《不等式的实际应用》不等式的实际应用

1填空题

某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F=$\frac {76000v}{v_+18v+20l}$．

(Ⅰ)如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为辆/小时；

(Ⅱ)如果限定车型，l=5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加辆/小时．

填空题答案仅供参考

题目答案

1900100

答案解析

分析：

(Ⅰ)把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值．

(Ⅱ)把l带入，分子分母同时除以v，利用基本不等式求得F的最大值最后与(Ⅰ)中最大值作差即可．

解答：

解：(Ⅰ)F=$\frac {76000v}{v_+18v+20l}$=$\frac {76000}{v+$\frac {121}{v}$+18}$，

∵v+$\frac {121}{v}$≥2$\sqrt {121}$=22，当v=11时取最小值，

∴F=$\frac {76000}{v+$\frac {121}{v}$+18}$≤1900，

故最大车流量为：1900辆/小时；

(Ⅱ)F=$\frac {76000v}{v_+18v+20l}$=$\frac {76000v}{v_+18v+100}$=$\frac {76000}{v+$\frac {100}{v}$+18}$，

∵v+$\frac {100}{v}$≥2$\sqrt {100}$=20，

∴F≤2000，

2000-1900=100(辆/小时)

故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加100辆/小时．

故答案为：1900，100

点评：

本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足．

2单选题

在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m_的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位m)的取值范围是(　　)

[15，20]

[12，25]

[10，30]

[20，30]

题目答案

答案解析

分析：

设矩形的高为y，由三角形相似可得$\frac {x}{40}$=$\frac {40-y}{40}$，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由$\frac {x}{40}$=$\frac {40-y}{40}$，得y=40-x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．

解答：

解：设矩形的高为y，由三角形相似得：

$\frac {x}{40}$=$\frac {40-y}{40}$，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，

由$\frac {x}{40}$=$\frac {40-y}{40}$，得y=40-x，

∴x(40-x)≥300，

解得10≤x≤30．

故选C．

点评：

此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．

3单选题

我市某公司，第一年产值增长率为p，第二年产值增长率q，这二年的平均增长率为x，那么x与$\frac {p+q}{2}$大小关系(p≠q)是（　　）

x＜$\frac {p+q}{2}$

x=$\frac {p+q}{2}$

x＞$\frac {p+q}{2}$

与p、q联值有关

题目答案

答案解析

分析：

根据题意先列出方程，再由基本不等式列出不等式，进而比较出x和$\frac {p+q}{2}$的大小关系．

解答：

解：由题意知，(1+x)_=(1+p)(1+q)，

∴1+x=$\sqrt {(1+p)(1+q)}$≤$\frac {(1+p)+(1+q)}{2}$=1+$\frac {p+q}{2}$，

∴x≤$\frac {p+q}{2}$，当且仅当p=q时等号成立，

又∵p≠q，∴x＜$\frac {p+q}{2}$，

故选A．

点评：

本题考查了基本不等式在实际生活中的应用，需要根据题意列出关系式，利用“一正、二定、三相等”进行判断．

4填空题

某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万元．

(1)捕捞年后总盈利最大，最大是万元．

(2)捕捞年后年平均利润最大，最大是万元．

填空题答案仅供参考

题目答案

10102712

答案解析

分析：

(1)由已知中某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元，从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元，该船每年捕捞总收入50万，根据总盈利=总收入-总投入，结合等差数列的前n项和公式，即可得到总盈利y关于年数n的函数表达式．进而根据二次函数的性质，得到结论．

(2)根据(1)中总盈利y关于年数n的函数表达式，根据年平均利润为$\frac {y}{n}$，结合基本不等式，即可得到年平均利润最大值，及对应的时间．

解答：

解：(1)设船捕捞n年后的总盈利为y万元，则

y=50n-98-[12×n+$\frac {n(n-1)}{2}$×4]=-2(n-10)_+102．(5分)

所以，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(6分)

(2)年平均利润为$\frac {y}{n}$=-2(n+$\frac {49}{n}$)+40≤-28+40=12．(10分)

当且仅当n=$\frac {49}{n}$，即n=7时，上式取等号．(11分)

所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．(12分)

