《弦切角定理》弦切角定理 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《弦切角定理》弦切角定理

1填空题

如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=．

填空题答案仅供参考

题目答案

3

答案解析

分析：

证明△AEF∽△ACB，可得$\frac {AE}{AC}$=$\frac {EF}{BC}$，即可得出结论．

解答：

解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，

∴∠AEF=∠C，

∵∠EAF=∠CAB，

∴△AEF∽△ACB，

∴$\frac {AE}{AC}$=$\frac {EF}{BC}$，

∵BC=6，AC=2AE，

∴EF=3．

故答案为：3．

点评：

本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

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2单选题

已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=(　　)

A
$\sqrt {2}$
B
$\sqrt {3}$
C
2$\sqrt {2}$
D
$\sqrt {5}$

题目答案

B

答案解析

分析：

连接AB，根据弦切角定理及三角形相似的判定，我们易得△PBA～△PAC，再由相似三角形的性质，我们可以建立未知量与已知量之间的关系式，解方程即可求解．

解答：

解：依题意，我们知道△PBA～△PAC，

由相似三角形的对应边成比例性质我们有$\frac {PA}{2R}$=$\frac {PB}{AB}$，

即R=$\frac {PA•AB}{2PB}$=$\frac {2×$\sqrt {}$}{2×1}$=$\sqrt {3}$．

故答案为：B．

点评：

在平面几何中，我们要求线段的长度，关键是寻找未知量与已知量之间的关系，寻找相似三角形和全等三角形是常用的方法，根据相似三角形的性质，很容易得到已知量与未知量之间的关系，解方程即可求解．

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3单选题

如图，在圆O中，AB是弦，AC是圆O切线，过B点作BD⊥AC于点D，BD交圆O于点E，若AE平分∠BAD，则∠ABD的度数是(　　)

A
30°
B
45°
C
60°
D
50°

题目答案

A

答案解析

分析：

由已知得∠DAE=∠BAE=∠ABD且∠DAE+∠BAE+∠ABD=90°，由此能求出∠ABD=30°．

解答：

解：∵在圆O中，AB是弦，AC是圆O切线，过B点作BD⊥AC于点D，

BD交圆O于点E，AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠BAE=∠ABD且∠DAE+∠BAE+∠ABD=90°，

∴∠ABD=30°．

故选：A．

点评：

本题考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意弦切角的性质的合理运用．

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4填空题

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，则∠BAP=°．

填空题答案仅供参考

题目答案

30

答案解析

分析：

根据切线的性质可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，易求得∠OPA的正弦值，即可得出∠OPA的度数，再根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．

解答：

解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，

∴OA⊥PA，

∴∠OAP=90°；

在Rt△OAP中，

∵sin∠OPA=$\frac {OA}{OP}$=$\frac {3}{6}$=$\frac {1}{2}$，

∴∠OPA=30°，

∴∠AOP=90°-∠OPA=90°-30°=60°；

在△OAB中，

∵∠AOP=60°，OA=OB，

∴∠OAB=60°，

∴∠BAP=∠OAP-∠OAB=90°-60°=30°．

点评：

本题考查的是切线的性质、特殊角的三角函数及直角三角形的性质．

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5单选题

如图所示，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C=36°，则∠ABD的度数是(　　)

A
72°
B
63°
C
54°
D
36°

题目答案

B

答案解析

分析：

连结OB，则∠OBC=90°．由已知条件求出∠A=27°．由此能求出∠ABD的度数．

解答：

解：连结OB．∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC=90°．

∵∠C=36°，∴∠BOC=54°．

又∵∠BOC=2∠A，∴∠A=27°．

∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°．

故选：B．

点评：

本题考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用．

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6填空题

如图，PB为△ABC外接圆O的切线，BD平分∠PBC，交圆O于D，C，D，P共线．若AB⊥BD，PC⊥PB，PD=1，则圆O的半径是．

填空题答案仅供参考

题目答案

2

答案解析

分析：

连结AD，由PB为圆O的切线，得∠PBD=∠BCP=∠BAD，结合BD为∠PBC的平分线，可得∠PDB=2∠PBD=60°，在Rt△BPD中，由PD=1，得BD=2，由Rt△ABD与Rt△BPD的内角关系得AD的长度，即得圆O的半径．

解答：

解：如右图所示，连结AD，∵PB为圆O的切线，∴∠PBD=∠BCD=∠BAD，

∵BD为∠PBC的平分线，∴∠PBD=∠CBD，

∴∠PDB=∠CBD+∠BCD=∠PBD+∠PBD=2∠PBD，

又∵PC⊥PB，∴∠PBD=∠BCD=∠CBD=∠BAD=30°，∠PDB=60°．

由PD=1，得BD=2PD=2．

在△ABD中，∵AB⊥BD，∴AD是圆O的直径，且直径AD=2BD=4，

∴圆O的半径为2．

故答案为：2．

点评：

本题考查了圆的弦切角定理及直角三角形的有关性质等，解题的突破口是得到∠BDP与∠PBD的2倍关系．应记住一些常用的结论，如

(1)弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．

(2)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

(3)同弧(或等弧)所对的圆周角相等．

(4)90°的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是90°．

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