《直线与抛物线椭圆交点》直线与抛物线椭圆交点

1单选题

平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是( )

k＞2

k＜-2

k＜-2或k＞2

k＜-1或k＞1

题目答案

答案解析

分析：

由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P(-1，0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1)，代入y_=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．

解答：

解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y_=4x，

过点P(-1，0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1)，

代入y_=4x，可得k_x+(2k_-4)x+k_=0，

∵机器人接触不到过点P(-1，0)且斜率为k的直线，

∴△=(2k_-4)_-4k_＜0，

∴k＜-1或k＞1．

故答案为：k＜-1或k＞1，所以选D．

点评：

本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

2单选题

若曲线y_=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是( )

k=0，b∈(-1，1)

k=0，b∈(-2，2)

k=1，b∈(-1，1)

k=1，b∈(-2，2)

题目答案

答案解析

分析：

首先根据曲线y_=|x|+1的解析式，做出其图象，进而根据图象判断出只有当直线y=kx+b，平行于x轴且在y轴的截距大于-1小于1．

解答：

解：作出函数y_=|x|+1=$\left\{\begin{matrix}x+1，x≥0 \ -x+1，x＜0 \ \end{matrix}\right.$的图象，

如右图所示：

所以，k=0，b∈(-1，1)；选A．

点评：

本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合数学思想的运用．

3单选题

直线y=2k与曲线9k_x+y_=18k_|x|(k∈R，且k≠0)的公共点的个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

把直线方程代入曲线方程，整理可得关于|x|的一元二次方程，根据判别式可知该方程有两个解，进而断定x有四解，答案可得．

解答：

解：将y=2k代入9k_x+y_=18k_|x|得：

9k_x+4k_=18k_|x|

∴9|x|_-18|x|+4=0，显然该关于|x|的方程有两正解，即x有四解；

所以交点有4个，

故选D．

点评：

本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查

4单选题

不论k为何值，直线y=kx+1与椭圆$\frac {x}{7}$+$\frac {y}{m}$=1都有公共点，则实数m的范围是（　　）

(0，1)

[1，+∞)

[1，7)∪(7，+∞)

(0，7)

题目答案

答案解析

分析：

利用椭圆与直线的位置关系转化为方程联立，利用判别式△满足的条件即可得出．

解答：

解：把直线y=kx+1代入椭圆$\frac {x}{7}$+$\frac {y}{m}$=1化为(m+7k_)x+14kx+7-7m=0(m≠7，m＞0)．

∵直线y=kx+1与椭圆$\frac {x}{7}$+$\frac {y}{m}$=1有公共点，

∴m+7k_≠0，△=(14k)_-4(m+7k_)(7-7m)≥0恒成立．

化为1-m≤7k_．上式对于任意实数k都成立，∴1-m≤0，解得m≥1．

∴实数m的范围是[1，7)∪(7，+∞)．

故选C．

点评：

熟练掌握椭圆与直线的位置关系转化为方程联立利用判别式△满足的条件等是解题的关键．

5单选题

直线y=x+3与曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1交点的个数为（　　）

题目答案

答案解析

分析：

通过对x分类讨论去掉曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1中的绝对值符号，再将直线y=x+3的方程与转化后的曲线方程联立，通过方程组的解可以得到正确结论．

解答：

解：若x≥0由$\left\{\begin{matrix}y=x+3 \ $\frac {y}{9}$-$\frac {x}{4}$=1 \ \end{matrix}\right.$得5x-24x=0，解得x$_1$=0或x$_2$=$\frac {24}{5}$，均满足题意，即直线与半双曲线有两个交点；

若x＜0由$\left\{\begin{matrix}y=x+3 \ $\frac {y}{9}$+$\frac {x}{4}$=1 \ \end{matrix}\right.$得5x+24x=0，解得x=-$\frac {24}{5}$，即直线与半椭圆有一个交点；

综上所述，可以排除A、B、C．

故选D．

点评：

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决的方法是分类讨论法，解方程组，体现的数学思想有转化思想，方程思想；也可以用数形结合法解决．

6单选题

过点(0，2)与抛物线y_=8x只有一个公共点的直线有（　　）

无数多条

3条

2条

1条

题目答案

答案解析

分析：

当过点(0，2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0；当过点(0，2)的直线的斜率等于0时，直线的方程为y=2；当过点(0，2)的直线斜率存在且不为零时，设为k，把y=kx+2，代入抛物线方程，由判别式等于0，求得k的值，从而得到结论．

解答：

解：抛物线y_=8x的焦点为(2，0)，当过点(0，2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为 x=0，即直线为y轴时，