点评：

本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的前n项和，其中熟练掌握二次函数的性质，基本不等式是解答函数最值类问题的关键．

5单选题

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“(　　)”的几何解释．

如果a＞b，b＞c，那么a＞c

如果a＞b＞0，那么a_＞b_

对任意实数a和b，有a_+b_≥2ab，当且仅当a=b时等号成立

如果a＞b，c＞0那么ac＞bc

题目答案

答案解析

分析：

可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c_=a_+b_)，可得外围的正方形的面积为c_，也就是a_+b_，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a_+b_≥2ab，即可得出．

解答：

解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c_=a_+b_)，

则外围的正方形的面积为c_，也就是a_+b_，四个阴影面积之和刚好为2ab，

对任意正实数a和b，有a_+b_≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．

故选：C．

点评：

本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．

6填空题

在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量P是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为24吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为18吨，由于该水域面积限制，最多只能放置12个网箱．已知养殖总成本为50+2x万元．

(1)放置个网箱时，总产量Q最高．

(2)若鱼的市场价为1万元/吨，应放置个网箱才能使每个网箱的平均收益最大．

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题目答案

答案解析

分析：

(1)设出一次函数，利用条件，求出函数解析式，即可求得总产量函数，再利用配方法，即可求得最大值；

(2)确定总收益函数，求得平均收益，利用基本不等式求最值．

解答：

解：(1)设p=ax+b，由已知得$\left\{\begin{matrix}24=4a+b \ 18=7a+b \ \end{matrix}\right.$，∴$\left\{\begin{matrix}a=-2 \ b=32 \ \end{matrix}\right.$

∴p=-2x+32

∴Q=px=(-2x+32)x=-2(x-8)_+128(x∈N_+，x≤12)

∴当x=8时，f(x)最大

即放置8个网箱时，可使总产量达到最大

(2)收益为y=(-2x+32)×1-(50+2x)(x∈N_+，x≤12)

∴$\frac {y}{x}$=-2x-$\frac {50}{x}$+30(x∈N_+，x≤12)

∵2x+$\frac {50}{x}$≥20(当且仅当2x=$\frac {50}{x}$，即x=5时取等号)

∴y≤-20+30=10

即x=5时，y_max=10万元．

点评：

本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是建立函数模型，属于中档题．

7填空题

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用，如图所示，ABCD(AB＞AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P，经试验当△ADP的面积最大时最节能．

(1)设AB=x(米)，用y表示图中DP的长度，x的取值范围是＜x＜．

(2)若要求最节能，薄板的长应为米；宽应为米(精确到0.01米)．

填空题答案仅供参考

题目答案

121.410.59

答案解析

分析：

(1)由题意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．设DP=y，从而求出x与y的关系；

(2)记△ADP的面积为S$_1$，从而可得S$_1$=(1-$\frac {1}{x}$)(2-x)，化简利用基本不等式求最值．

解答：

解：(1)由题意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．

设DP=y，则PC=x-y．又△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．

由PA_=AD_+DP_，

得(x-y)_=(2-x)_+y_，y=2(1-$\frac {1}{x}$)，1＜x＜2．

(2)记△ADP的面积为S$_1$，

则S$_1$=(1-$\frac {1}{x}$)(2-x)=3-(x+$\frac {2}{x}$)≤3-2$\sqrt {2}$，

当且仅当x=$\sqrt {2}$≈1.41∈(1，2)时，S$_1$取得最大值．

故当薄板长为1.41米，宽为(2-$\sqrt {2}$)≈0.59米时，节能效果最好．

点评：

本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．

8单选题

一轮船行驶时，单位时间的燃料费u与其速度v的立方成正比，若轮船的速度为每小时10km 时，燃料费为每小时35元，其余费用每小时为560元，这部分费用不随速度而变化．已知该轮船最高速度为25km/h，则轮船速度为(　　)km/h时，轮船行每千米的费用最少．

题目答案

答案解析

分析：

设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv_(k≠0)，由已知，当v=10时，u=35，可得35=k×10_⇒k=$\frac {7}{200}$，即u=$\frac {7}{200}$v_．由题意可得轮船行驶1千米的费用y=u•$\frac {1}{v}$+560•$\frac {1}{v}$，利用均值不等式即可得出结论．．

