《空间中的平行关系》空间中的平行关系

1单选题

能保证直线与平面平行的条件是（　　）

直线与平面内的一条直线平行

直线与平面内的某条直线不相交

直线与平面内的无数条直线平行

直线与平面内的所有直线不相交

题目答案

答案解析

分析：

根据直线和平面平行判定定理，直线和平面平行的定义，研究由各个选项能否推出直线和平面平行，从而得出结论．

解答：

解：A不正确，因为由直线与平面内的一条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．B不正确，因为由直线与平面内的某条直线不相交，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内，也可能和平面相交．C不正确，因为由直线与平面内的无数条直线平行，不能推出直线与平面平行，直线有可能在平面内．D正确，因为由直线与平面内的所有直线不相交，依据直线和平面平行的定义可得直线与平面平行．故选D．

点评：

本题主要考查直线和平面平行判定定理，直线和平面平行的定义，考查逻辑推理论证能力，属于中档题．

2填空题

正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，异面直线A$_1$B与B$_1$C所成角的大小为°．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

连接A$_1$D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA$_1$D即为异面直线A$_1$B与B$_1$C所成的角，连接BD后，解三角形BA$_1$D即可得到异面直线A$_1$B与B$_1$C所成的角．

解答：

解：连接A$_1$D，由正方体的几何特征可得：A$_1$D∥B$_1$C，

则∠BA$_1$D即为异面直线A$_1$B与B$_1$C所成的角，

连接BD，易得：

BD=A$_1$D=A$_1$B

故∠BA$_1$D=60°

故答案为：60°

点评：

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA$_1$D即为异面直线A$_1$B与B$_1$C所成的角，是解答本题的关键．

3单选题

如图，在正方体ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，E、F、G、H分别为AA$_1$、AB、BB$_1$、B$_1$C$_1$的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

45°

60°

90°

120°

题目答案

答案解析

分析：

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A$_1$BC$_1$就是异面直线所成的角，在三角形A$_1$BC$_1$中求出此角即可．

解答：

解：如图，连A$_1$B、BC$_1$、A$_1$C$_1$，则A$_1$B=BC$_1$=A$_1$C$_1$，

且EF∥A$_1$B、GH∥BC$_1$，

所以异面直线EF与GH所成的角等于60°，

故选B．

点评：

本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

4单选题

如图，正棱柱ABCD-A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$中，AA$_1$=2AB，则异面直线A$_1$B与AD$_1$所成角的余弦值为(　　)

$\frac {1}{5}$

$\frac {2}{5}$

$\frac {3}{5}$

$\frac {4}{5}$

题目答案

答案解析

分析：

先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A$_1$BC$_1$就是异面直线所成的角，在三角形中A$_1$BC$_1$用余弦定理求解即可．

解答：

解：如图，连接BC$_1$，A$_1$C$_1$，

∠A$_1$BC$_1$是异面直线A$_1$B与AD$_1$所成的角，

设AB=a，AA$_1$=2a，∴A$_1$B=C$_1$B=$\sqrt {5}$a，A$_1$C$_1$=$\sqrt {2}$a，

∠A$_1$BC$_1$的余弦值为$\frac {4}{5}$，

故选D．

点评：

本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

5单选题

在正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，若AB=$\sqrt {2}$，BB$_1$=1，则AB$_1$与C$_1$B所成角的大小为（　　）

60°

90°

105°

75°

题目答案

答案解析

分析：

取A$_1$B$_1$中点D，连结BD、C$_1$D，矩形AA$_1$B$_1$B中利用三角函数的定义，证出∠B$_1$BD=∠B$_1$AB，可得AB$_1$⊥BD．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中证出AB$_1$⊥平面BC$_1$D，从而得出AB$_1$⊥C$_1$B，即AB$_1$与C$_1$B所成角的大小为90°．

解答：

解：取A$_1$B$_1$中点D，连结BD、C$_1$D，

∵矩形AA$_1$B$_1$B中，tan∠B$_1$BD=tan∠B$_1$AB=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$

