若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x$_1$，x$_2$∈R有f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+1，则下列说法一定正确的是（ ）
分析：
对任意x$_1$，x$_2$∈R有f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x$_1$，x$_2$∈R有f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+1进行赋值研究即可
解答：
解：∵对任意x$_1$，x$_2$∈R有
f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+1，
∴令x$_1$=x$_2$=0，得f(0)=-1
∴令x$_1$=x，x$_2$=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+1，
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1]，
∴f(x)+1为奇函数．
故选C
点评：
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
定义在R上的函数f(x)满足：对任意的α，β∈R，总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011，则下列说法正确的是（ ）
分析：
先取α=β=0，得f(0)=-2011；再取α=x，β=-x，代入整理可得f(-x)+2011=-[f(x)-f(0)]=[f(x)+2011]，即可得到结论．
解答：
解：取α=β=0，得f(0)=-2011，
取α=x，β=-x，f(0)-f(x)-f(-x)=2011⇒f(-x)+2011=-[f(x)-f(0)]=[f(x)+2011]
故函数f(x)+2011是奇函数．
故选：C．
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断以及抽象函数的应用．解决抽象函数奇偶性的判断问题时，一般采用赋值法．
若定义在R上的函数f(x)满足对任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，则下列说法一定正确的是（ ）
分析：
对任意x$_1$，x$_2$∈R有f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+2，由此得f(0)=-2，f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2]，即可得答案．
解答：
解：∵对任意x$_1$，x$_2$∈R有
f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)+2，
∴令x$_1$=x$_2$=0，得f(0)=-2
∴令x$_1$=x，x$_2$=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)+2，
∴f(x)+2=-f(-x)-2=-[f(-x)+2]，
∴f(x)+2为奇函数．
故选C
点评：
本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，其中根据已知确定|f(x)|、|g(x)|也为偶函数，是解答本题的关键．
若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x$_1$，x$_2$∈R有f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)，f(x)不恒为0，则f(x)是（ ）
分析：
根据函数奇偶性的定义，结合抽象函数的特点进行判断即可．
解答：
解：令x$_1$=x$_2$=0，则由f(x$_1$+x$_2$)=f(x$_1$)+f(x$_2$)，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0，令x$_2$=-x$_1$，则f(0)=f(x$_1$)+f(-x$_1$)，即f(-x$_1$)=-f(x$_1$)，则f(-x)=-f(x)，∵f(x)不恒为0，∴f(x)是奇函数，故选：A
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据抽象函数的定义，利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强．
定义在R上的函数f(x)满足：对任意α，β∈R，总有f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2015，则下列说法正确的是（ ）
分析：
根据抽象函数的表达式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．
解答：
解：令α=β=0，
则f(0)-[f(0)+f(0)]=2015，
即f(0)=-2015，
令β=-α，
则f(0)-[f(α)+f(-α)]=2015，
即f(α)+f(-α)=-4030，
则f(-α)+2015=-2015-f(α)=-[2015+f(α)]，
即f(x)+2015是奇函数，
故选：C
点评：
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据抽象函数的表达式，利用赋值法是解决本题的关键．