解答：

解：设轮船的燃料费u与速度v之间的关系是：u=kv_(k≠0)，

由已知，当v=10时，u=35，∴35=k×10_⇒k=$\frac {7}{200}$，

∴u=$\frac {7}{200}$v_．

∴轮船行驶1千米的费用y=u•$\frac {1}{v}$+560•$\frac {1}{v}$=$\frac {7}{200}$v_+$\frac {280}{v}$+$\frac {280}{v}$≥3$\sqrt {}$=42(元)；

当且仅当$\frac {7}{200}$v_=$\frac {280}{v}$，即v=20(km/h)时，等号成立．

故选：C．

点评：

本题考查了正比例函数、均值不等式的应用，熟练掌握是解题的关键，属于中档题．

9填空题

某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x_(0＜x＜240，x∈N_+)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是台．

填空题答案仅供参考

题目答案

150

答案解析

分析：

首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之．

解答：

解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，

又因为总收入为：25x，

总支出为：3000+20x-0.1x_

∴25x≥3000+20x-0.1•x_

解得：x≥150或x≤-200

又x∈(0，240)

∴x≥150

故答案为：150．

点评：

本题考查的是函数模型的选择与应用问题．在解答的过程当中充分体现了审题在应用问题中的重要性，关键时将问题转化为一元二次不等式．

10填空题

某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为万元．

填空题答案仅供参考

题目答案

220

答案解析

分析：

先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．

解答：

解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y$_1$万元，仓储费为y$_2$万元，则y$_1$=k$_1$x，y$_2$=$\frac {k$_2$}{x}$

∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，

∴k$_1$=5，k$_2$=20，

∴运费与仓储费之和为5x+$\frac {20}{x}$

∵5x+$\frac {20}{x}$≥2$\sqrt {}$=20，当且仅当5x=$\frac {20}{x}$，即x=2时，运费与仓储费之和最小为20万元

故答案为：2，20

点评：

本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，正确确定函数解析式是关键．

11填空题

用一根长为10m的绳索围成一个圆心角为α(0＜α＜π)，半径不超过2m的扇形场地，设扇形的半径为x m，面积为S m_．当半径x=；圆心角α=时，所围成的扇形场地的面积S最大，该最大面积为平方米．

填空题答案仅供参考

题目答案

236

答案解析

分析：

直接利用扇形的周长公式以及面积公式写出S关于x的表达式，再利用二次函数的单调性求出当半径x和圆心角α分别是多少时，所围成的扇形场地的面积S最大，直接求最大面积．

解答：

解：扇形的半径为x m，扇形的周长10m，

扇形的弧长为：10-2x，m

∴S=$\frac {1}{2}$(10-2x)x=-x+5x，x∈($\frac {10}{π+2}$，2]．

∵S=-x+5x，x∈($\frac {10}{π+2}$，2]．函数S在x∈($\frac {10}{π+2}$，2]上是增函数，

∴x=2时扇形面积最大，此时扇形的圆心角：$\frac {6}{2}$=3，

扇形面积的最大值为：6m_．

点评：

本题考查扇形面积公式以及周长公式的应用，二次函数的最大值的求法．

12单选题

把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（　　）

$\frac {3}{2}$$\sqrt {3}$cm_

4cm_

3$\sqrt {2}$cm_

2$\sqrt {3}$cm_

题目答案

答案解析

分析：

设两段长分别为xcm，(12-x)cm，则这两个正三角形面积之和 S=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$($\frac {x}{3}$)_+$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$($\frac {12-x}{3}$)_，

利用二次函数的性质求出其最小值．

解答：

解：设两段长分别为xcm，(12-x)cm，

则这两个正三角形面积之和 S=$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$($\frac {x}{3}$)_+$\frac {$\sqrt {3}$}{4}$($\frac {12-x}{3}$)_

=$\frac {$\sqrt {3}$}{18}$(x-12x+72)=$\frac {$\sqrt {3}$}{18}$[(x-6)_+36]≥2$\sqrt {3}$，

故选 D．

点评：

本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．

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