∴∠B$_1$BD=∠B$_1$AB=90°-∠ABD，可得∠B$_1$AB+∠ABD=90°

因此AB$_1$⊥BD

∵正三棱柱ABC-A$_1$B$_1$C$_1$中，平面A$_1$B$_1$C$_1$⊥平面AA$_1$B$_1$B

平面A$_1$B$_1$C$_1$∩平面AA$_1$B$_1$B=A$_1$B$_1$，DC$_1$⊥A$_1$B$_1$

∴直线DC$_1$⊥平面AA$_1$B$_1$B，可得DC$_1$⊥AB$_1$

∵DC$_1$∩BD=D，∴AB$_1$⊥平面BC$_1$D

因此，可得AB$_1$⊥C$_1$B，即AB$_1$与C$_1$B所成角的大小为90°

故选：B

点评：

本题在正三棱柱中求异面直线所成角大小．着重考查了正棱柱的性质、空间垂直位置关系的判断与性质等知识，属于中档题．

6单选题

如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是(　　)

90°

60°

45°

30°

题目答案

答案解析

分析：

将其还原成正方体ABCD-PQRS，连接SC，AS，可得∠ASC(或其补角)即为所求角．

解答：

解：将其还原成正方体ABCD-PQRS，连接SC，AS，则PB∥SC，

∴∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角

∵△ACS为正三角形，

∴∠ACS=60°

∴PB与AC所成的角是60°

故选B．

点评：

本题考查线线角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

7填空题

如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中，异面直线AB与CD所成的角的大小是°．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

把展开图正确恢复到原正方体．利用正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质即可得出．

解答：

解：把展开图恢复到原正方体．

连接DE，EC．

由正方体可得AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥ED．

∴∠CDE或其补角是异面直线AB与CD所成的角．

由正方体可得：CD=DE=EC，∴△CDE是等边三角形，∴∠CDE=60°．

∴异面直线AB与CD所成的角是60°．

故答案为60°．

点评：

把展开图正确恢复到原正方体．熟练掌握正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质是解题的关键．

8单选题

平面α与平面β平行的条件可以是（　　）

α内有无穷多条直线与β平行

直线a∥α，a∥β

直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α

α内的任何直线都与β平行

题目答案

答案解析

分析：

当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，

故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选 C，利用排除法应选D．

解答：

解：当α内有无穷多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能相交，故不选A．

当直线a∥α，a∥β时，a与β可能平行，也可能相交，故不选 B．

当直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β 时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C．

当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，

故选 D．

点评：

本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况．

9单选题

下列说法中，正确的是（　　）

在同一平面内，经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行

两个相等的角是对顶角

互补的两个角一定是邻补角

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

题目答案

答案解析

分析：

根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；

B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；

C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；

D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．

故选D．

点评：

本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．

10填空题

如图，三棱锥D-ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，共有对线面平行．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由三棱锥D-ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，得GF∥BD，FE∥AC，GE∥AD，由此能求出共在3对线面平行．

解答：

解：∵三棱锥D-ABC中，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，

∴GF∥BD，FE∥AC，

又GF不包含于平面ABD，BD⊂平面ABD，∴GF∥平面ABD，

EF不包含于平面ADC，AC⊂平面ABD，∴EF∥平面ADC，

∴共在2对线面平行．

故答案为：2．

点评：

本题考查三棱锥中线面平行的对数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

11填空题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC上的动点，当PE=PC时，PA∥平面BDE．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {1}{2}$