与抛物线y_=8x只有一个公共点．

当过点(0，2)的直线的斜率等于0时，直线的方程为 y=2，与抛物线y_=8x只有一个公共点．

当过点(0，2)的直线斜率存在且不为零时，设为k，那么直线方程为：y-2=kx，即：y=kx+2，代入抛物线方程

可得 k_x+(4k-8)x+4=0，由判别式等于0 可得：64-64k=0，∴k=1，此时，直线的方程为

y=kx+2．

综上，满足条件的直线共有3条，

故选B．

点评：

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是解题的关键．

7单选题

过点(0，-3)的直线l与抛物线y_=4x只有一个公共点，则直线l的方程为（　　）

x=0或x+3y+9=0

y=-3或x+3y+9=0

x=0或y=-3

x=0或y=-3或x+3y+9=0

题目答案

答案解析

分析：

分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论．

解答：

解：由题意，斜率不存在时，直线x=0满足题意

斜率存在时，设方程为y=kx-3，代入y_=4x，可得k_x-(6k+4)x+9=0

∴k=0时，y=-3，满足题意；

k≠0时，△=(6k+4)_-36k_=0，∴k=-$\frac {1}{3}$，直线方程为x+3y+9=0

综上所述，直线l的方程为x=0或y=-3或x+3y+9=0．

故选D．

点评：

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．

8单选题

直线y=k(x+2)+$\frac {1}{2}$与曲线y_=x只有一个公共点，则k=（　　）

-$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{4}$

-$\frac {1}{2}$，$\frac {1}{4}$，0

$\frac {1}{2}$

$\frac {1}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

当斜率k=0 时，直线y=k(x+2)+$\frac {1}{2}$平行于x轴，与抛物线y_=x仅有一个公共点，当斜率不等于0时，把y=k(x+2)+$\frac {1}{2}$ 代入抛物线的方程化简，由判别式△=0求得实数k的值．

解答：

解：当斜率k=0 时，直线y=k(x+2)+$\frac {1}{2}$平行于x轴，与抛物线y_=x仅有一个公共点．

当斜率不等于0时，把y=k(x+2)+$\frac {1}{2}$代入抛物线y_=x整理得ky-y+2k+$\frac {1}{2}$=0．

由题意可得，此方程有唯一解，

故判别式△=1-4k(2k+$\frac {1}{2}$)=0

∴k=-$\frac {1}{2}$或k=$\frac {1}{4}$，

综上得：k=0，-$\frac {1}{2}$或 $\frac {1}{4}$．

故选B．

点评：

本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程有唯一解的条件，体现了分类讨论的数学思想．本题的易错点在于忘记讨论k=0的情况，从而得到错误结论．

9填空题

直线3x-2y+6=0与曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1有个交点．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

去绝对值后得到曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1为半椭圆与双曲线的部分，在平面直角坐标系内画出图形，数形结合得到直线与曲线交点个数．

解答：

解：由$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1，得

$\left\{\begin{matrix}$\frac {y}{9}$-$\frac {x}{4}$=1 (x≥0) \ $\frac {y}{9}$+$\frac {x}{4}$=1 (x＜0) \ \end{matrix}\right.$，

其图象如图，

双曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x}{4}$=1的渐近线方程为3x±2y=0．

直线3x-2y+6=0与3x-2y=0平行．

由图象可知，直线3x-2y+6=0与曲线$\frac {y}{9}$-$\frac {x•|x|}{4}$=1有2个交点．

故答案为：2．

点评：

本题考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法及数形结合的解题思想方法，是中档题．

10单选题

已知以F(-2，0)，F$_2$(2，0)为焦点的椭圆与直线x+$\sqrt {3}$y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )

3$\sqrt {11}$

2$\sqrt {7}$

$\sqrt {7}$

$\frac {$\sqrt {11}$}{4}$

题目答案

答案解析

分析：

先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得m和n的关系式，同时根据椭圆的焦点坐标求得半焦距得到m和n的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得m和n，则椭圆的长轴可得．

解答：

解：设椭圆方程为mx+ny_=1(m≠n＞0)，

联立方程组：$\left\{\begin{matrix}mx _+ny _=1 \ x+$\sqrt {3}$y+4=0 \ \end{matrix}\right.$

消x得：(3m+n)y+8$\sqrt {3}$my+16m-1=0，

△=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0，

整理，得3m+n=16mn即$\frac {3}{n}$+$\frac {1}{m}$=16，

又c=2，由焦点在x轴上，

所以$\frac {1}{m}$-$\frac {1}{n}$=4联立解得：m=$\frac {1}{7}$，n=$\frac {1}{3}$

故长轴长为2$\sqrt {7}$；

故答案为2$\sqrt {7}$，所以选B．

点评：

本题主要考查了直线与椭圆的关系．常需要把直线方程和椭圆方程联立，根据直线与椭圆的关系利用判别式或韦达定理来解决问题．

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