$_1$M}$=(-1，0，-1)

异面直线A$_1$D$_1$与MN的公共法向量$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$=(0，0，2)，

∴MN与A$_1$D$_1$的距离d=$\frac {|$\xrightarrow[""]{A$_1$M}$•$\xrightarrow[""]{n}$|}{|$\xrightarrow[""]{n}$|}$=$\frac {2}{2}$=1，∴直线MN不是“A$_1$D$_1$、AB的等距线”；

异面直线A$_1$D$_1$与G的公共法向量$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$=(0，0，2)，$\xrightarrow[""]{EA$_1$}$=(0，0，1)，

∴EG与A$_1$D$_1$的距离d$_1$=$\frac {|$\xrightarrow[""]{EA$_1$}$•$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$|}{|$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$|}$=$\frac {2}{2}$=1，

异面直线AB与G的公共法向量$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$=(0，0，2)，$\xrightarrow[""]{EA}$=(0，0，-1)，

∴EG与EA的距离d$_2$=$\frac {|$\xrightarrow[""]{EA}$•$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$|}{|$\xrightarrow[""]{DD$_1$}$|}$=$\frac {2}{2}$=1，

∴EG是“A$_1$D$_1$、AB的等距线”；

同理，FH是“A$_1$D$_1$、AB的等距线”；B$_1$D不是“A$_1$D$_1$、AB的等距线”．

故选：B．

点评：

本题考查两直线的“等距线”的条数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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