《常见幂函数的图象》常见幂函数的图象

1单选题

当x∈(1，+∞)时，幂函数y=x_的图像恒在直线y=x的下方，则α的取值范围是（　　）

(-∞，1)

(0，1)

(0，+∞)

(-∞，0)

题目答案

答案解析

分析：

直接利用幂函数的图象，结合已知条件，即可求出a的范围

解答：

解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，

当x∈(1，+∞)时，幂函数y=x_的图象恒在直线y=x的下方，

则α的取值范围是：(-∞，1)．

故选A

点评：

本题是基础题，考查幂函数的图象与幂函数的基本性质，考查基本知识的掌握的情况

2单选题

现有下列命题：①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③当n=0时，函数y=x的图象是一条直线；④幂函数y=xⁿ，当n＞0时是增函数；⑤幂函数y=xⁿ，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．其中正确命题的序号有( )个．

题目答案

答案解析

分析：

根据幂函数的性质，找出反例，直接判定①②③④⑤的正误，推出正确结果．

解答：

解：①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)，如：y=xⁿ不过(0，0)，错误；②幂函数的图象不可能在第四象限；正确；③当n=0时，函数y=xⁿ的图象是一条直线；不含(0，1)错误；④幂函数y=xⁿ，当n＞0时是增函数；例如偶函数，不正确；⑤幂函数y=xⁿ，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小，正确；故答案为：A

点评：

本题考查幂函数的性质，考查基本知识的应用，是基础题．

3单选题

如果幂函数y=(m_-3m+3)x_的图象不过原点，则m取值是（　　）

-1≤m≤2

m=1或m=2

m=2

m=1

题目答案

答案解析

分析：

幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．

解答：

解：幂函数y=(m_-3m+3)x_的图象不过原点，所以$\left\{\begin{matrix}m_-m-2≤0 \ m_-3m+3=1 \ \end{matrix}\right.$

解得m=1或2，符合题意．

故选B．

点评：

本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．

4单选题

下列命题中正确的是（　　）

当α=0时函数y=x_的图象是一条直线

幂函数的图象都经过(0，0)和(1，1)点

若幂函数y=x_是奇函数，则y=x_是定义域上的增函数

幂函数的图象不可能出现在第四象限

题目答案

答案解析

分析：

根据幂函数的图象和性质，我们根据定义域，特殊点，单调性及图象经过的象限，对四个答案进行分析，即可得到答案．

解答：

解：当α=0时函数y=x_的图象是一条直线除去(0，1)点，故A错误；

幂函数的图象都经过(1，1)点，当指数大于0时，都经过(0，0)点，故B错误；

若幂函数y=x_是奇函数，且a＞0时，y=x_是定义域上的增函数，a＜0时，y=x_在(-∞，0)及(0，+∞)上均为减函数，故C错误；

由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故D正确

故选D

点评：

本题考查的知识点是幂函数的性质，幂函数是新课标的新增内容，其图象和性质会成为近几年高考新的热点．

5单选题

函数y=x_在区间上[$\frac {1}{2}$，2]的最大值是（　　）

$\frac {1}{4}$

-1

-4

题目答案

答案解析

分析：

先判断函数y=x_在区间上[$\frac {1}{2}$，2]的单调性，再求函数y=x_在区间上[$\frac {1}{2}$，2]的最大值．

解答：

解：∵函数y=x_在第一象限是减函数，

∴函数y=x_在区间[$\frac {1}{2}$，2]上的最大值是f($\frac {1}{2}$)=($\frac {1}{2}$)_=4．

故选C．

点评：

本题考查函数的性质的应用，解题时要注意幂函数单调性的应用．

6单选题

设函数y=x_与y=($\frac {1}{2}$)_的图象的交点为(x_0，y_0)，则x_0所在的区间是（　　）

(0，1)

(1，2)

(2，3)

(3，4)

题目答案

答案解析

分析：

构造函数f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_，利用零点存在定理判断即可．

解答：

解：令f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_，

∵f′(x)=3x-($\frac {1}{2}$)_ln$\frac {1}{2}$=3x+($\frac {1}{2}$)_ln2＞0，

∴f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_在R上单调递增；

又f(1)=1-$\frac {1}{2}$=$\frac {1}{2}$＞0，

f(0)=0-1=-1＜0，

∴f(x)=x-($\frac {1}{2}$)_的零点在(0，1)，

∵函数y=x_与y=($\frac {1}{2}$)_的图象的交点为(x_0，y_0)，

∴x_0所在的区间是(0，1)．

故答案为：A．

点评：

本题考查零点存在定理，属于中档题．

7单选题

下列幂函数中，过点(0，0)，(1，1)的偶函数的是（　　）

y=x_

题目答案

答案解析

分析：

A先看定义域是[0，+∞)，不关于原点对称，不是偶函数．

B验证是否过这两个点，再看f(-x)与f(x)的关系．

C验证是否过这两个点，再看f(-x)与f(x)的关系．

D验证是否过这两个点，再看f(-x)与f(x)的关系．

解答：

解：A、定义域是[0，+∞)，不关于原点对称，不具有奇偶性．

B通过验证过这两个点，又定义域为R，且f(-x)=(-x)_=x_=f(x)．

C不过(0，0)．

Df(-x)=(-x)_=-x_=-f(x)

∴f(x)是奇函数，不满足偶函数的条件．

故选B

点评：

本题主要考查，点是否在曲线，即点的坐标是否适合曲线的方程以及函数的奇偶性，要先看定义域，再看-x与x的函数值间的关系．

8单选题

若幂函数y=(m_-3m+3)x_的图象不过原点，则（　　）

1≤m≤2

m=1或m=2

m=2

m=1

题目答案

答案解析

分析：

幂函数y=(m_-3m+3)x_的图象不过原点，可得$\left\{\begin{matrix}m_-3m+3=1 \ m-2≤0 \ \end{matrix}\right.$，解出即可得出．

解答：

解：∵幂函数y=(m_-3m+3)x_的图象不过原点，

∴$\left\{\begin{matrix}m_-3m+3=1 \ m-2≤0 \ \end{matrix}\right.$，解得m=1或m=2．

故选：B．

点评：

本题考查了幂函数的解析式及其性质，考查了计算能力，属于基础题．

9填空题

若幂函数y=(m_-m-1)x_的图象不经过原点，则m的值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

答案解析

分析：

由幂函数y=(m_-m-1)x_的图象不经过原点可得m_-m-1=1，2-3m＜0；从而解得．

解答：

解：∵幂函数y=(m_-m-1)x_的图象不经过原点，

∴m_-m-1=1，2-3m＜0；

解得，m=2；

故答案为：2．

点评：

本题考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．

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