答案解析

分析：

设AC∩BD=O，由已知条件推导出PA∥OE，O是AC中点，从而得到当PE=$\frac {1}{2}$PC时，PA∥平面BDE．

解答：

解：如图，设AC∩BD=O，

∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是PC上的动点，

∴O是AC中点，

∵PA∥平面BDE，PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

又OE，PA共面于面PAC，

∴PA∥OE，

∴E是PC中点，

∴当PE=$\frac {1}{2}$PC时，PA∥平面BDE．

故答案为：$\frac {1}{2}$．

点评：

本题考查线面平行时点的位置的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

12单选题

给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两不同平面平行；

②若平面α∥平面β，直线m⊂平面α，则m∥β；

③直线m与平面α，β所成的线面角相等，则α∥β；

④若直线m⊥直线n，平面α∥平面β，直线m⊥平面α，则直线n∥平面β；

其中真命题的个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

对查空间的线面位置关系的判断问题，熟记课本定理、公里的条件和结论，再结合实物找反例解决即可．

①②显然正确；③中α和β相交时也可能有直线m与平面α，β所成的线面角相等，④中n⊂β内也可

解答：

解：①②显然正确；③中α和β相交时也可能有直线m与平面α，β所成的线面角相等，故错误；④中n⊂β内也可，故错误．

故选B

点评：

本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．

13单选题

给出下列四个命题：①若直线a∥平面α，直线b⊥α，则a⊥b；②若直线a∥平面α，α⊥平面β，则a⊥β；③若a、b是二条平行直线，b⊂平面α，则a∥α；④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α∥γ．其中不正确的命题的个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．

解答：

解：①若直线a∥平面α，直线b⊥α，

则由直线与平行垂直的性质得a⊥b，故①正确；

②若直线a∥平面α，α⊥平面β，则a与β相交、平行或a⊂β，故②错误；

③若a、b是二条平行直线，b⊂平面α，则a∥α或a⊂α，故③错误；

④若平面α⊥平面β，平面γ⊥β，则α与γ相交或平行，故④错误．

故选：C．

点评：

本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．

14单选题

给出以下命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行；

(3)两个不重合的平面α与β，若α内有不共线的三个点到β的距离相等，则α∥β；

(4)不重合的两直线a，b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a∥α．

其中正确命题个数是（　　）

题目答案

答案解析

分析：

利用空间中线面平行与面面垂直的判定与性质对选项逐一分析即可．

解答：

解：(1)垂直于同一平面的两个平面可能互相平行，也可能相交，如教室的东西墙面均与地面垂直，东西墙面相互平行；教室中的西、北墙面均与地面垂直，但西墙面与北墙面相交，故不正确；

(2)如果投影面与两条异面直线的公垂线平行，且两条异面直线与投影面均不垂直，此时两条异面直线的投影为两条平行线，故不正确；

(3)两个不重合的平面α与β，若α内有不共线的三个点到β的距离相等，则α∥β或α、β相交，故不正确；

(4)不重合的两直线a，b和平面α，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故不正确．

故选：A．

点评：

本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中线面平行与面面垂直的判定与性质，属于中档题．

15单选题

下列四个命题中，假命题是（　　）

若平面内有两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则两个平面平行

平行于同一平面的两个平面平行

如果平面内有无数条直线都与平面平行，则两个平面平行

如果平面内任意一条直线都与平面平行，则两个平面平行

题目答案

答案解析

分析：

由面面平行判定定理的推论，可判断A的真假；由平行公理(平行的传递性)可以判断B的真假；根据面面平行的判定方法及线面平行几何特征，可以判断C的真假；根据面面平行的定义及判定定理可得D的真假．

解答：

解：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别平行，

则该平面内有两条相交直线与另一平面平面，由面面平行的判定定理可得两个平面平行，故A为真命题；

由线线平行的传递性，类比到面面平行结合面面平行的几何特征可得B也为真命题；

如果平面内有无数条相互平行的直线都与平面平行，则两个平面不一定平行，故C为假命题；

如果平面内任意一条直线都与平面平行，由面面平行的判定定理，可得两个平面平行，故D为真命题；

故选C

点评：

本题以面面平行的判定为载体考查了空间面面平行的判定定理及其推论，熟练掌握面面平行的判定方法及几何特征是解答的关键．

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