《余弦型函数的对称性》余弦型函数的对称性 - 人教版高考数学复习数学知识点练习 - 读趣百科

《余弦型函数的对称性》余弦型函数的对称性

1单选题

函数y=cos(2x+$\frac {π}{2}$)的图象的一条对称轴方程是（　　）

A
x=-$\frac {π}{2}$
B
x=-$\frac {π}{4}$
C
x=$\frac {π}{8}$
D
x=π

题目答案

B

答案解析

分析：

根据三角函数的图象，三角函数的函数值取最值时，求得对称轴的x取值．

解答：

解：此函数的对称轴方程为2x+$\frac {π}{2}$ =kπ(k∈Z)，当k=0时，x= -$\frac {π}{4}$．

故选B．

点评：

本题是基础题，求出余弦函数的对称轴方程是解决此问题的关键．

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2填空题

函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点($\frac {4π}{3}$，0)成中心对称，则φ的最小正值为．

填空题答案仅供参考

题目答案

$\frac {5π}{6}$

答案解析

分析：

通过已知条件，x=$\frac {4π}{3}$时，函数值为0，即可求出φ的最小正值．

解答：

解：函数f(x)=3cos(2x+φ)的图象关于点($\frac {4π}{3}$，0)成中心对称，所以3cos(2×$\frac {4π}{3}$+φ)=0，

φ=kπ+$\frac {π}{2}$-$\frac {2π}{3}$，k∈Z，所以φ的最小正值为$\frac {5π}{6}$；

故答案为：$\frac {5π}{6}$．

点评：

本题是基础题，考查函数的对称性的应用，注意最小值的求法，考查计算能力．

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3单选题

函数y=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2$\sqrt {2}$，则该函数的一条对称轴为(　　)

A
x=$\frac {2}{π}$
B
x=$\frac {π}{2}$
C
x=1
D
x=2

题目答案

C

答案解析

分析：

函数y=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，求出φ，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2$\sqrt {2}$，求出函数的周期，然后得到ω，求出对称轴方程即可．

解答：

解：函数y=cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，所以φ=$\frac {π}{2}$，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2$\sqrt {2}$，所以(2$\sqrt {2}$)_=2_+($\frac {T}{2}$)_，

所以T=4，ω=$\frac {π}{2}$，所以函数的表达式为：y=-sin$\frac {π}{2}$x，显然x=1是它的一条对称轴方程．

故选C

点评：

本题是基础题，考查函数解析式的求法，三角函数的对称性的应用，考查分析问题解决问题的解决问题的能力．

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4单选题

将函数y=cos(x-$\frac {π}{3}$)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移$\frac {π}{6}$个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（　　）

A
x=$\frac {π}{9}$
B
x=$\frac {π}{8}$
C
x=$\frac {π}{2}$
D
x=π

题目答案

C

答案解析

分析：

通过函数y=cos(x-$\frac {π}{3}$)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．

解答：

解：函数y=cos(x-$\frac {π}{3}$)的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：y=cos($\frac {1}{2}$x-$\frac {π}{3}$)，再向左平移$\frac {π}{6}$个单位得到函数为：

y=cos($\frac {1}{2}$x-$\frac {π}{3}$+$\frac {π}{12}$)=cos($\frac {1}{2}$x-$\frac {π}{4}$)，所得函数的图象的一条对称轴为：x=$\frac {π}{2}$．

故选C．

点评：

本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题．

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5单选题

函数y=2cos(x+$\frac {π}{4}$)图象的一条对称轴是（　　）

A
x=0
B
x=$\frac {π}{4}$
C
x=$\frac {π}{2}$
D
x=$\frac {3π}{4}$

题目答案

D

答案解析

分析：

利用余弦函数的对称性即可求得答案．

解答：

解：∵y=2cos(x+$\frac {π}{4}$)，

∴其对称轴方程由x+$\frac {π}{4}$=kπ，(k∈Z)得：

x=kπ-$\frac {π}{4}$，k∈Z，

令k=1，x=$\frac {3π}{4}$．

故选D．

点评：

本题考查余弦函数的对称性，掌握余弦函数的对称性及其应用是解本题的关键，属于中档题．

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6单选题

已知函数f(x)=$\frac {1}{2}$cos(ωx+φ)+1(ω＞0)的图象的一条对称轴为直线x=$\frac {π}{3}$，且f($\frac {π}{12}$)=1，则ω的最小值为（　　）

A
2
B
4
C
6
D
8

题目答案

A

答案解析

分析：

由题意可得$\frac {T}{4}$≤$\frac {π}{3}$-$\frac {π}{12}$，结合周期公式解不等式可得．

解答：

解：∵函数f(x)=$\frac {1}{2}$cos(ωx+φ)+1(ω＞0)的图象的一条对称轴为直线x=$\frac {π}{3}$，

且点($\frac {π}{12}$，1)为函数图象的一个对称中心，设函数的周期为T，

∴$\frac {T}{4}$=$\frac {π}{2ω}$≤$\frac {π}{3}$-$\frac {π}{12}$=$\frac {π}{4}$，解得ω≥2，

∴ω的最小值为2

故选：A．

点评：

本题考查三角函数的图象，涉及三角函数的周期性和对称性，属基础题．

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7单选题

函数y=3cos(2x+φ)的图象向右平移$\frac {π}{3}$后关于点($\frac {π}{6}$，0)对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A
$\frac {5π}{6}$
B
$\frac {π}{2}$
C
$\frac {π}{3}$
D
$\frac {π}{6}$

题目答案

D

答案解析

分析：

由条件根据函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论．

解答：

解：函数y=3cos(2x+φ)的图象向右平移$\frac {π}{3}$后，所得图象对应函数的解析式为y=3cos[2(x-$\frac {π}{3}$)+φ]=3cos(2x-$\frac {2π}{3}$+φ)，

再根据所得图象关于点($\frac {π}{6}$，0)对称，可得cos(-$\frac {π}{3}$+φ)=0，结合所给的选项，可取φ=-$\frac {π}{6}$，

故选：D．

点评：

本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．

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8单选题

函数y=3cos(2x+$\frac {π}{3}$)的图象（　　）

A
关于点(-$\frac {π}{6}$，0)对称
B
关于点($\frac {π}{12}$，0)对称
C
关于直线x=$\frac {π}{6}$对称
D
关于直线x=$\frac {π}{12}$对称

题目答案

B

答案解析

分析：

通过x=$\frac {π}{6}$、-$\frac {π}{6}$、$\frac {π}{12}$，求出函数的值，判断函数是否为0，是否为最值，即可判断正确的对称中心或对称轴方程．

解答：

解：当x=-$\frac {π}{6}$时y=3cos(2x+$\frac {π}{3}$)=3cos(-2×$\frac {π}{6}$+$\frac {π}{3}$)=3，是最大值，点(-$\frac {π}{6}$，0)不是对称中心，A不正确；

当x=$\frac {π}{12}$时y=3cos(2x+$\frac {π}{3}$)=3cos(2×$\frac {π}{12}$+$\frac {π}{3}$)=0，所以函数关于点($\frac {π}{12}$，0)对称，B正确，D不正确；

当x=$\frac {π}{6}$时y=3cos(2x+$\frac {π}{3}$)=3cos(2×$\frac {π}{6}$+$\frac {π}{3}$)=-$\frac {3}{2}$，所以，C不正确；

故选B．

点评：

本题考查余弦函数的基本性质，对称中心与对称轴方程的求法，考查计算能力．

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